分 73无穷积分 基于这样,理解,就可以更加灵活地运用留数定理计算定积来. ★如果是f(x)偶函数,则对于积分/f(x)dx,由于 f(r)de f(r)dx, 所以仍然可以采用图72的围道,并重复上面的讨论,而得到 f(r)dx res f(2 上半平面 ★如果在积分f)dx中,被积函数f(2)具有某种对称性质,例如 f(a)=f(eel) 那么,也可以采用图7.3中的围道来计算 例70计算定积来 图74 解由于这里A被积函数f(以=、1 1+x4 是x4,函数,所以,我们可以采用图74,围道:沿 正实轴由0到R,沿圆弧到达正虚轴,再沿正虚轴由iR回到原点.这样,根据留数定理,有 +x=.+x+x+:+厂 1+(iy)4 (1-i)§7.3 ❘❙❚❯ ☛ 8 ☞ ➵◗ ➼⑨ ★♠❈❂r➒➓➘➴➷➬✘➮❧ ◆❄❧♠↔↕❧✦✭✷ F ➱Úô f(x) ✃⑥ t ❂ ø❐ Þ ⑩❶ Z ∞ 0 f(x)dx ❂óÞ Z ∞ 0 f(x)dx = 1 2 Z ∞ −∞ f(x)dx, ❒ é❮➡ ￾ é❰➔ Ï 7.2 ⑦ ⑧⑨❂➇ÐÑÛ ↔ ⑦ÒÓ❂ÔÕÖ Z ∞ 0 f(x)dx = 1 2 Z ∞ −∞ f(x)dx = π i X Û→➣ ↔ res f(z). F ➱Ú ❹⑩❶ Z ∞ 0 f(x)dx å ❂× ⑩ ⑥ t f(z) Ø ❿ ÙÚ❐ÛÜÝ❂Þ➱ f(z) = f(ze iθ ), ß à❂ÿ￾ é❰➔ Ï 7.3 å⑦ ⑧⑨➎➃➄✷ ❱ 7.3 ➸ 7.6 ↔↕❧✦✭ Z ∞ 0 dx 1 + x 4 ✷ ❱ 7.4 ➺ ◆ ◗ ➼➘★á✦❃❄ f(x) = 1 1 + x 4 ➌ x 4 ★❃❄❂➦ ➓❂■❏➒➓â ❧❪ 7.4 ★ ❫❒×❜ ➴ ❞❡ ◆ 0 ❺ R ❂❜ ❅ã❺ä➴å ❡❂➾❜➴å ❡ ◆ iR æ❺➊❀ ✷ ➼⑨ ❂❤✐ ◆❄❧♠❂✺ I C dz 1 + z 4 = Z R 0 dx 1 + x 4 + Z CR dz 1 + z 4 + Z 0 R idy 1 + (iy) 4 = (1 − i) Z R 0 dx 1 + x 4 + Z CR dz 1 + z 4