武汉工程大学：《材料力学》附录A 平面图形的几何性质

附录A平面图形的几何性质 材料力学教案 学时2 基静矩、矩形及相互关系,惯性矩、极惯性矩、惯性积、惯性半 本径,惯性矩与惯性积的移轴公式和转轴公式,主轴与形心主轴 内主矩与形心主矩,组合图形的形心、形心主轴与形心主矩的计 容算方法 教1、理解平面图形几何性质(形心、静矩、惯性矩、惯性半 径、极惯性矩、惯性积、主轴等)的概念。 目|2、能正确计算组合图形的形心、形心主轴、形心主惯性矩 的 重重点:形心、静矩、惯性矩、惯性半径、极惯性矩、惯性积、 点主轴等概念及其计算。 和 难难点:惯性矩与惯性积的转轴公式及主惯性矩的计算。 教学以常见的圆形、圆环、矩形、T形、常见型钢截面的组合圆形 方法为主。 作业

1 附录 A 平面图形的几何性质 ——材料力学教案 学时 2 基 本 内 容 静矩、矩形及相互关系，惯性矩、极惯性矩、惯性积、惯性半 径，惯性矩与惯性积的移轴公式和转轴公式，主轴与形心主轴、 主矩与形心主矩，组合图形的形心、形心主轴与形心主矩的计 算方法。 教 学 目 的 1、 理解平面图形几何性质（形心、静矩、惯性矩、惯性半 径、极惯性矩、惯性积、主轴等）的概念。 2、 能正确计算组合图形的形心、形心主轴、形心主惯性矩。 重 点 和 难 点 重点：形心、静矩、惯性矩、惯性半径、极惯性矩、惯性积、 主轴等概念及其计算。 难点：惯性矩与惯性积的转轴公式及主惯性矩的计算。 教学 方法 以常见的圆形、圆环、矩形、T 形、常见型钢截面的组合圆形 为主。 作业

附录A平面图形的几何性质 §A-1引言 不同受力形式下杆件的应力和变形,不仅取决于外力的大小以及杆件的尺寸,而且与 杆件截面的几何性质有关。当研究杆件的应力、变形,以及研究失效问题时,都要涉及到 与截面形状和尺寸有关的几何量。这些几何量包括:形心、静矩、惯性矩、惯性半径、极 惯性短、惯性积、主轴等,统称为“平面图形的几何性质” 研究上述这些几何性质时,完全不考虑研究对象的物理和力学因素,作为纯几何问题 加以处理。 §A-2静矩、形心及相互关系 任意平面几何图形如图A-1所示。在其上取面积微元dA,该微元在0xy坐标系中的坐 标为x、y。定义下列积分: dA vdA (A-1) 分别称为图形对于x轴和y轴的截面一次矩或静矩, 其单位为m3。 C(A) 如果将dA视为垂直于图形平面的力,则ydA和 zdA分别为dA对于z轴和y轴的力矩;S,和S则分 别为dA对z轴和y轴之矩。图A-1图形的静矩与形心 图形几何形状的中心称为形心,若将面积视为垂直于 图A-1图形的静矩与形心 图形平面的力,则形心即为合力的作用点 设xc、yc为形心坐标,则根据合力之矩定理 S=Ax 或 de de y A 这就是图形形心坐标与静矩之间的关系 根据上述定义可以看出: 1.静矩与坐标轴有关,同一平面图形对于不同的坐标轴有不同的静矩。对某些坐标轴静 矩为正;对另外某些坐标轴为负;对于通过形心的坐标轴,图形对其静矩等于零。 2.如果已经计算出静矩,就可以确定形心的位置:反之,如果已知形心位置,则可计 算图形的静矩。 2

2 附录 A 平面图形的几何性质 §A-1 引言 不同受力形式下杆件的应力和变形，不仅取决于外力的大小以及杆件的尺寸，而且与 杆件截面的几何性质有关。当研究杆件的应力、变形，以及研究失效问题时，都要涉及到 与截面形状和尺寸有关的几何量。这些几何量包括：形心、静矩、惯性矩、惯性半径、极 惯性短、惯性积、主轴等，统称为“平面图形的几何性质”。 研究上述这些几何性质时，完全不考虑研究对象的物理和力学因素，作为纯几何问题 加以处理。 §A-2 静矩、形心及相互关系 任意平面几何图形如图 A-1 所示。在其上取面积微元 dA，该微元在 Oxy 坐标系中的坐 标为 x、y。定义下列积分：  = A Sx ydA  = A Sy ydA （A-1） 分别称为图形对于 x 轴和 y 轴的截面一次矩或静矩， 其单位为 3 m 。 如果将 dA 视为垂直于图形平面的力，则 ydA 和 zdA 分别为 dA 对于 z 轴和 y 轴的力矩； x S 和 y S 则分 别为 dA 对 z 轴和 y 轴之矩。图 A-1 图形的静矩与形心 图形几何形状的中心称为形心,若将面积视为垂直于 图形平面的力，则形心即为合力的作用点。 设 C x 、 C y 为形心坐标，则根据合力之矩定理    = = y C x C S Ax S Ay (A-2) 或        = = = =   A ydA A S y A xdA A S x x A C y A C (A-3) 这就是图形形心坐标与静矩之间的关系。 根据上述定义可以看出： 1.静矩与坐标轴有关，同一平面图形对于不同的坐标轴有不同的静矩。对某些坐标轴静 矩为正；对另外某些坐标轴为负；对于通过形心的坐标轴，图形对其静矩等于零。 2.如果已经计算出静矩，就可以确定形心的位置；反之，如果已知形心位置，则可计 算图形的静矩

实际计算中,对于简单的、规则的图形,其形心位置可以直接判断。例如矩形、正方 形、圆形、正三角形等的形心位置是显而易见的。对于组合图形,则先将其分解为若干个 简单图形(可以直接确定形心位置的图形):然后由式(A-2)分别计算它们对于给定坐标轴的 静矩,并求其代数和:再利用式(A-3),即可得组合图形的形心坐标。即 S,=AyaL+A, Ay=∑A Axc2+……+Asno x ∑A A ∑4 §A-3惯性炬、极惯性炬、惯性积、惯性半径 图A-1中的任意图形,以及给定的0xy坐标,定义下列积分: 1,=LydA 1,=「 分别为图形对于x轴和y轴的截面二次轴矩或惯性矩。 定义积分 rda 为图形对于点0的截面二次极矩或极惯性矩。 定义积分 (A-9) 为图形对于通过点0的一对坐标轴x、y的惯性积 定义 A 分别为图形对于x轴和y轴的惯性半径 根据上述定义可知

3 实际计算中，对于简单的、规则的图形，其形心位置可以直接判断。例如矩形、正方 形、圆形、正三角形等的形心位置是显而易见的。对于组合图形，则先将其分解为若干个 简单图形(可以直接确定形心位置的图形)；然后由式(A-2)分别计算它们对于给定坐标轴的 静矩，并求其代数和；再利用式(A-3),即可得组合图形的形心坐标。即:        = + + + = = + + + =   = = n i y C C n Cn i Ci n i x C C n Cn i Ci S A x A x A x A x S A y A y A y A y 1 1 1 2 2 1 1 1 2 2   (A-4)             = = = =     = = = = n i i n i i Ci x C n i i n i i Ci y C A A y A S y A A x A S x 1 1 1 1 (A-5) §A-3 惯性炬、极惯性炬、惯性积、惯性半径 图 A-1 中的任意图形，以及给定的 Oxy 坐标，定义下列积分：  = A I x y dA 2 (A-6) I x dA A y  = 2 (A-7) 分别为图形对于 x 轴和 y 轴的截面二次轴矩或惯性矩。 定义积分  = A I P r dA 2 (A-8) 为图形对于点 O 的截面二次极矩或极惯性矩。 定义积分  = A xy I xydA (A-9) 为图形对于通过点 O 的一对坐标轴 x、y 的惯性积。 定义 A I i x x = , A I i y y = 分别为图形对于 x 轴和 y 轴的惯性半径。 根据上述定义可知：

1.惯性矩和极惯性矩恒为正:而惯性积则由于坐标轴位置的不同,可能为正,也可能为 负。三者的单位均为m4或mm4。 2因为r2=y2+x2,所以由上述定义不难得出 (A-10) 3.根据极惯性矩的定义式(A-8),以及图A-2中所示的微面积取法,不难得到圆截面对 其中心的极惯性矩为 (A-11) p (A-12) 式中,d为圆的直径;R为半径 类似地,还可以得圆环截面对于圆环中心的极惯性矩为 d (A-13) 式中,D为圆环外径;d为内径。 图A-2圆形的极惯性矩 图A-3矩形微面积的取法 4.根据惯性矩的定义式(A-6)、(A-7),注意微面积的取法(图A-3所示),不难求得矩形 对于平行其边界的轴的惯性矩: bh 根据式(A-10)、(A-11),注意到圆形对于通过其中心的任意两根轴具有相同的惯性矩 便可得到圆截面对于通过其中心的任意轴的惯性矩均为 1=7 (A-15) 对于外径为D、内径为d的圆环截面

4 1.惯性矩和极惯性矩恒为正；而惯性积则由于坐标轴位置的不同，可能为正，也可能为 负。三者的单位均为 4 m 或 4 mm 。 2.因为 2 r = 2 y + 2 x ，所以由上述定义不难得出 P I = x I + y I (A-10) 3.根据极惯性矩的定义式(A-8)，以及图 A-2 中所示的微面积取法，不难得到圆截面对 其中心的极惯性矩为 32 4 d I P  = (A-11) 2 4 R I P  = (A-12) 式中,d 为圆的直径；R 为半径。 类似地，还可以得圆环截面对于圆环中心的极惯性矩为 (1 ) 32 4 4   = − D I P , D d  = (A-13) 式中，D 为圆环外径；d 为内径。 4.根据惯性矩的定义式(A-6)、(A-7)，注意微面积的取法(图 A-3 所示)，不难求得矩形 对于平行其边界的轴的惯性矩： 12 3 bh I x = , 12 3 hb I y = (A-14) 根据式(A-10)、(A-11)，注意到圆形对于通过其中心的任意两根轴具有相同的惯性矩， 便可得到圆截面对于通过其中心的任意轴的惯性矩均为 64 4 d I I x y  = = (A-15) 对于外径为 D、内径为 d 的圆环截面, (1 ) 64 4 4   = = − D I I x y

应用上述积分,还可以计算其他各种简单图形对于给定坐标轴的惯性矩。 必须指出,对于由简单几何图形组合成的图形,为避免复杂数学运算,一般都不采用积 分的方法计算它们的惯性矩。而是利用简单图形的惯性矩计算结果以及图形对于平行轴惯性 矩之间的关系,由求和的方法求得。 sA-4惯性矩与惯性积的移轴定理 图A-4中所示之任意图形,在坐标系0xy系中,对于x、y轴的惯性矩和惯性积为 1,=「y2d ryda 另有一坐标系0xy,其中x和y分别平行于x和yo|b 轴,且二者之间的距离为a和b 所谓移轴定理是指图形对于互相平行轴的惯性 图A-4移轴定理 矩、惯性积之间的关系。即通过已知对一对坐标轴 的惯性矩、惯性积,求图形对另一对坐标轴的惯性矩与惯性积。 下面推证二者间的关系 根据平行轴的坐标变换 x,=x+b y 将其代人下列积分 得 I,=(x+b)dA G+ax+b)da 展开后,并利用式(A-2)、(A-3)中的定义,得

5 D d  = (A-16) 应用上述积分，还可以计算其他各种简单图形对于给定坐标轴的惯性矩。 必须指出，对于由简单几何图形组合成的图形，为避免复杂数学运算，一般都不采用积 分的方法计算它们的惯性矩。而是利用简单图形的惯性矩计算结果以及图形对于平行轴惯性 矩之间的关系，由求和的方法求得。 §A-4 惯性矩与惯性积的移轴定理 图 A-4 中所示之任意图形，在坐标系 Oxy 系中，对于 x、y 轴的惯性矩和惯性积为  = A I x y dA 2 I x dA A y  = 2  = A xy I xydA 另有一坐标系 Ox1y1，其中 x1和 y1 分别平行于 x 和 y 轴，且二者之间的距离为 a 和 b。 所谓移轴定理是指图形对于互相平行轴的惯性 矩、惯性积之间的关系。即通过已知对一对坐标轴 的惯性矩、惯性积，求图形对另一对坐标轴的惯性矩与惯性积。 下面推证二者间的关系。 根据平行轴的坐标变换 x1 = x + b y1 = y + a 将其代人下列积分  = A I x y dA 2 1 1 ,  = A I y x dA 2 1 1  = A I x1y1 x1y1dA 得 I y a dA A x 2 1 ( )  = +  = + A I y x b dA 2 1 ( )  = + + A I x1y1 (y a)(x b)dA 展开后,并利用式(A-2)、(A-3)中的定义，得

L=l+2as+a'a Ⅰ+2bS.+b2A A-17) Ⅰ+aS+bS+abA 如果x、y轴通过图形形心,则上述各式中的S2=S,=0。于是得 1n=1-+a-A Ⅰ+b2A (A-18) +aba 此即关于图形对于平行轴惯性矩与惯性积之间关系的移轴定理。其中,式(A-18)表明: 1.图形对任意轴的惯性矩,等于图形对于与该轴平行的形心轴的惯性矩,加上图形面 积与两平行轴间距离平方的乘积 2.图形对于任意一对直角坐标轴的惯性积,等于图形对于平行于该坐标轴的一对通过 形心的直角坐标轴的惯性积,加上图形面积与两对平行轴间距离的乘积。 3.因为面积及a2、b2项恒为正,故自形心轴移至与之平行的任意轴,惯性矩总是增加的。 a、b为原坐标系原点在新坐标系中的坐标,故二者同号时abA为正,异号时为负。所 以,移轴后惯性积有可能增加也可能减少, §A-5惯性矩与惯性积的转轴定理 所谓转轴定理是研究坐标轴绕原点转动时,图形 对这些坐标轴的惯性矩和惯性积的变化规律。 图A-5所示的图形对于x、y轴的、惯性矩和惯性 积分别为lx、,和1 现将0xy坐标系绕坐标原点。反时针方向转过 角,得到一新的坐标系,记为0xy1。要考察的是图形 对新坐标系的lx、ln、Ix与lx、l、l,之间的 图A-5转轴定理 关系。 根据转轴时的坐标变换 x,=cosa+y VI =ycosa-xsin a 于是有 la=Lyida=jcycosa-xsin a)'dA 「xd=J( cosa+ ysn a)d I Im= lx ydA=L (cosa+ ysin a)(cos a-xsin a)dA 将积分记号内各项展开,得

6      = + + + = + + = + + A x y xy y x y y y x x x I I aS bS abA I I bS b A I I aS a A 1 1 2 1 2 1 2 2 (A-17) 如果 x、y 轴通过图形形心，则上述各式中的 x S = y S =0。于是得      = + = + = + I I abA I I b A I I a A x y xy y y x x 1 1 2 1 2 1 (A-18) 此即关于图形对于平行轴惯性矩与惯性积之间关系的移轴定理。其中，式(A-18)表明： 1.图形对任意轴的惯性矩，等于图形对于与该轴平行的形心轴的惯性矩，加上图形面 积与两平行轴间距离平方的乘积。 2.图形对于任意一对直角坐标轴的惯性积，等于图形对于平行于该坐标轴的一对通过 形心的直角坐标轴的惯性积，加上图形面积与两对平行轴间距离的乘积。 3.因为面积及 a 2、b 2 项恒为正，故自形心轴移至与之平行的任意轴，惯性矩总是增加的。 a、b 为原坐标系原点在新坐标系中的坐标，故二者同号时 abA 为正，异号时为负。所 以，移轴后惯性积有可能增加也可能减少。 §A-5 惯性矩与惯性积的转轴定理 所谓转轴定理是研究坐标轴绕原点转动时，图形 对这些坐标轴的惯性矩和惯性积的变化规律。 图 A-5 所示的图形对于 x、y 轴的、惯性矩和惯性 积分别为 x I 、 y I 和 xy I 。 现将 Oxy 坐标系绕坐标原点。反时针方向转过α 角，得到一新的坐标系，记为 Ox1y1。要考察的是图形 对新坐标系的 x1 I 、 y1 I 、 x1y1 I 与 x I 、 y I 、 xy I 之间的 关系。 根据转轴时的坐标变换： x1 = xcos + ysin  y1 = y cos − xsin  于是有   = = − A A I x y dA y x dA 2 2 1 1 ( cos sin )   = = + A A I y x dA x y dA 2 2 1 1 ( cos sin )   = = + − A A I x1y1 x1 y1dA (xcos ysin )( y cos xsin )dA 将积分记号内各项展开，得

IM=l sn- a+1, cos-a+In sin 2a (A-19) sin 2a+ cos 20 改写后,得 2 2 cOS 20-I sin 2a ln=2+1=, (A-20) 2 2cos 2a+Im sin 2a 上述式(A-19)和(A-20)即为转轴时惯性矩与惯性积之间的关系。 若将上述lx1与ly1相加,不难得到 这表明:图形对一对垂直轴的惯性矩之和与a角无关,即在轴转动时,其和保持不变。 上述式(A-19)、(A-20),与移轴定理所得到的式(A-18)不同,它不要求x、y通过形心。 当然,对于绕形心转动的坐标系也是适用的,而且也是实际应用中最感兴趣的。 §A-6主轴与形心主轴、主矩与形心主矩 从式(A-19)的第三式可以看出,对于确定的点(坐标原点),当坐标轴旋转时,随着角度 的改变,惯性积也发生变化,并且根据惯性积可能为正,也可能为负的特点,总可以找到 一角度α以及相应的x、y轴,图形对于这一对坐标轴的惯性积等于零。为确定αa,令式 (A-19)中的第三式为零 2Sin 2a +1. cos 2a =0 由此解得 tan 20.=- 1-2 或 arctan 如果将式(A-20)对a求导数并令其为零,即 dl 同样可以得到式(A-21)或(A-22)的结论。这表明:当a改变时,Ix1、ly的数值也发生变化, 而当a=a时,二者分别为极大值和极小值

7        + − = = + + = + −         sin 2 cos 2 2 sin cos sin 2 cos sin sin 2 1 1 2 2 1 2 2 1 xy x y x y y x y xy x x y xy I I I I I I I I I I I I (A-19) 改写后，得        + − − + = − − + + =     cos 2 sin 2 2 2 cos 2 sin 2 2 2 1 1 xy x y x y y xy x y x y x I I I I I I I I I I I I （A-20） 上述式(A-19)和(A-20)即为转轴时惯性矩与惯性积之间的关系。 若将上述 x1 I 与 y1 I 相加，不难得到  + = + = + = A x y x y p I I I I (x y )dA I 2 2 1 1 这表明：图形对一对垂直轴的惯性矩之和与α角无关，即在轴转动时，其和保持不变。 上述式(A-19)、(A-20)，与移轴定理所得到的式(A-18)不同，它不要求 x、y 通过形心。 当然，对于绕形心转动的坐标系也是适用的，而且也是实际应用中最感兴趣的。 §A-6 主轴与形心主轴、主矩与形心主矩 从式(A-19)的第三式可以看出，对于确定的点(坐标原点)，当坐标轴旋转时，随着角度 α的改变，惯性积也发生变化，并且根据惯性积可能为正，也可能为负的特点，总可以找到 一角度α0 以及相应的 x0、y0 轴，图形对于这一对坐标轴的惯性积等于零。为确定α0，令式 (A-19)中的第三式为零， 即 sin 2 cos 2 0 2 0, 0 0 + 0 = − =  xy  x y x y I I I I 由此解得 x y xy I I I − = − 2 tan 2 0 (A-21) 或         − = − x y xy I I 2I arctan 2 1  0 (A-22) 如果将式(A-20)对α求导数并令其为零，即 0 1 = d dI x ， 0 1 = d dI y 同样可以得到式(A-21)或(A-22)的结论。这表明:当α改变时, x1 I 、 y1 I 的数值也发生变化， 而当α=α0 时，二者分别为极大值和极小值

定义过一点存在这样一对坐标轴,图形对于其惯性积等于零,这一对坐标轴便称为 过这一点的主轴。图形对主轴的惯性矩称为主轴惯性矩,简称主惯性矩。显然,主惯性矩 具有极大或极小的特征。 根据式(A-20)和(A-21),即可得到主惯性矩的计算式 n=l+ x-l,)2+412 (A-23) 需要指出的是对于任意一点(图形内或图形 外)都有主轴,而通过形心的主轴称为形心主轴, 图形对形心主轴的惯性矩称为形心主惯性矩。工 对称轴 程计算中有意义的是形心主轴和形心主矩。 lxy(1)0 当图形有一根对称轴时,对称轴及与之垂直 ①① 的任意轴即为过二者交点的主轴。例如图A-6所 示的具有一根对称轴的图形,位于对称轴y一侧 的部分图形对x、y轴的惯性积与位于另一侧的图 形的惯性积,二者数值相等,但反号。所以,整 个图形对于x、y轴的惯性积/=0,故图A-6对 图A-6对称轴为主轴 称轴为主轴x、y为主轴。又因为C为形心,故x、y为形心主轴。 §A_7组合图形的形心、形心主轴 工程计算中应用最广泛的是组合图形的形心主惯性矩,即图形对于通过其形心的主轴 之惯性矩。为此必须首先确定图形的形心以及形心主轴的位置。 因为组合图形都是由一些简单的图形(例如矩形、正方形、圆形等)所组成,所以在确定 其形心、形心主轴以至形心主惯性矩的过程中,均不采用积分,而是利用简单图形的几何性 质以及移轴和转轴定理。一般应按下列步骤进行 将组合图形分解为若干简单图形,并应用式(A-5)确定组合图形的形心位置。 以形心为坐标原点,设0zy坐标系x、y轴一般与简单图形的形心主轴平行。确定简 单图形对自身形心轴的惯性矩,利用移轴定理(必要时用转轴定理)确定各个简单图形对x y轴的惯性矩和惯性积,相加(空洞时则减)后便得到整个图形的x、,和 应用式(A-21)和(A-22)确定形心主轴的位置,即形心主轴与x轴的夹角ao 利用转轴定理或直接应用式(A-23)计算形心主惯性矩I。和l0。 可以看出,确定形心主惯性矩的过程就是综合应用本章§A-2~§A-6全部知识的过程

8 定义 过一点存在这样一对坐标轴，图形对于其惯性积等于零，这一对坐标轴便称为 过这一点的主轴。图形对主轴的惯性矩称为主轴惯性矩，简称主惯性矩。显然，主惯性矩 具有极大或极小的特征。 根据式(A-20)和(A-21)，即可得到主惯性矩的计算式 2 2 0 min 0 ( ) 4 2 1 2 x y xy x y y x man I I I I I I I I I  − + + = = = (A-23) 需要指出的是对于任意一点(图形内或图形 外)都有主轴，而通过形心的主轴称为形心主轴， 图形对形心主轴的惯性矩称为形心主惯性矩。工 程计算中有意义的是形心主轴和形心主矩。 当图形有一根对称轴时，对称轴及与之垂直 的任意轴即为过二者交点的主轴。例如图 A-6 所 示的具有一根对称轴的图形，位于对称轴 y 一侧 的部分图形对 x、y 轴的惯性积与位于另一侧的图 形的惯性积，二者数值相等，但反号。所以，整 个图形对于 x、y 轴的惯性积 xy I =0，故图 A-6 对 称轴为主轴 x、y 为主轴。又因为 C 为形心，故 x、y 为形心主轴。 §A-7 组合图形的形心、形心主轴 工程计算中应用最广泛的是组合图形的形心主惯性矩，即图形对于通过其形心的主轴 之惯性矩。为此必须首先确定图形的形心以及形心主轴的位置。 因为组合图形都是由一些简单的图形(例如矩形、正方形、圆形等)所组成，所以在确定 其形心、形心主轴以至形心主惯性矩的过程中，均不采用积分，而是利用简单图形的几何性 质以及移轴和转轴定理。一般应按下列步骤进行。 ·将组合图形分解为若干简单图形，并应用式(A-5)确定组合图形的形心位置。 ·以形心为坐标原点，设 Ozy 坐标系 x、y 轴一般与简单图形的形心主轴平行。确定简 单图形对自身形心轴的惯性矩，利用移轴定理(必要时用转轴定理)确定各个简单图形对 x、 y 轴的惯性矩和惯性积，相加(空洞时则减)后便得到整个图形的 x I 、 y I 和 xy I 。 ·应用式(A-21)和(A-22)确定形心主轴的位置，即形心主轴与 x 轴的夹角α0。 ·利用转轴定理或直接应用式(A-23)计算形心主惯性矩 x0 I 和 y 0 I 。 可以看出，确定形心主惯性矩的过程就是综合应用本章§A-2～§A-6 全部知识的过程

§A-8例题 例题A-1截面图形的几何尺寸如图A-7所示。试求图中具有断面线部分的I、I 解:根据积分定义,具有断面线的图形对于x、y轴的惯性矩,等于高为h、宽为b的矩 形对于x、y轴的惯性矩减去高为h的矩形对于相同轴的惯性矩,即 上述方法称为负面积法。用于图形中有挖空部分的 情形,计算比较简捷。 图A-7例题A-1图 例题A-2T形截面尺寸如图A-8a所示。试求其形心主惯性矩 解:1分解为简单图形的组合 将T形分解为如图A-8b所示的两个矩形I和Ⅱ 2确定形心位置 首先,以矩形I的形心C1为坐标原点建立如图A-8b所示的C1xy坐标系。因为y轴为 T字形的对称轴,故图形的形心必位于该轴上。因此,只需要确定形心在y轴上的位置, 即确定ye。根据式(A-5)的第二式,形心C的坐标 图A-8例题A-2图 ∑Ay 0+(270×10-3×50×10-3)×150×10-3 ∑4 300×10-3×30×10-3+270×10-3×50×10 90×10-3m=90mm 3.确定形心主轴 因为对称轴及与其垂直的轴即为通过二者交点的主轴,所以以形心C为坐标原点建立 如图A-12c所示的 Cxoyo坐标系,其中yo通过原点且与对称轴重合,则xo、yo即为形心主

9 §A-8 例题 例题 A-1 截面图形的几何尺寸如图 A-7 所示。试求图中具有断面线部分的 Ix、Iy。 解: 根据积分定义，具有断面线的图形对于 x、y 轴的惯性矩，等于高为 h、宽为 b 的矩 形对于 x、y 轴的惯性矩减去高为 h 的矩形对于相同轴的惯性矩，即 ( ) 12 12 12 3 3 3 3 h h bh bh b I x = −   = − 3 3 3 12 ( ) 12 12 b bh h b h h I y −  =  = − 上述方法称为负面积法。用于图形中有挖空部分的 情形，计算比较简捷。 例题 A-2 T 形截面尺寸如图 A-8a 所示。试求其形心主惯性矩。 解：1.分解为简单图形的组合。 将 T 形分解为如图 A-8b 所示的两个矩形 I 和 II。 2.确定形心位置 首先，以矩形 I 的形心 C1 为坐标原点建立如图 A-8b 所示的 C1xy 坐标系。因为 y 轴为 T 字形的对称轴，故图形的形心必位于该轴上。因此，只需要确定形心在 y 轴上的位置， 即确定 yc。根据式(A-5)的第二式，形心 C 的坐标 m mm m A A y y i i i i Ci C 90 10 90 300 10 30 10 270 10 50 10 0 (270 10 50 10 ) 150 10 3 3 3 3 3 3 3 3 2 1 2 1 =  =          +    +      = = − − − − − − − − = =   3.确定形心主轴 因为对称轴及与其垂直的轴即为通过二者交点的主轴，所以以形心 C 为坐标原点建立 如图 A-12c 所示的 Cx0y0 坐标系，其中 y0 通过原点且与对称轴重合，则 x0、y0 即为形心主 轴

4.采用叠加法及移轴定理计算形心主惯性矩Ⅰ。和L 根据惯性矩的积分定义,有 300×10-3×303×10-9 2o=20(D)+l0(ID)=[ +902×10-6× (270×10-3×30×10-3)+ 50×10-3×2703×10 +602×10-6× (270×107×50×10)m=204×10m=2.04×10mm 300×10-3×303×10-9270×10-3×503×10-9 10=1o(D)+lo0()=( 7.03×10mm 例题A-3图A-9a所示为一薄壁圆环截面,Db为其平均直径,δ为厚度,若δ、Db均 为已知,试求薄壁圆环截面对其直径轴的惯性矩。 (b) 图A-9例题A-3图 解:求圆环截面对其直径轴的惯性矩可采用负面积法,即 (1-a”) 其中,∝=d/D0。 对于δ<<D的薄壁圆环截面,为了使公式简化,可采用近似方法计算 取积分微元dA如图A-9b所示。根据惯性矩的定义,得到 1(202182=

10 4.采用叠加法及移轴定理计算形心主惯性矩 x0 I 和 y 0 I 根据惯性矩的积分定义，有 +      = + = − − − 2 6 3 3 9 0 0 0 90 10 12 300 10 30 10 I I (I) I (II) [ x x x +         + − − − − − 2 6 3 3 9 3 3 60 10 12 50 10 270 10 (270 10 30 10 ) 3 3 4 4 4 8 4 (27010 5010 )]m = 2.0410 m = 2.0410 mm − − − 4 3 3 9 3 3 9 0 0 0 ) 12 270 10 50 10 12 300 10 30 10 I y I y (I) I y (II) ( m − − − −    +    = + = 7 4 = 7.0310 mm 例题 A-3 图 A-9a 所示为一薄壁圆环截面，D0 为其平均直径，δ为厚度，若δ、D0 均 为已知，试求薄壁圆环截面对其直径轴的惯性矩。 解：求圆环截面对其直径轴的惯性矩可采用负面积法，即 (1 ) 64 ( ) 64 4 4 4 4 0 0    = = − = − D I x I y D d 其中, 0  = d / D 。 对于   D0 的薄壁圆环截面，为了使公式简化，可采用近似方法计算。 取积分微元 dA 如图 A-9b 所示。根据惯性矩的定义，得到    = = = =          2 0 2 0 3 0 2 3 0 2 0 0 2 8 sin 2 8 sin ) 2 ( d D D d D D I y dA A x