f(r,y, =)x? dy? d==l f(x(u,v,w),y(u,v,w),=(u, v,w) du?dv?du au ay a1 a az a 这里解释了面积微元和体积微元ac与dxdd的正确理解应该1)有定向的,2)其间 的乘法不是通常的乘积,而应该是 Grassmann代数中的乘积?.这样当作变量替换时,自然 地也就采用微分形式的拉回映射,出现的 Jacobi矩阵正是拉回映射性质2)中的矩阵 §7.3微分流形 先看一个最简单的例子:平面上的单位圆周T 我们想给它一个坐标系,之后就可以在上面定 义函数,以及微分形式从而可以求积分.但是无论 怎样做,不可能给出一个整体坐标通常用 0≤6≤2丌 y=sIn (0, →T:10) q是(0.2)与T:(10)}之间一个微分同胚我们可以把0∈(0,2)看作T!00)}上 个坐标.但找不到T与R上一个区间之间的微分同胚.我们可以退一步,我们可以用两块 大半弧复盖T,每一块是个开集,可以与(-δ,δ)建立微分同胚.这样我们就可以借助于 (-δ,δ)给出T的局部坐标.当然这须要在两大半弧相交之处,微分同胚应该具有一种协调 关系 定义:ScR”,如果存在局部坐标系{Ua,n),其中Ua是S的开集,且S=UUn, φn:U→(U,V=n(U)为R*中开集,k≤n,qn是微分同胚映射,则称S为 k维流形. k维流形是局部与R中开集微分同胚的集合S,它是R上的k维光滑超曲面.通常 我们设S是连通的φa=(x1,x2…,xA)x4称为局部坐标函数,qa:V→U为S的局10 . ( , , ) ( ( , , ), ( , , ), ( , , )) du dv dw w z v z u z w y v y u y w x v x u x f x y z dx dy dz f x u v w y u v w z u v w D ? ? ? ? ¶ ¶ ¶ ¶ ¶ ¶ ¶ ¶ ¶ ¶ ¶ ¶ ¶ ¶ ¶ ¶ ¶ ¶ = × òòò òòò W 这里解释了面积微元和体积微元dxdy 与dxdydz的正确理解应该 1）有定向的, 2）其间 的乘法不是通常的乘积, 而应该是 Grassmann 代数中的乘积? . 这样当作变量替换时, 自然 地也就采用微分形式的拉回映射, 出现的 Jacobi 矩阵正是拉回映射性质 2）中的矩阵. §7.3 微分流形 先看一个最简单的例子: 平面上的单位圆周T . 我们想给它一个坐标系, 之后就可以在上面定 义函数, 以及微分形式, 从而可以求积分. 但是无论 怎样做, 不可能给出一个整体坐标. 通常用 î í ì = = q q j sin cos : y x , 0 £q £ 2p . (0,2 ) \ {(1,0)} 1 1 T\ - 对应 ¬¾® j p . j 是(0, 2p ) 与 T\\ {(1,0)}之间一个微分同胚, 我们可以把q Î(0,2p ) 看作 T\\ {(0,0)}上一 个坐标. 但找不到 T 与 R 上一个区间之间的微分同胚. 我们可以退一步, 我们可以用两块 大半弧复盖T , 每一块是个开集, 可以与(-d ,d ) 建立微分同胚. 这样我们就可以借助于 (-d ,d ) 给出T 的局部坐标. 当然这须要在两大半弧相交之处, 微分同胚应该具有一种协调 关系. 定义: n S Ì R , 如果存在局部坐标系{(Ua ,ja )}, 其中Ua 是 S 的开集, 且 a a S = UU , : ( ), ( ) ja Ua ® ja Ua Va = ja Ua 为 k R 中开集, k £ n , ja 是微分同胚映射, 则称 S 为 k 维流形. k 维流形是局部与 k R 中开集微分同胚的集合 S , 它是 n R 上的 k 维光滑超曲面. 通常 我们设 S 是连通的. k k (x , x , , x ), x ja = 1 2 L 称为局部坐标函数, ja Va ®Ua - : 1 为 S 的局 y 1 0 1 x