L=l+2as+a'a Ⅰ+2bS.+b2A A-17) Ⅰ+aS+bS+abA 如果x、y轴通过图形形心,则上述各式中的S2=S,=0。于是得 1n=1-+a-A Ⅰ+b2A (A-18) +aba 此即关于图形对于平行轴惯性矩与惯性积之间关系的移轴定理。其中,式(A-18)表明: 1.图形对任意轴的惯性矩,等于图形对于与该轴平行的形心轴的惯性矩,加上图形面 积与两平行轴间距离平方的乘积 2.图形对于任意一对直角坐标轴的惯性积,等于图形对于平行于该坐标轴的一对通过 形心的直角坐标轴的惯性积,加上图形面积与两对平行轴间距离的乘积。 3.因为面积及a2、b2项恒为正,故自形心轴移至与之平行的任意轴,惯性矩总是增加的。 a、b为原坐标系原点在新坐标系中的坐标,故二者同号时abA为正,异号时为负。所 以,移轴后惯性积有可能增加也可能减少, §A-5惯性矩与惯性积的转轴定理 所谓转轴定理是研究坐标轴绕原点转动时,图形 对这些坐标轴的惯性矩和惯性积的变化规律。 图A-5所示的图形对于x、y轴的、惯性矩和惯性 积分别为lx、,和1 现将0xy坐标系绕坐标原点。反时针方向转过 角,得到一新的坐标系,记为0xy1。要考察的是图形 对新坐标系的lx、ln、Ix与lx、l、l,之间的 图A-5转轴定理 关系。 根据转轴时的坐标变换 x,=cosa+y VI =ycosa-xsin a 于是有 la=Lyida=jcycosa-xsin a)'dA 「xd=J( cosa+ ysn a)d I Im= lx ydA=L (cosa+ ysin a)(cos a-xsin a)dA 将积分记号内各项展开,得6      = + + + = + + = + + A x y xy y x y y y x x x I I aS bS abA I I bS b A I I aS a A 1 1 2 1 2 1 2 2 (A-17) 如果 x、y 轴通过图形形心，则上述各式中的 x S = y S =0。于是得      = + = + = + I I abA I I b A I I a A x y xy y y x x 1 1 2 1 2 1 (A-18) 此即关于图形对于平行轴惯性矩与惯性积之间关系的移轴定理。其中，式(A-18)表明： 1.图形对任意轴的惯性矩，等于图形对于与该轴平行的形心轴的惯性矩，加上图形面 积与两平行轴间距离平方的乘积。 2.图形对于任意一对直角坐标轴的惯性积，等于图形对于平行于该坐标轴的一对通过 形心的直角坐标轴的惯性积，加上图形面积与两对平行轴间距离的乘积。 3.因为面积及 a 2、b 2 项恒为正，故自形心轴移至与之平行的任意轴，惯性矩总是增加的。 a、b 为原坐标系原点在新坐标系中的坐标，故二者同号时 abA 为正，异号时为负。所 以，移轴后惯性积有可能增加也可能减少。 §A-5 惯性矩与惯性积的转轴定理 所谓转轴定理是研究坐标轴绕原点转动时，图形 对这些坐标轴的惯性矩和惯性积的变化规律。 图 A-5 所示的图形对于 x、y 轴的、惯性矩和惯性 积分别为 x I 、 y I 和 xy I 。 现将 Oxy 坐标系绕坐标原点。反时针方向转过α 角，得到一新的坐标系，记为 Ox1y1。要考察的是图形 对新坐标系的 x1 I 、 y1 I 、 x1y1 I 与 x I 、 y I 、 xy I 之间的 关系。 根据转轴时的坐标变换： x1 = xcos + ysin  y1 = y cos − xsin  于是有   = = − A A I x y dA y x dA 2 2 1 1 ( cos sin )   = = + A A I y x dA x y dA 2 2 1 1 ( cos sin )   = = + − A A I x1y1 x1 y1dA (xcos ysin )( y cos xsin )dA 将积分记号内各项展开，得