第11题图 *11.用向量的方法证明契维定理：若三角形ABC的三条边AB,BC,CA依次被分制成AF:FB= :2,BD:DC=3:1,CE:EA=k2:3,其中，1，应3均为正数.则三角形ABC的顶点与它对 边的分点的连线交于一点M,且对于任意一点O有 丽=5++5，i+k丽+k元 证明根据分点D与E的定义可得 丽=年配=年记 于是 而-花+而-+年成-+6年花- 年6而+年孤 所-花-=午c-应 设AD与BE交于M,则有 =AD.B=mB正. 把前面得到的表达式代入以下等式：=A正+，得到 (年5亚+6和）-+加（年6和-） k. 由于AB与AC线性无关由上述等式得到方程组： 十=2+布 解得 1=中 =1-m m=年转石 =全而 又设AD与CF相交于M',同理可得 AM= k+AD k1+k2+k3 即M与M'重合，因此AD,BE,CF交于同一点M. 对任意点O,有 丽=研+丽-耐+年（中+年列 =丽++房+5m-列+++60d-列 3 +妇+5O1+h0i+k0d.                  o n o o n o o n o o n o o n o o n (uuuuuuuu ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( D  54555455545554555455545554K VKLKLKKLKLKLKLKKLKLKLK A F B C D E M ￾ 11
∗11.  @DSTEF: 456ABC 418AB, BC, CAGHIJ*AF : F B = k1 : k2, BD : DC = k3 : k1, CE : EA = k2 : k3, <, k1, k2.k3 K"r. J456 ABC ~B8 8Lt<H M, ?<￾
H O G −−→OM = 1 k1 + k2 + k3 (k2 −→OA + k1 −→OB + k3 −→OC). : => D B E M>P −→BD = k3 k1 + k3 −→BC, −→AE = k3 k2 + k3 −→AC. < −→AD = −→AB + −→BD = −→AB + k3 k1 + k3 −→BC = −→AB + k3 k1 + k3 ( −→AC − −→AB) = k1 k1 + k3 −→AB + k3 k1 + k3 −→AC, −→BE = −→AE − −→AB = k3 k2 + k3 −→AC − −→AB.  AD B BE < M, JG −−→AM = l −→AD, −−→BM = m −→BE. NOPP)QR$V): −−→AM = −→AB + −−→BM, P l µ k1 k1 + k3 −→AB + k3 k1 + k3 −→AC¶ = −→AB + m µ k3 k2 + k3 −→AC − −→AB¶ . N< −→AB B −→AC t&,*, NySV)P@AB:    lk3 k1 + k3 = mk3 k2 + k3 lk1 k1 + k3 = 1 − m -P    l = k1 + k3 k1 + k2 + k3 m = k2 + k3 k1 + k2 + k3 .  −−→AM = k1 + k3 k1 + k2 + k3 −→AD. Q AD B CF e< M0 , C>P −−→ AM0 = k1 + k3 k1 + k2 + k3 −→AD,  M B M0 $T, !O AD, BE, CF <CH M. ￾
 O, G −−→OM = −→OA + −−→AM = −→OA + k1 + k3 k1 + k2 + k3 µ k2 k1 + k3 −→AB + k3 k1 + k3 −→AC¶ = −→OA + k1 k1 + k2 + k3 ( −→OB − −→OA) + k3 k1 + k2 + k3 ( −→OC − −→OA) = 1 k1 + k2 + k3 (k2 −→OA + k1 −→OB + k3 −→OC). · 8 ·