v*(o*o)=[aoo)oved, op )oup a(ovo(ovl…?dk,(ov) 2.2重积分的换元公式 定义:g∈R"为定向区域,O=f(x)dx1?ax2?…?txn∈A(g),定义 a=[f(x)dx?ax2?…?d =+/(xtd…dh 换元公式:x=q(u):DcR”→ΩcR"为微分同胚变换(1-1对应,正、反变换都 光滑可微,即C),且取定D的定向,O∈A(),则 pp 例如:在R2中O=f(x,y)x?d, x=x(u, v) y(u, v) 是一个微分同胚变换,则 P*o=f(x(u, v), y(u, v)odu+ =f(x(u,v), y(u,1 du? dv au ay ay au 我们得到变量替换公式 与二重积分变量替换不同之点是,这里我们考虑的是有向区域Ω和D,微分形式 ∫(x,y)dx?d也是有方向定义的(反方向时∫(x,y地?dx=-f(x,y)dx?dy),所以 ax 1acb列式ac就不必取绝对值,它的正负号恰好与9,D和@的定向相协调 oyl 理在R39 [ ] [( ) ] [( ) ] [ ] [ ] [ ] ( )* . ( ) ( ) ( ) ( ) *( * ) ( ) ( ) 1 1 j y w j y j y j y y j w j y j y j y o o o o o L o o o o o o L o o = = = k k i i i i a t d x d x a t d x d x ? ? ? ? 2.2 重积分的换元公式 定义: n W Ì R 为定向区域, ( ) ( ) = 1 2 Î L0 W n n w f x dx ? dx ?L? dx , 定义 ( ) . ( ) 1 2 1 2 ò ò ò W W W = ± = n n f x dx dx dx f x dx dx dx L w ? ?L? 换元公式: n n x =j(u) : D Ì R ® W Ì R 为微分同胚变换（1–1 对应, 正、反变换都 光滑可微, 即 1 C ）, 且取定D 的定向, ( ) Î L0 W n w , 则 ò ò = W D w j *w . 例如: 在 2 R 中w = f (x, y)dx? dy , î í ì = = ( , ) ( , ) : y y u v x x u v j 是一个微分同胚变换, 则 ( ( , ), ( , )) . * ( ( , ), ( , )) du dv u y v x v y u x f x u v y u v dv v y du u y dv v x du u x f x u v y u v ? ? ÷ ø ö ç è æ ¶ ¶ ¶ ¶ - ¶ ¶ ¶ ¶ = ÷ ø ö ç è æ ¶ ¶ + ¶ ¶ ÷ ø ö ç è æ ¶ ¶ + ¶ ¶ j w = 我们得到变量替换公式 ( , ) ( ( , ), ( , )) . òò òò ¶ ¶ ¶ ¶ ¶ ¶ ¶ ¶ = W D du dv v y u y v x u x f x y dx?dy f x u v y u v ? 与二重积分变量替换不同之点是 , 这里我们考虑的是有向区域 W 和 D , 微分形式 f (x, y)dx? dy 也是有方向定义的（反方向时 f (x, y)dy? dx = - f ( x, y)dx? dy ）, 所以 Jacobi 行列式 v y u y v x u x ¶ ¶ ¶ ¶ ¶ ¶ ¶ ¶ 就不必取绝对值, 它的正负号恰好与W, D 和w 的定向相协调. 同理在 3 R 中