七章留数定理及其应用 第7页 1.f(2)圆我半垩面除了限孤相应径是了析的平 圆实轴我们应 但但 2.圆0≤argz≤丌范内平当|2|→∞补平2f(2)一致地 趋于0平即对于任给的c>0平存圆M()>0平沿当 2|≥M平0≤argz≤丌补平|zf(2)<∈积 这两个条件并不苛刻积第1个条件保证了原来 后,需满 不是瑕 需满 平并且可以应用 或者与计算 笫2个条件平首先是作为实变无需满3 f(a)dz 2丌i 上半平面 收敛条件 f(=0 后 直 自然推广平同时平根据引3.1平又保证了 lim f(a)dz=0. 取极限R→∞平;得到 f(x)dx=2i∑resf(2) 我半平面 例7.5计算。积来I 积 解此补显然符合我述要求的条件平故 a(1+x2)3 =2丌i.res (1+2)|2= 16)= 最后平为了对应用留数还计算m积来的基本思想变 比较深入的还了平轴妨再重延一下 前面的叙述 为了能够应用留数还计算无穷积来平我们必须: 用 1.补我适当的积来路径而形成闭合道平计算∮f(a)d 2圆补我的路径我的积来平或者与所要求计算的无穷积来直接相关平 或者可以简单方便地计算出来积￾✁✂ ✄☎✆✝✞✟✠✡ ☛ 7 ☞ 1. f(z) ❅■⑥❂❃✹ ❈ ✺✻✼✽✾✿❀❁➌▼▼❈❉★❂ ❅❞❡■❏✺✿❀r 2. ❅ 0 ≤ arg z ≤ π ❾ ❫❆❂❴ |z| → ∞ ♦❂ zf(z) ✬❿✘ ➀ ◗ 0 ❂➁ ➶ ◗➂➃★ ε > 0 ❂❩❅ M(ε) > 0 ❂❜❴ |z| ≥ M ❂ 0 ≤ arg z ≤ π ♦❂ |zf(z)| < ε ✷ ê➄î➅➆➇þ➈➉✷➊ 1 î➅➆➋➌ ➂ ➍➎⑦ ➏➐⑩❶þô➑⑩❶❂➇➒￾ é➓➔ st✉✈➃➄ ⑧⑨⑩❶ I C f(z)dz = Z R −R f(z)dz + Z CR f(z)dz = 2π i X Û→➣ ↔ res f(z). ➊ 2 î➅➆❂↕➙ô➛➁ ➏➐➜➝⑩❶⑦➞➟➅➆ lim x→±∞ xf(x) = 0 ⑦ ➠➡➢ ➤❂➥➦❂➧➨ ➩✈ 3.1 ❂➫➋➌ ➂ lim R→∞ Z CR f(z)dz = 0. ➭ ➎ ✻ R → ∞ ❂r➯❺ Z ∞ −∞ f(x)dx = 2π i X ■⑥❂❃ res f(z). ➸ 7.5 ↔↕❧✦✭ I = Z ∞ −∞ dx (1 + x 2) 3 ✷ ➺ ✓ ♦ ❪❫➲✴■➳ ✪ ➉★❸❹❂➽ I = Z ∞ −∞ dx (1 + x 2) 3 = 2π i · res 1 (1 + z 2) 3     z=i =2π i ·  − 3i 16 = 3 8 π. ② ⑦❂✫❈ ➶✿❧ ◆❄❧♠↔↕❧✦✭★➵➸➺➻✺ ✬ ✼ ✮✯➼➽★♠❈❂❡❻➾➚❥✬➑ ➪ ❃★➶➳× ✫❈❮➹ ✿❧ ◆❄❧♠↔↕❰❳✦✭❂■❏❛♥× 1. ♦■♣❴★✦✭❀❁q✺✐✳✴ ❫❒❂↔↕ I f(z)dz r 2. ❅♦■★❀❁■★✦✭❂st✉➦✪ ➉ ↔↕★❰❳✦✭✈✇✾①❂ st➒➓✱✲✃✰✘↔↕✜ ✭✷