武汉工程大学：《材料力学》第五章 应力状态分析

第五章应力状态分析 材料力学教案 教学学时8 基本内容1、一点处应力状态的概念及其分类 2、平面应力状态的应力坐标变换; 正负号规则:微元局部平衡:应力坐标变换 3、平面应力状态的应力圆 应力圆方程及其画法;对应关系;应力圆的应用 4、主应力、主方向与面内最大切应力 5、三向应力状态简介 三组特殊方向面,三向应力状态应力圆,一点处的最大正应力与最大切应力 6、广义虎克定律 般微元与主微元的广义虎克定律表达式及其应用 弹性常数之间的关系。 7、一般应力状态下的应变能密度 总应变能密度,体积改变能密度与畸变能密度 教学目的|1、掌握一点处应力状态的概念及其研究目的 2、掌握平面应力状态的应力坐标变换式及微元互垂面上正应力、切应力的关 3、应力圆的画法、对应关系。 4、掌握主应力、主方向与面内最大切应力的计算 5、了解三组特殊方向面与三向应力状态应力圆,掌握一点处的最大正应力 最大切应力的计算 6、掌握广义虎克定律及其应用 7、了解应变能密度、体积改变能密度与畸变能密度的概念和计算 重点、难点重点:一点处应力状态的概念、描述与研究目的;平面应力状态的应力坐标变 换式与应力圆,主应力、主方向与面内最大切应力:广义虎克定律及其应用 难点:对构件内危险点处的最大切应力(σ1)第一主方向与最大切应力及其 作用方位客观存在的理解 广义虎克定律的应用(解决应力分析与应变分析的工程实际问题) 教学方法安排三次课堂讨论 1、材料破坏与应力状态的关系: 塑性材料与脆性材料在相同外力作用下的破坏形式为什么不同? 塑性材料与脆性材料在相冋外力作用下的机械性能(屈服滑移线、颈缩、断口 等) 2、应力圆是否描述了一点的应力状态,包含了一点应力状态的各种信息? 3、如何应用广义虎克定律解决应力分析和应变分析问题 课外作业

1 第五章 应力状态分析 ————材料力学教案 教学学时 8 基本内容 1、 一点处应力状态的概念及其分类 2、 平面应力状态的应力坐标变换； 正负号规则；微元局部平衡；应力坐标变换 3、 平面应力状态的应力圆； 应力圆方程及其画法；对应关系；应力圆的应用 4、 主应力、主方向与面内最大切应力 5、 三向应力状态简介 三组特殊方向面，三向应力状态应力圆，一点处的最大正应力与最大切应力 6、 广义虎克定律 一般微元与主微元的广义虎克定律表达式及其应用 弹性常数之间的关系。 7、 一般应力状态下的应变能密度 总应变能密度，体积改变能密度与畸变能密度。 教学目的 1、 掌握一点处应力状态的概念及其研究目的。 2、 掌握平面应力状态的应力坐标变换式及微元互垂面上正应力、切应力的关 系。 3、 应力圆的画法、对应关系。 4、 掌握主应力、主方向与面内最大切应力的计算。 5、 了解三组特殊方向面与三向应力状态应力圆，掌握一点处的最大正应力、 最大切应力的计算。 6、 掌握广义虎克定律及其应用。 7、 了解应变能密度、体积改变能密度与畸变能密度的概念和计算。 重点、难点 重点：一点处应力状态的概念、描述与研究目的；平面应力状态的应力坐标变 换式与应力圆，主应力、主方向与面内最大切应力；广义虎克定律及其应用。 难点：对构件内危险点处的最大切应力（  1 ）、第一主方向与最大切应力及其 作用方位客观存在的理解。 广义虎克定律的应用（解决应力分析与应变分析的工程实际问题） 教学方法 安排三次课堂讨论： 1、 材料破坏与应力状态的关系： 塑性材料与脆性材料在相同外力作用下的破坏形式为什么不同？ 塑性材料与脆性材料在相同外力作用下的机械性能（屈服滑移线、颈缩、断口 等） 2、 应力圆是否描述了一点的应力状态，包含了一点应力状态的各种信息？ 3、 如何应用广义虎克定律解决应力分析和应变分析问题？ 课外作业

第五章疝力状忞分析 前面两章的分析结果表明,一般情形下杆件横截面上不同点的应力是不相同的。本章还 将证明,过同一点的不同方向面上的应力,一般情形下也是不相同的。因此,当提及应力时 必须指明"哪一个面上哪一点"的应力或者"哪一点哪一个方向面”上的应力。此即应力的点和 面的概念 所谓"应力状态"又称为一点处的应力状态,是指过一点不同方向面上应力的集合 应力状态分析是用平衡的方法,分析过一点不同方向面上应力的相互关系,确定这些应 力中的极大值和极小值以及它们的作用面。 与前几章中所采用的平衡方法不同的是,平衡对象既不是整体杆或某一段杆,也不是微 段杆或其一部分,而是三个方向尺度均为小量的微元局部 此外,本章中还将采用与平衡解析式相比拟的方法,作为分析和思考问题的一种手段, 快速而有效地处理一些较为复杂的问题,从而避免死背硬记繁琐的解析公式。 §5-1一点处应力状态描述及其分类 对于受力的弹性物体中的任意点,为了描述其应力状态,一般是围绕这一点作一个微 六面体,当六面体在三个方向的尺度趋于无穷小时,六面体便趋于所考察的点。这时的六 面体称为微单元体,简称为徽元。一旦确定了微元各个面上的应力,过这一点任意方向面 上的应力均可由平衡方法确定。进而,还可以确定这些应力中的最大值和最小值以及它们 的作用面。因此,一点处的应力状态可用围绕该点的微元及其各面上的应力描述。图5-1 中所示为一般受力物体中任意点处的应力状态,它是应力状态中最一般的情形,称为空间 应力状态或三向应力状态 图5-1 图 当微元只有两对面上承受应力并且所有应力作用线均处于同一平面内时,这种应力状态 统称为二向应力状态或平面应力状态。图5-2中所示为平面应力状态的一般情形 当图5-2所示的平面应力状态微元中的切应力 0,且只有一个方向的正应力作用 时,这种应力状态称为单向应力状态:当上述平面应力状态中正应力x=,=0时,这种 应力状态称为纯剪应力状态或纯切应力状态。不难分析,横向荷载作用下的梁,在最大和最 小正应力作用点处,均为单向应力状态;而在最大切应力作用点处,大多数情形下为纯剪应 力状态。同样,对于承受扭矩的圆轴,其上各点均为纯剪应力状态 需要指出的是,平面应力状态实际上是三向应力状态的特例,而单向应力状态和纯剪 应力状态则为平面应力状态的特殊情形。一般工程中常见的是平面应力状态 2

2 第五章 应力状态分析 前面两章的分析结果表明，一般情形下杆件横截面上不同点的应力是不相同的。本章还 将证明，过同一点的不同方向面上的应力，一般情形下也是不相同的。因此，当提及应力时， 必须指明"哪一个面上哪一点"的应力或者"哪一点哪一个方向面"上的应力。此即"应力的点和 面的概念"。 所谓"应力状态"又称为一点处的应力状态，是指过一点不同方向面上应力的集合。 应力状态分析是用平衡的方法，分析过一点不同方向面上应力的相互关系，确定这些应 力中的极大值和极小值以及它们的作用面。 与前几章中所采用的平衡方法不同的是，平衡对象既不是整体杆或某一段杆，也不是微 段杆或其一部分，而是三个方向尺度均为小量的微元局部。 此外，本章中还将采用与平衡解析式相比拟的方法，作为分析和思考问题的一种手段， 快速而有效地处理一些较为复杂的问题，从而避免死背硬记繁琐的解析公式。 §5-1 一点处应力状态描述及其分类 对于受力的弹性物体中的任意点，为了描述其应力状态，一般是围绕这一点作一个微 六面体，当六面体在三个方向的尺度趋于无穷小时，六面体便趋于所考察的点。这时的六 面体称为微单元体，简称为微元。一旦确定了微元各个面上的应力，过这一点任意方向面 上的应力均可由平衡方法确定。进而，还可以确定这些应力中的最大值和最小值以及它们 的作用面。因此，一点处的应力状态可用围绕该点的微元及其各面上的应力描述。图 5-1 中所示为一般受力物体中任意点处的应力状态，它是应力状态中最一般的情形，称为空间 应力状态或三向应力状态。 当微元只有两对面上承受应力并且所有应力作用线均处于同一平面内时，这种应力状态 统称为二向应力状态或平面应力状态。图 5-2 中所示为平面应力状态的一般情形。 当图 5-2 所示的平面应力状态微元中的切应力  xy = 0 ，且只有一个方向的正应力作用 时，这种应力状态称为单向应力状态；当上述平面应力状态中正应力  x =  y = 0 时，这种 应力状态称为纯剪应力状态或纯切应力状态。不难分析，横向荷载作用下的梁，在最大和最 小正应力作用点处，均为单向应力状态；而在最大切应力作用点处，大多数情形下为纯剪应 力状态。同样，对于承受扭矩的圆轴，其上各点均为纯剪应力状态。 需要指出的是，平面应力状态实际上是三向应力状态的特例，而单向应力状态和纯剪 应力状态则为平面应力状态的特殊情形。一般工程中常见的是平面应力状态。 图 5-1 图 5-2

§5-2平面应力状态的应力坐标变换 1.正负号规定 图5一3a、b、c中所示分别为平面应力状态微元以及任意方向上的受力图。图中0为x y’坐标轴与x、y坐标轴之间的夹角,即Oxy坐标系旋转的角度。关于0角以及各应力分量 有下列正负号规则 Ox (b) 图5-3 0角一一从x正方向反时针转至x正方向的为正:反之为负。 正应力一一拉为正;压为负 切应力一一使微元或其局部产生顺时针方向转动趋势者为正:反之为负 图5一3中所示的6角及正应力和切应力均为正;,为负。 2.微元的局部平衡 为确定平面应力状态中任意方向面上的应力,将微元从任意方向面截为两部分,考察其 中任意部分,其受力如图53b所示,假定任意方向的正应力σx,和切应力rx,均为正方 向。于是,根据力的平衡方程,可以写出 F,=0 o dA-(o dAcos 0)cos+(t, dA cosO)sn 8 (o dAsn O)sn 6+(r dAsin 0)cos0=0 ∑F I. dA-(o dA cosO)sin 0+(T dA cos 0)cos 8 (o dAsin 0)cos0+(T dAsin O)sin 0=0 解上两式整理得平面应力状态下单元体任一斜截面上的应力计算公式 0-0 cos 20 (5-1) -sin 20+r. cos 20 2

3 §5-2 平面应力状态的应力坐标变换 1. 正负号规定 图 5 一 3a、b、c 中所示分别为平面应力状态微元以及任意方向上的受力图。图中θ为 x  、 y  坐标轴与 x、y 坐标轴之间的夹角，即 Oxy 坐标系旋转的角度。关于θ角以及各应力分量 有下列正负号规则： θ角一一从 x 正方向反时针转至 x ‘正方向的为正；反之为负。 正应力一一拉为正；压为负。 切应力一一使微元或其局部产生顺时针方向转动趋势者为正；反之为负。 图 5 一 3 中所示的  角及正应力和切应力 xy  均为正； yx  为负。 2. 微元的局部平衡 为确定平面应力状态中任意方向面上的应力，将微元从任意方向面截为两部分，考察其 中任意部分，其受力如图 5-3b 所示，假定任意方向的正应力 ' x  ，和切应力 ' ' x y  ,均为正方 向。于是，根据力的平衡方程，可以写出：  ' = 0 x F  ' dA − ( xdAcos ) cos + ( xydAcos )sin  − x ( ydAsin  )sin  + ( yxdAsin  ) cos = 0  ' = 0 y F  ' dA− ( xdAcos)sin  + ( xydAcos)cos − xy ( ydAsin  ) cos + ( yxdAsin  )sin  = 0 解上两式整理得平面应力状态下单元体任一斜截面上的应力计算公式         cos 2 sin 2 2 2 ' xy x y x y x − − + + = （5-1）       sin 2 cos 2 2 ' ' xy x y x y + − = （5-2） x  xy  xy  x  图 5-3

应用上式计算G、xy时,各已知应力,、可,、n和日均用其代数值 §5-3类比法的应用—应力圆 1应力圆方程 将上式(5-1)、(5-2)两边平方,然后相加,并应用sn22a+cos2a2=1,便可得 到一圆方程 +T 2 2 对于所研究的单元体,σ、、是常量,口,、,是变量(随O的变化而变化) 0+O 故令:=X、xyy =a +z2=R,则上式变为如下形式 R2 由解析几何可知,上式代表的是圆心坐标(a,0),半径为R的圆。因此,式(5-3)代表 + 个圆方程;若取σ为横坐标,τ为纵坐标,则该圆的圆心是( 0),半径等于 +z2,这个圆称为“应力圆”。因应力圆是德国学者莫尔( 0. Mohr)于1882 年最先提出的,所以又叫莫尔圆。应力圆上任一点坐标代表所研究单元体上任一截面的应力 因此应力圆上的点与单元体上的截面有着一一对应关系 2几种对应关系 考察平面应力状态坐标变换相对应的应力圆,如图54所示 ar 图5-4

4 应用上式 计算 ' x  、 ' ' x y  时，各已知应力  x 、 y 、 xy  和  均用其代数值。 §5-3 类比法的应用——应力圆 1.应力圆方程 将上式（5-1）、（5-2）两边平方，然后相加，并应用 sin 2 cos 2 1 2 2  +  = ，便可得 到一圆方程 2 2 2 2 ) 2 ) ( 2 ( ' ' ' xy x y x y x y x        + − + = + − （5-3） 对于所研究的单元体，  x 、 y 、 xy  是常量， ' x  、 ' ' x y  是变量（随  的变化而变化）， 故令 ' x  =x、 ' ' x y  =y、 a x y = + 2   、 xy R x y + =         − 2 2 2    ，则上式变为如下形式： ( ) 2 2 2 x − a + y = R 由解析几何可知，上式代表的是圆心坐标（a，0），半径为 R 的圆。因此，式（5-3）代表一 个圆方程；若取  为横坐标，  为纵坐标，则该圆的圆心是（ 2  x + y ，0），半径等于 2 2 2 x x y    +         − ，这个圆称为“应力圆”。因应力圆是德国学者莫尔（O.Mohr）于 1882 年最先提出的，所以又叫莫尔圆。应力圆上任一点坐标代表所研究单元体上任一截面的应力， 因此应力圆上的点与单元体上的截面有着一一对应关系。 2.几种对应关系 考察平面应力状态坐标变换相对应的应力圆，如图 5-4 所示。 图 5-4

假设应力圆上点a的坐标对应着微元A面上的应力(0x,τx)。将点a与圆心C相连, 并延长aC交应力圆于点d。根据图中的几何关系,不难证明,应力圆上d点坐标对应微元 D面上的应力(oy,-txy) 根据上述类比不难得到以下几种对应关系: 点面对应 应力圆上某一点的坐标值对应着微元某一方向面上的正应力和切应力值。 转向对应 应力圆半径旋转时,半径端点的坐标随之改变,对应地,微元坐标轴亦沿相同方向旋转, 才能保证某一方向面上的应力与应力圆上半径端点的坐标相对应 倍角对应 应力圆上半径转过的角度等于坐标轴旋转角度的2倍 3.应力圆的应用 基于上述对应关系,不仅可以根据微元两相互垂直面上的应力确定应力圆上一直径上 的两端点,并由此确定圆心C,进而画出应力圆,从而使应力圆绘制过程大为简化。而且 还可以确定任意方向面上的正应力和切应力,以及正应力和切应力的极大值和极小值。 以图55a中所示的平面应力状态为例。首先在图5-5b所示的O:;坐标系中找到 与微元A、D面上应力(ax,tx)、(0y,ty)对应的两点a、d,连接ad交,轴于点C, 以点C为圆心,以Ca或Cd为半径作圆,即为与所给应力状态对应的应力圆。 20 (b) 图5-5 其次,为求x轴逆时针旋转0角至x轴位置时微元方向面G上的应力,可将应力圆上 的半径Ca按相同方向旋转20,得到点g,则点g的坐标值即为G面上的应力值(图5-5c) 这一结论留给读者自己证明。 §54主应力、主方向与面内最大切应力 1.主平面、主应力和主方向

5 假设应力圆上点 a 的坐标对应着微元 A 面上的应力(σx，τxy)。将点 a 与圆心 C 相连, 并延长 aC 交应力圆于点 d。根据图中的几何关系，不难证明，应力圆上 d 点坐标对应微元 D 面上的应力（σy，-τxy）。 根据上述类比,不难得到以下几种对应关系： ·点面对应 应力圆上某一点的坐标值对应着微元某一方向面上的正应力和切应力值。 ·转向对应 应力圆半径旋转时，半径端点的坐标随之改变,对应地，微元坐标轴亦沿相同方向旋转， 才能保证某一方向面上的应力与应力圆上半径端点的坐标相对应。 ·倍角对应 应力圆上半径转过的角度等于坐标轴旋转角度的 2 倍。 3. 应力圆的应用 基于上述对应关系，不仅可以根据微元两相互垂直面上的应力确定应力圆上一直径上 的两端点，并由此确定圆心 C，进而画出应力圆，从而使应力圆绘制过程大为简化。而且， 还可以确定任意方向面上的正应力和切应力，以及正应力和切应力的极大值和极小值。 以图 5-5a 中所示的平面应力状态为例。首先在图 5-5b 所示的 O ' x  ' ' x y  坐标系中找到 与微元 A、D 面上应力(σx，τxy)、(σy，τyx)对应的两点 a、d，连接 ad 交 ' x  轴于点 C， 以点 C 为圆心，以 Ca 或 Cd 为半径作圆，即为与所给应力状态对应的应力圆。 其次，为求 x 轴逆时针旋转θ角至 x'轴位置时微元方向面 G 上的应力，可将应力圆上 的半径 Ca 按相同方向旋转 2θ，得到点 g，则点 g 的坐标值即为 G 面上的应力值(图 5-5c)。 这一结论留给读者自己证明。 §5-4 主应力、主方向与面内最大切应力 1. 主平面、主应力和主方向 图 5-5

表示一点应力状态的微元中存在一种特殊的方向面,其上的切应力等于零,这种方向面 称为主平面。主平面上的正应力称为主应力。主平面的法线方向称为主方向,主方向一般用 坐标轴(x,y)的正向与主平面法线正方向夹角0,表示。 从图5-5b中所示应力圆可以看出,应力圆与σ轴的交点b和e,对应着平面应力状态 的主平面,其横坐标值即为主应力。此外,对于平面应力状态,根据主平面的定义,其上 没有应力作用的平面亦为主平面,只不过这一主平面上的主应力为零。 根据5-5b中的几何关系,平面应力状态的三个主应力分别为 o=rTo a,)+4r (5-4a) 2 Cr For l 0 (5-4c) 需要指出的是,在图5一5b中σ、σ"均为正值,这只有在一定的条件下才是正确的 当σy<0或其他条件下,σ’、σ"也有可能为负值 实际应用中需按σ’、σ”、σ"的代数值顺序排列,用σ1、2、a3表示主应力,且 12a203,亦即G1=max(1、a2、O3):3=min(a1、a2、O3) 从图5-5b的几何关系中,还可以得到主方向角的表达式 tan 20 (5-5) 式中,负号表示由x正向顺时针转到主应力(例如)的正向 根据主平面和主应力的定义,由式(5-1)(5-2)也可以得到主应力和主方向的表达式(5-4) 和(5-5)。这个结果,有兴趣的读者可自行推证 2.面内最大切应力 图5-5b中应力圆的最高点和最低点(h和i),切应力绝对值最大,它们分别对应于平面应 力状态中垂直于零主应力面的一组平面内切应力最大者,故这种切应力称为面内最大切应 力,其值为 √G,-a)+4n 3.应力状态的主应力表示 当一点处应力状态中的主应力和主方向确定之后,也可以用主应力作用的微元表示这 点的应力状态。图5-5d中所示为用主应力表示的应力状态。当然,这时的微元都是相对 初始坐标轴(x,y)转过主方向角p的形式 用主应力表示一点处的应力状态可以说明某些应力状态表面上是不同的,但实质是相 同的,即其主应力和主方向都相同。 需要指出的是,应力圆的功能主要不是作为图解法的工具用以计算某些量。它一方面 通过明晰的几何关系帮助读者导出一些公式,而不是死记硬背这些公式;另一方面,也是

6 表示一点应力状态的微元中存在一种特殊的方向面，其上的切应力等于零，这种方向面 称为主平面。主平面上的正应力称为主应力。主平面的法线方向称为主方向，主方向一般用 坐标轴(x，y)的正向与主平面法线正方向夹角θp 表示。 从图 5-5b 中所示应力圆可以看出，应力圆与 ' x  轴的交点 b 和 e，对应着平面应力状态 的主平面，其横坐标值即为主应力。此外，对于平面应力状态，根据主平面的定义，其上 没有应力作用的平面亦为主平面，只不过这一主平面上的主应力为零。 根据 5-5b 中的几何关系，平面应力状态的三个主应力分别为 ( ) 2 2 4 2 1 2 x y xy x y       + − + +  = （5-4a） ( ) 2 2 4 2 1 2 x y xy x y       − − + +  = （5-4b）  = 0 （5-4c） 需要指出的是，在图 5 一 5b 中 、 均为正值，这只有在一定的条件下才是正确的， 当σy<0 或其他条件下， 、 也有可能为负值。 实际应用中,需按 、、 的代数值顺序排列，用  1、 2 、 3 表示主应力，且  1   2   3，亦即  1 =max(  1、 2 、 3 )；  3 =min(  1、 2 、 3 )。 从图 5-5b 的几何关系中，还可以得到主方向角的表达式： x y xy P     − = − 2 tan 2 （5-5） 式中，负号表示由 x 正向顺时针转到主应力(例如σ')的正向。 根据主平面和主应力的定义，由式(5-1)~(5-2)也可以得到主应力和主方向的表达式(5-4) 和(5-5)。这个结果，有兴趣的读者可自行推证。 2. 面内最大切应力 图 5-5b 中应力圆的最高点和最低点(h 和 i)，切应力绝对值最大，它们分别对应于平面应 力状态中垂直于零主应力面的一组平面内切应力最大者，故这种切应力称为面内最大切应 力，其值为 ( ) 2 2 4 2 1 2 x y xy       =  − +  −   = （5-6） 3. 应力状态的主应力表示 当一点处应力状态中的主应力和主方向确定之后，也可以用主应力作用的微元表示这 一点的应力状态。图 5-5d 中所示为用主应力表示的应力状态。当然，这时的微元都是相对 初始坐标轴(x，y)转过主方向角  P 的形式。 用主应力表示一点处的应力状态可以说明某些应力状态表面上是不同的，但实质是相 同的，即其主应力和主方向都相同。 需要指出的是，应力圆的功能主要不是作为图解法的工具用以计算某些量。它一方面 通过明晰的几何关系帮助读者导出一些公式，而不是死记硬背这些公式；另一方面，也是

更重要的方面是作为一种思考问题的工具。用以分析和解决一些难度较大的问题。请读者 分析本章中的某些习题时注意充分利用这种工具 §55三向应力状态的特例分析 应用主应力的概念,三个主应力均不为零的应力状态,即为三向应力状态。前面己经 提到,平面应力状态也有三个主应力,只是其中有一个或两个主应力等于零。所以,平面 应力状态也是三向应力状态的特例。除此之外,所谓三向应力状态的特例是指有一个主平 面及其上之主应力为已知的三向应力状态的特殊情形。 1.三组特殊方向面 不失一般性,考察三个主平面均为已知及三个主应扒(σ1≥σ2≥σ3)均不为零的情形, 如图5-6a所示。与这种应力状态对应的应力圆是怎样的?从应力圆上又可以得到什么结论? 因为三个主平面和主应力均为已知,可以将这种应力状态分解为三种平面应力状态,分 析平行于三个主应力方向的三组特殊方向面上的应力。 1)平行于主应力a1方向的方向面 若用平行于G1的任意方向面从微元中截出一局部,不难看出,与σ1相关的力自相平衡 因而对该方向面上的应力无影响。这时可将其视为只有a2和σ3作用的平面应力状态,如图 5-6b所示。 2)平行于主应力σ2方向的方向面 这些方向面上的应力与σ2无关,这时可将其视为只有σ1、O3作用的平面应力状态,如 图5-6c所示。 )平行于主应力a3方向的方向面 研究这组方向面上的应力,可将其视为只有a1和σ2作用的平面应力状态,如图5-6d 所示 图5-6

7 更重要的方面是作为一种思考问题的工具。用以分析和解决一些难度较大的问题。请读者 分析本章中的某些习题时注意充分利用这种工具。 §5-5 三向应力状态的特例分析 应用主应力的概念，三个主应力均不为零的应力状态，即为三向应力状态。前面已经 提到，平面应力状态也有三个主应力，只是其中有一个或两个主应力等于零。所以，平面 应力状态也是三向应力状态的特例。除此之外，所谓三向应力状态的特例是指有一个主平 面及其上之主应力为已知的三向应力状态的特殊情形。 1. 三组特殊方向面 不失一般性，考察三个主平面均为已知及三个主应力(  1   2   3 )均不为零的情形， 如图5-6a所示。与这种应力状态对应的应力圆是怎样的？从应力圆上又可以得到什么结论？ 因为三个主平面和主应力均为已知，可以将这种应力状态分解为三种平面应力状态，分 析平行于三个主应力方向的三组特殊方向面上的应力。 1）平行于主应力  1 方向的方向面 若用平行于  1 的任意方向面从微元中截出一局部，不难看出，与  1 相关的力自相平衡， 因而对该方向面上的应力无影响。这时可将其视为只有  2 和  3 作用的平面应力状态，如图 5 一 6b 所示。 2）平行于主应力  2 方向的方向面 这些方向面上的应力与  2 无关，这时可将其视为只有  1、 3 作用的平面应力状态，如 图 5-6c 所示。 3）平行于主应力  3 方向的方向面 研究这组方向面上的应力，可将其视为只有  1 和  2 作用的平面应力状态，如图 5-6d 所示。 图 5-6

2.三向应力状态的应力圆 根据图5-6b、c、d中所示的平面应力状态,可作出三个与此对应的应力圆I、Il、Ⅲ 如图5-6所示。三个应力圈上的点分别对应三向应力状态中三组特殊方向面上的应力。这 三个圆统称为三向应力状态应力圆。 还可以证明,三向应力状态中任意方向面上的应力对应着上述三个应力圆之间所围区域 (图5-6e中阴影线部分)内某一点的坐标值。这已超出本课程所涉及范围,故不赘述 3.一点处的最大切应力 对于一般情形下的三向应力状态,都可以找到它的三个主应力,因而也都可以作出类 似的三向应力状态应力圆。结果表明,微元内的最大切应力发生在平行于σ2的那组方向面 内,与这一方向面对应的是最大应力圆(由G1和σ3作出)的最高和最低点。于是,一点处应 力状态中的最大切应力 0-0 (5-7) 在a1与a2以及O2与a3组成的应力圆上,其最高点与最低点纵坐标所对应的切应力 只是平行于a3和G1的那两组方向面中最大值,此即前面所提到的平面应力状态中的“面 内最大切应力”。 般平面应力状态作为三向应力状态的特例,即两个非零的主应力和一个为零的主应 力,也应该可以作出三个应力圆。同样由σ1、3作出的应力圆的最高与最低点之纵坐标 值,即为平面应力状态的最大切应力,其表达式与式(5-7)相同 其余两个面内最大切应力分别用r、τ"表示,其值为 (5-8) 2 读者不难发现,对于平面应力状态,式(5-8)、(5-9)与式(5-6)是等价的。 §5-6各向同性材料在一般应力状态下的 应力一应变关系 1.广义虎克定律 根据各向同性材料在弹性范围内应力应变关系,可以得到单向应力状态下微元沿 正应力方向的正应变 实验结果表明,在σ作用下,除x方向的正应变外,在与其垂直的y、z方向亦有 反号的正应变6、E:存在,它们与Ex之间存在下列关系:

8 2. 三向应力状态的应力圆 根据图 5-6b、c、d 中所示的平面应力状态，可作出三个与此对应的应力圆 I、II、III， 如图 5-6e 所示。三个应力圈上的点分别对应三向应力状态中三组特殊方向面上的应力。这 三个圆统称为三向应力状态应力圆。 还可以证明，三向应力状态中任意方向面上的应力对应着上述三个应力圆之间所围区域 (图 5-6e 中阴影线部分)内某一点的坐标值。这已超出本课程所涉及范围，故不赘述。 3. 一点处的最大切应力 对于一般情形下的三向应力状态，都可以找到它的三个主应力，因而也都可以作出类 似的三向应力状态应力圆。结果表明，微元内的最大切应力发生在平行于  2 的那组方向面 内，与这一方向面对应的是最大应力圆(由  1 和  3 作出)的最高和最低点。于是，一点处应 力状态中的最大切应力 2 1 3 max    − = （5-7） 在  1 与  2 以及  2 与  3 组成的应力圆上，其最高点与最低点纵坐标所对应的切应力 只是平行于  3 和  1 的那两组方向面中最大值，此即前面所提到的平面应力状态中的“面 内最大切应力”。 一般平面应力状态作为三向应力状态的特例，即两个非零的主应力和一个为零的主应 力，也应该可以作出三个应力圆。同样由  1、 3 作出的应力圆的最高与最低点之纵坐标 值，即为平面应力状态的最大切应力，其表达式与式(5-7)相同。 其余两个面内最大切应力分别用  、  表示，其值为 2  1  2  −  = （5-8） 2  2  3  −  = （5-9） 读者不难发现，对于平面应力状态，式(5-8)、(5-9)与式(5-6)是等价的。 §5-6 各向同性材料在一般应力状态下的 应力一应变关系 1. 广义虎克定律 根据各向同性材料在弹性范围内应力-应变关系，可以得到单向应力状态下微元沿 正应力方向的正应变 E x x   = 实验结果表明，在  x 作用下，除 x 方向的正应变外，在与其垂直的 y、z 方向亦有 反号的正应变 y  、 z  存在，它们与 x  之间存在下列关系：

E E 其中,V为材料的弹性常数,称为泊松比,对于各向同性材料,上述二式中的泊松比是相 同的 a) 图5- 对于纯切应力状态,前已提到切应力和切应变在弹性范围也存在比例关系,即 在小变形条件下,考虑到正应力与切应力的相互独立作用,应用叠加原理,可以得到图 5-7a所示一般应力(三向应力)状态下的应力一应变关系 +g ElOy-no: +o (5-10) x 上式称为一般应力状态下的广义胡克定律 若微元的三个主应力已知时,其应力状态如图5-7b所示,这时广义胡克定律变为下列形 VG,+σ 2=k-+o月

9 E x y x   = − = − E x z x   = − = − 其中，ν为材料的弹性常数，称为泊松比，对于各向同性材料，上述二式中的泊松比是相 同的。 对于纯切应力状态，前已提到切应力和切应变在弹性范围也存在比例关系，即 G   = 在小变形条件下，考虑到正应力与切应力的相互独立作用，应用叠加原理，可以得到图 5-7a 所示一般应力（三向应力）状态下的应力一应变关系。  ( ) x x y z E  =  −  + 1  ( ) y y z x E  =  −  + 1  ( ) z z x y E  =  −  + 1 （5-10） G xy xy   = G xz xz   = G yz yz   = 上式称为一般应力状态下的广义胡克定律。 若微元的三个主应力已知时，其应力状态如图 5-7b 所示，这时广义胡克定律变为下列形 式：  ( ) 1 1 2 3 1  =  −  + E  ( ) 2 2 3 1 1  =  −  + E （5-11） 图 5-7

F,+o 式中,E1、E2、E3分别为沿主应力σ1、O2、O3方向的应变,称为主应变 对于平面应力状态,广义胡克定律(5-10简化为 =1(-1) 2.各向同性材料各弹性常数之间的关系 对于同一种各向同性材料,广义胡克定律中的三个弹性常数并不完全独立,它们之间存 在下列关系: G E (5-13) 2(1+v 上述关系可以通过理论分析加以证明 需要指出的是,对于绝大多数各向同性材料,泊松比一般在0~05之间取值,因此 E/2≥G≥EB3。 §5-7一般应力状态下的应变能密度 1.总应变密度 考察图5-7b中以主应力表示的三向应力状态,其主应力和主应变分别为 和E1、E2、E3假设应力和应变都同时自零开始逐渐增加至终F 值 根据能量守恒原理,材料在弹性范围内工作时,微元三对 面上的力(其值为应力与面积之乘积)在由各自对应应变所产生 的位移上所作之功,全部转变为一种能量贮存于微元内。这种 能量称为弹性应变能,简称为应变能,用dV.表示。若以V表 示微元的体积,则定义dV/dV应变能密度,用v表示 当材料的应力应变满足广义胡克定律时,在小变形的条件 下,相应的力和位移亦存在线性关系,如图5-8所示。这时力作 图5-8 功为 W=-FA (5-14) 对于弹性体,此功将转变为弹性应变能V 设微元的三对边长分别为dx、dy、dz,则与力σ1ddz、σ2dxdz、σ3dxdy相对应的位 移分别为E1dx、E2d、E3dz。这些力所作之功

10  ( ) 3 3 1 2 1  =  −  + E 式中， 1  、 2  、 3  分别为沿主应力  1、 2 、 3 方向的应变，称为主应变。 对于平面应力状态，广义胡克定律(5-10)简化为 ( ) x x y E  =  − 1 ( ) y y x E  =  − 1 ( ) z x y E     = − + （5-12） G xy xy   = 2. 各向同性材料各弹性常数之间的关系 对于同一种各向同性材料，广义胡克定律中的三个弹性常数并不完全独立，它们之间存 在下列关系： ( + ) = 2 1 E G （5-13） 上述关系可以通过理论分析加以证明。 需要指出的是，对于绝大多数各向同性材料，泊松比一般在 0~0.5 之间取值，因此 E/2  G  E/3。 §5-7 一般应力状态下的应变能密度 1. 总应变密度 考察图 5-7b 中以主应力表示的三向应力状态，其主应力和主应变分别为  1、 2 、 3 和 1  、 2  、 3  。假设应力和应变都同时自零开始逐渐增加至终 值。 根据能量守恒原理，材料在弹性范围内工作时，微元三对 面上的力(其值为应力与面积之乘积)在由各自对应应变所产生 的位移上所作之功，全部转变为一种能量贮存于微元内。这种 能量称为弹性应变能，简称为应变能，用 dVε表示。若以 dV 表 示微元的体积，则定义 dVε/dV 应变能密度，用  v 表示。 当材料的应力-应变满足广义胡克定律时，在小变形的条件 下，相应的力和位移亦存在线性关系，如图 5-8 所示。这时力作 功为 W = FP 2 1 （5-14） 对于弹性体，此功将转变为弹性应变能 Vε。 设微元的三对边长分别为 dx、dy、dz，则与力  1 dydz、 2 dxdz、 3 dxdy 相对应的位 移分别为 1  dx、 2  dy、 3  dz。这些力所作之功 图 5-8