第十一一方
第十一章能量方法 □§11-1变形能的普遍表达式 □§11-2莫尔定理(单位力法 §11-3卡氏定理
第十一章 能量方法 §11–1 变形能的普遍表达式 §11–2 莫尔定理(单位力法) §11–3 卡氏定理
能量方法 §11-1变形能的普遍表达式 能量原理: 弹性体内部所贮存的变形能,在数值上等于外力所作 的功,即 U=wr 利用这种功能关系分析计算可变形固体的位移、变形 和内力的方法称为能量方法 二、杆件变形能的计算: 1.轴向拉压杆的变形能计算: U2/a或U=∑h比能:=2E N2(x) E A
§11–1 变形能的普遍表达式 一、能量原理： 二、杆件变形能的计算： 1.轴向拉压杆的变形能计算： = L x EA N x U d 2 ( ) 2 = = n i i i i i E A N L U 1 2 2 或 2 1 比能: u = 弹性体内部所贮存的变形能，在数值上等于外力所作 的功，即 U=W 利用这种功能关系分析计算可变形固体的位移、变形 和内力的方法称为能量方法
能量方法 2.扭转杆的变形能计算: M(x) UEL 2GI dx或U M 台2Gl Pi 比能:=vy 3.弯曲杆的变形能计算: M2(x) nM U= dx或U=∑ J2EⅠ 台2E1l1 比能:u=oE 2
2.扭转杆的变形能计算： = L P n x GI M x U d 2 ( ) 2 = = n i i Pi ni i G I M L U 1 2 2 或 2 1 比能: u = 3.弯曲杆的变形能计算： = L x EI M x U d 2 ( ) 2 = = n i i i i i E I M L U 1 2 2 或 2 1 比能: u =
能量方法 三、变形能的普遍表达式: 变形能与加载次序无关;相互独立的力(矢)引起的变形能 可以相互叠加。 0= N(x)1 d x t M(x) d x t M2(x) L 2EA L2GlnJ2EⅠ Q2(x) dx L 2E4 s>剪切挠度因子 细长杆,剪力引起的变形能可忽略不计 U= N(x x dx+ ndx t M2(x) L 2EAJL GIJL 2EI
三、变形能的普遍表达式： 变形能与加载次序无关；相互独立的力（矢）引起的变形能 可以相互叠加。 细长杆，剪力引起的变形能可忽略不计。 + L x EA Q x d 2 ( ) 2 S S → 剪切挠度因子x EI M x x GI M x x EA N x U L L P n L d 2 ( ) d 2 ( ) d 2 ( ) 2 2 2 = + + x EI M x x GI M x x EA N x U L L P n L d 2 ( ) d 2 ( ) d 2 ( ) 2 2 2 = + +
能量方法 例1图示半圆形等截面曲杆位于水平面内,在A点受铅垂力P的作 用,求A点的垂直位移。 解:用能量法(外力功等于应变能) ①求内力 M N B T R M T O 弯矩:Mn(q)=PRsn 扭矩:M(q)=PR(1-cosp)
Q MN MT A A P N B j T 例1 图示半圆形等截面曲杆位于水平面内，在A点受铅垂力P的作 用，求A点的垂直位移。 解：用能量法（外力功等于应变能） ①求内力 弯矩: MT (j) = PRsinj : M (j) = PR(1− cosj) 扭矩 N A P R
能念法 ②变形能: U= N2(x) dx+ M(x) dx t dx 2EA JL 2GIP L2EI P2R(sin p)Rdg rr P2R2(1-cos()Rdo o 2EI 0 2GIp 3P2R3xP2R丌 4( P 4EI ③外力功等于应变能 21=U P 3PR'T PR'I 2GI2El
③外力功等于应变能 ②变形能： = + + L L P L x EI M x x G I M x x EA N x U d 2 ( ) d 2 ( ) d 2 ( ) 2 2 n 2 + − = j j j j 0 2 2 2 0 2 2 2 d 2 (sin ) d 2 (1 cos ) R EI P R R GI P R P EI P R GI P R 4 P 4 3 2 3 2 3 = + f U P W = A = 2 EI PR GI PR f P A 2 2 3 3 3 = +
能量方法 例2用能量法求C点的挠度。梁为等截面直梁 P 解:外力功等于应变能 B W=Pf a o U= M2(x) dx JL 2EI M(x)=-x(0≤x≤a) 2 在应用对称性,得:U=2[n1,(x)2=12El Jo 2E2 Pa ∵W=U∴.f 6El 思考:分布荷载时,可否用此法求C点位移?
例2 用能量法求C点的挠度。梁为等截面直梁。 W PfC 2 1 = 解：外力功等于应变能 = L x EI M x U d 2 ( ) 2 ;(0 ) 2 ( ) x x a P M x = 在应用对称性，得： EI P a x x P EI U a 12 ) d 2 ( 2 1 2 2 3 0 2 = = EI Pa W U f C 6 3 = = 思考：分布荷载时，可否用此法求C点位移？ q C a a A P B f
能量方法 §11-2莫尔定理(单位力法) nN14 、定理的证明: 求任意点A的位移厂 )● 图a U=dx L 2EI A Mo(x) 2EⅠ ●● 图b -r IM(x)+M( dx 2EI TING A U=+Uo+l×fA ●● fa-D M(Mo() 图 El
§11–2 莫尔定理(单位力法) C A U =U+U +1f 0 = L x EI M x U d 2 ( ) 2 = L x EI M x U d 2 ( ) 2 0 0 + = L C x EI M x M x U d 2 [ ( ) ( )]2 0 = L A x EI M x M x f d ( ) ( ) 0 求任意点A的位移f A 。 一、定理的证明： a A 图 fA q(x) 图c A P0 =1 q(x) f A 图b A P0=1
能量方法 门M(x)M3)dx莫尔定理(单位力法) EⅠ 二、普遍形式的莫尔定理 6, -( Nx)No(dx+[ M, (x)Mno(x)dx+[M()Mo(x)dx L EA GⅠ LEⅠ
莫尔定理(单位力法) 二、普遍形式的莫尔定理 x EI M x M x f L A d ( ) ( ) 0 = = + + L P n n L A x GI M x M x x EA N x N x d ( ) ( ) d ( ) ( ) 0 0 x EI M x M x L d ( ) ( ) 0