武汉工程大学：《材料力学》第十章 能量法

第十章能量法 材料力学教案 学|6学时 弹性杆件的变形能计算 单位载荷法、计算莫尔积分的图乘法 教「1.掌握外力功、变形能的计算方法。 学2.了解应变余功,应变余能的基本概念。 日|3.掌握由能量原理导出的能量法、莫尔积分公式的导出 的4.掌握单位载荷法与图乘法之间的关系。 5.掌握图乘法的基本原理与推导过程以及图乘法的应用条件 6.能够熟练地应用图乘法计算指定截面的位移 7.了解并掌握图乘法的计算与应用技巧。 重点和难点 重点:1.掌握外力功、变形能的计算方法 2.掌握能量法的基本原理。 3.要求熟练掌握五种基本变形状态下的变形能的计算。 4.掌握单位载荷法与图乘法之间的关系 5.重点掌握图乘法的基本原理与应用条件。 6.要求熟练掌握图乘法的计算方法与计算技巧。 难点:是如何正确理解虚功原理。 难点之一是莫尔积分公式的正确应用。 难点之二是莫尔积分公式应用的推广。 在解决问题时,有时图乘法非常简单,有时却很麻烦。 在虚功原理的基础上,建立莫尔积分公式,在直杆分析时,重 学点讲授图乘法的应用。 方法|2.授过程中在适当地方安排课堂讨论 (a)单位载荷法与莫尔积分之间的关系 (b)虚位移与虚功的基本概念。 (c)莫尔积分与图乘法的应用条件有什么区别? 作业

第十章 能量法 ————材料力学教案 学 时 6 学时 基 本 内 容 弹性杆件的变形能计算 单位载荷法、计算莫尔积分的图乘法 教 学 目 的 1. 掌握外力功、变形能的计算方法。 2. 了解应变余功，应变余能的基本概念。 3. 掌握由能量原理导出的能量法、莫尔积分公式的导出。 4. 掌握单位载荷法与图乘法之间的关系 。 5. 掌握图乘法的基本原理与推导过程以及图乘法的应用条件。 6. 能够熟练地应用图乘法计算指定截面的位移。 7．了解并掌握图乘法的计算与应用技巧 。 重 点 和 难 点 重点：1.掌握外力功、变形能的计算方法。 2.掌握能量法的基本原理。 3.要求熟练掌握五种基本变形状态下的变形能的计算。 4.掌握单位载荷法与图乘法之间的关系 。 5. 重点掌握图乘法的基本原理与应用条件。 6. 要求熟练掌握图乘法的计算方法与计算技巧。 难点： 是如何正确理解虚功原理。 难点之一是莫尔积分公式的正确应用。 难点之二是莫尔积分公式应用的推广。 在解决问题时，有时图乘法非常简单，有时却很麻烦。 教 学 方法 1．在虚功原理的基础上，建立莫尔积分公式，在直杆分析时，重 点讲授图乘法的应用。 2．授过程中在适当地方安排课堂讨论。 （a）单位载荷法与莫尔积分之间的关系。 （b）虚位移与虚功的基本概念。 （c）莫尔积分与图乘法的应用条件有什么区别？ 作业

第十章能量法 本章介绍弹性变形势能,并将虚位移原理、势能驻值原理及最小势能原理用于变形固体。 本章重点介绍单位载荷法,这是一种用能量原理求位移的方法,是一种很简单实用的方法。 §10.1弹性变形势能的计算 当构件发生弹性变形时,其内部会贮存能量,从而使构件具有作功的能力。例如,被跳 水运动员压弯的跳板,因变形而贮存了能量,再利用释放出来的能量对运动员作功,加强了 运动员的弹跳力。这种因弹性变形而贮存的能量称为弹性变形势能,简称变形能或应变能, 用V表示,单位为J,1J=1N·m。单位体积的应变能称为应变能密度,用ν。表示,单位 为J/m3。 外力由零开始缓慢地增加到最终值,构件始终处于平衡状态,动能的变化及其他能量的 损耗均可略去不计。根据能量守恒定律,构件内部贮存的应变能在数值上等于外力所作的功 (10.1) 此关系称为功能原理。 1、外力功的计算 外力由零缓慢增加到最终值F,外力作用点的位置发生移动,移动量为△(见图 则此力的功为 若材料服从胡克定律,力和位移的关系是线性的,如图10.1b所示,显然此时外力功 等于斜直线下三角形面积,即 图10.1 W=-F△ (10.2) 应该指出,此处所讲的力和位移都是广义的,外力可以是力,也可以是力偶,相应的广义位 移则分别为线位移或角位移

第十章 能量法 本章介绍弹性变形势能，并将虚位移原理、势能驻值原理及最小势能原理用于变形固体。 本章重点介绍单位载荷法，这是一种用能量原理求位移的方法，是一种很简单实用的方法。 §10.1 弹性变形势能的计算 当构件发生弹性变形时，其内部会贮存能量，从而使构件具有作功的能力。例如，被跳 水运动员压弯的跳板，因变形而贮存了能量，再利用释放出来的能量对运动员作功，加强了 运动员的弹跳力。这种因弹性变形而贮存的能量称为弹性变形势能，简称变形能或应变能， 用 V 表示，单位为 J，l J=1 N·m。单位体积的应变能称为应变能密度，用  v 表示，单位 为 3 J / m 。 外力由零开始缓慢地增加到最终值，构件始终处于平衡状态，动能的变化及其他能量的 损耗均可略去不计。根据能量守恒定律，构件内部贮存的应变能在数值上等于外力所作的功 W，即 V = W （10.1） 此关系称为功能原理。 1、 外力功的计算 外力由零缓慢增加到最终值 F，外力作用点的位置发生移动，移动量为△(见图 10．1a)， 则此力的功为   = 0 W fd 若材料服从胡克定律，力和位移的关系是线性的，如图 10．1b 所示，显然此时外力功 等于斜直线下三角形面积，即 W = F 2 1 （10.2） 应该指出，此处所讲的力和位移都是广义的，外力可以是力，也可以是力偶，相应的广义位 移则分别为线位移或角位移。 图 10.1

2、应变能的计算 根据功能原理,应变能可以通过外力功的计算求得。在线弹性范围内有 V=W=÷F△ 1.轴向拉压时的应变能 若杆件在轴向外力F的作用下,轴向变形为△1,且△l与F成正比,则 V=F△ 由于轴力FN,所以 EA 2E 若轴力FN沿轴线为一变量FN(x),则有应变能的一般表达式 dx (10.3) 2EA 若结构为,n根直杆组成的桁架时,整个结构内的应变能为 V=∑ 2E. A 式中F、l、E;和A1分别为桁架中第i根杆的轴力、长度、弹性模量和横截面面积 2.圆轴扭转时的应变能 若圆轴在扭转力偶矩M,的作用下,端面扭转角为q(图10.2a),且q与M,成正比(图 V=M9 10.2

2、 应变能的计算 根据功能原理，应变能可以通过外力功的计算求得。在线弹性范围内有 V = W = F 2 1  1．轴向拉压时的应变能 若杆件在轴向外力 F 的作用下，轴向变形为△l，且△l 与 F 成正比，则 V = Fl 2 1  由于轴力 FN = F ， EA F l l N  = ，所以 EA F l V N 2 2  = 若轴力 FN 沿轴线为一变量 F (x) N ，则有应变能的一般表达式  = l N dx EA F x V 2 ( ) 2  （10.3） 若结构为，n 根直杆组成的桁架时，整个结构内的应变能为 = = n i i i Ni i E A F l V 1 2 2  式中 FNi 、 i l 、 Ei 和 Ai 分别为桁架中第 i 根杆的轴力、长度、弹性模量和横截面面积。 2.圆轴扭转时的应变能 若圆轴在扭转力偶矩 Mt 的作用下，端面扭转角为  (图 10.2a)，且  与 Mt 成正比(图 10.2b)，则 V M t 2 1 = 图 10.2

由于扭矩T=M1,Q=GIP 所以 T2I 2G1 若扭矩T沿轴线为一变量T(x),则有应变能的一般表达式 (10.4) gLp 3.梁弯曲时的应变能 纯弯曲梁AB如图10.3a所示,用第6章求弯曲变形的方法,可以求出A和B两个端截 面的相对转角为 可见b与M也是成正比的(图10.3b),则 V=M(6 Ml 由于弯矩M=M。,6 所以 2EI 若弯矩M沿轴线为一变量M(x),则有应变能的一般表达式 (10.5) (b) 图10.3 横力弯曲时,梁的横截面上除了弯矩还有剪力,应分别计算与弯曲和剪切相对应的 应变能。剪切应变能的表达式为

由于扭矩 T = Mt ， GIP Tl  = 所以 GI P T l V 2 2  = 若扭矩 T 沿轴线为一变量 T(x)，则有应变能的一般表达式  = l P dx GI T x V 2 ( ) 2  (10.4) 3.梁弯曲时的应变能 纯弯曲梁 AB 如图 10.3a 所示，用第 6 章求弯曲变形的方法，可以求出 A 和 B 两个端截 面的相对转角为 EI M l e  = 可见  与 Me 也是成正比的(图 10.3b)，则 V M e 2 1 = 由于弯矩 M = Me ， EI M l e  = 所以 EI M l V 2 2  = 若弯矩 M 沿轴线为一变量 M(x)，则有应变能的一般表达式  = l dx EI M x V 2 ( ) 2  (10.5) 横力弯曲时，梁的横截面上除了弯矩还有剪力，应分别计算与弯曲和剪切相对应的 应变能。剪切应变能的表达式为 图 10.3

式中K是量纲为1的量,它与横截面形状和尺寸有关,矩形截面K为一导,实心圆截面 K为,薄壁圆管时K为2。但在细长梁的情况下,对应于剪切的应变能与弯曲应变能 相比,一般很小,所以常常略去不计 4.组合变形构件的应变能 由于小变形情况下各内力分量引起的应变能互不耦合,所以组合变形构件的总应变 能(不计剪力的影响)为 ≈fF(lx+rr2(x) M2(x) (10.6) 2EA 2Gl 2EⅠ 若杆件不是圆截面,应将上式中lp换为l1,若杆件为变截面杆,那么上式中A,Ip,I 均为x的函数。 §102虚功原理用于变形固体 1、虚位移原理用于变形固体 虚位移原理是分析静力学的一个基本原理,是适用于任意质点系的。现在研究的是 变形体,所以除了外力在虚位移上要作功外,内力在相应的变形虚位移上也要作功。前 者称为外力虚功,用δW表示;后者称为内力虚功,用OW表示。此处的内力虚功 相应于刚体系统中的弹簧力所作的虚功。那么用于变形固体的虚位移原理(又称虚功原 理)可以表述为 变形固体平衡的充分必要条件是作用于其上的外力系和内力系在任意一组虚位移 上所作的虚功之和为零,即 ow+sw=o (10.7) 此处的虚位移是除作用在杆件上的原力系本身以外,由其他因素所引起的满足约束 条件的假想的无限小位移。它是在原力系作用下的平衡位置上再增加的位移。它可以是 真实位移的增量,也可以是与真实位移无关的其他位移,例如另外的广义力或温度变化, 支座移动等引起的位移,甚至是完全虚拟的。但是这种虚位移必须满足边界位移条件和 变形连续性条件,并符合小变形要求。 虚位移既然与作用的力无关,就不受外力与位移关系的限制,也不受材料应力应变 关系的限制,所以虚位移原理可以用于非线性情况。 2、内力虚功的表达式 在结构中取出一微段dx,如图10.4a所示。微段上的变形虚位移可分解为d(△) dO,d",如图10.4b、c、d所示

 = l Q dx GA KF x V 2 ( ) 2  式中 K 是量纲为 1 的量，它与横截面形状和尺寸有关，矩形截面 K 为 5 6 导，实心圆截面 K 为 9 10 ，薄壁圆管时 K 为 2。但在细长梁的情况下，对应于剪切的应变能与弯曲应变能 相比，一般很小，所以常常略去不计。 4.组合变形构件的应变能 由于小变形情况下各内力分量引起的应变能互不耦合，所以组合变形构件的总应变 能(不计剪力的影响)为  = l N dx EA F x V 2 ( ) 2  + l P dx GI T x 2 ( ) 2 + l dx EI M x 2 ( ) 2 （10.6） 若杆件不是圆截面，应将上式中 P I 换为 t I ，若杆件为变截面杆，那么上式中 A， P I ，I 均为 x 的函数。 §10.2 虚功原理用于变形固体 1 、虚位移原理用于变形固体 虚位移原理是分析静力学的一个基本原理，是适用于任意质点系的。现在研究的是 变形体，所以除了外力在虚位移上要作功外，内力在相应的变形虚位移上也要作功。前 者称为外力虚功，用 We '  表示；后者称为内力虚功，用 Wi '  表示。此处的内力虚功， 相应于刚体系统中的弹簧力所作的虚功。那么用于变形固体的虚位移原理(又称虚功原 理)可以表述为： 变形固体平衡的充分必要条件是作用于其上的外力系和内力系在任意一组虚位移 上所作的虚功之和为零，即 0 ' '  We +  Wi = (10.7) 此处的虚位移是除作用在杆件上的原力系本身以外，由其他因素所引起的满足约束 条件的假想的无限小位移。它是在原力系作用下的平衡位置上再增加的位移。它可以是 真实位移的增量，也可以是与真实位移无关的其他位移，例如另外的广义力或温度变化， 支座移动等引起的位移，甚至是完全虚拟的。但是这种虚位移必须满足边界位移条件和 变形连续性条件，并符合小变形要求。 虚位移既然与作用的力无关，就不受外力与位移关系的限制，也不受材料应力应变 关系的限制，所以虚位移原理可以用于非线性情况。 2、 内力虚功的表达式 在结构中取出一微段 dx，如图 10.4a 所示。微段上的变形虚位移可分解为 * d(l) ， * d ， * d ，如图 10.4b、c、d 所示

对于该微段而言,FN,F,M及F+aFx,Fo+df,M+aM都应看作是外 力。这个微段的虚位移可分为刚性虚位移和变形虚位移。该微段因其他各微段的变形而引起 的虚位移称为刚性虚位移,而由于该微段本身变形而引起的虚位移则称为变形虚位移。由于 该微段在上述外力作用下处于平衡状态,所有外力对于该微段的刚性虚位移所作的总虚功必 等于零。因此只需考虑外力在该微段的变形虚位移上所作的虚功,即 d(△M) 2+(Fn+dFN + m +(M+dm) 2 Fo-+(Fo+dF 略去式中高阶无穷小项,得 d(dW)=Fd(△)+M+Fd 学中 Fo+dF 图10.4 该微段的内力虚功则可由虚位移原理式(10.7)求得,即 d(Ow)+d(OW=0 则有 d(OW=-d(OW)=-FNd(An+ Ma8 Foda] 于是整个结构的内力虚功为 o=(∑(△)+∫Ao+SjFd 式中求和符号表示考虑结构中的所有杆件。若横截面上还存在扭矩,则内力虚功中应增 加∑「7d这一项。 这样,虚位移原理式(10.7)可具体表达为 ∑F=∑「Fd(△+∑M+∑∫ft+∑「do(08) 式中F是作用在结构上的原力系中的广义力,△是i点沿F作用方向的广义虚位移。此外, 在式(10.8)中规定△,d(△D),dO,a,d的符号与F,FN,M,FQ,T指向或转向一致者 为正,相反者为负

对于该微段而言， FN ，FQ ，M 及 FN + dFN ，FQ + dFQ，M + dM 都应看作是外 力。这个微段的虚位移可分为刚性虚位移和变形虚位移。该微段因其他各微段的变形而引起 的虚位移称为刚性虚位移，而由于该微段本身变形而引起的虚位移则称为变形虚位移。由于 该微段在上述外力作用下处于平衡状态，所有外力对于该微段的刚性虚位移所作的总虚功必 等于零。因此只需考虑外力在该微段的变形虚位移上所作的虚功，即 2 ( ) 2 2 ( ) ( ) 2 ( ) * * * *  d M dM d M d l F dF d l FN N N + + +  + +  2 ( ) 2 * *  d F dF d FQ + Q + Q 略去式中高阶无穷小项，得 ( ) = ' d  We * * * FN d(l) + Md + FQd 该微段的内力虚功则可由虚位移原理式(10.7)求得，即 d(We ) + d(Wi ) = 0 则有 ( ) ( ) [ ( ) ] * * * d Wi = −d We = − FN d l + Md + FQd 于是整个结构的内力虚功为       = −   + + * * * W FN d( l) Md FQ d 式中求和符号表示考虑结构中的所有杆件。若横截面上还存在扭矩，则内力虚功中应增 加- *  Td 这一项。 这样，虚位移原理式(10.7)可具体表达为 * * * * *   ( )    Fii = FN d l + Md + FQ d + Td （10.8） 式中 Fi 是作用在结构上的原力系中的广义力， * i 是 i 点沿 Fi 作用方向的广义虚位移。此外， 在式(10.8)中规定 * * * * * i ,d(l) ,d ,d ,d 的符号与 Fi , FN , M , FQ ,T 指向或转向一致者 为正，相反者为负。 FQ FQ+dFQ 图 10.4

§103单位载荷法 单位载荷法 由虚位移原理可以得到计算结构中一点位移的单位载荷法。以图10.5a所示梁为例,梁 上任意一点K沿任意方向a的位移为△。要想求得△,可以再取一根同样的梁,只在K点 沿a方向作用一单位力,如图10.5b所示。由单位力引起的内力分别记为Fx,M,F 将梁上所有外力作用下的位移(图10.5a中虚线)作为虚位移,而将单位力看作实际载荷。由 虚位移原理式(10.8)可得 l·△=F4(△M)+JM+JF 一般情况下,求结构中一点位移的单位载荷法的计算公式为 图10.5 △=∑「F4(A)+∑∫M+∑「Fn+∑∫do (10.9) 这里需要说明以下几点 1.所求的位移及施加的单位力都是广义的。若要求某点的线位移,则应在该点沿所求位 移的方向施加单位力:若要求的是角位移,则应相应地施加单位力偶矩:若要求两点间的相 对线位移,则应在两点处同时相应地施加一对方向相反的单位力:若要求两横截面间的相对 角位移,则应在两横截面处同时相应地施加一对方向相反的单位力偶矩。广义单位力引起的 内力FN,F,M,T的量纲与外载作用下引起的FN,FQ,M,T量纲相同。 2.上式左端是单位力作功1·△的缩写,若求出的△为正,则说明单位力所作的功为正, 也就是所求的位移△与单位力同向;若求出△为负,则说明△与单位力反向。 3.对于细长杆件,剪力影响很小,第三项可以略去不计。 4.从推导过程可知,单位载荷法不限定用于线弹性问题 2、单位载荷法用于线弹单性结构 若材料是线弹性的,服从胡克定律,则有 d(△/)= EA

§10.3 单位载荷法 1、单位载荷法 由虚位移原理可以得到计算结构中一点位移的单位载荷法。以图 10.5a 所示梁为例，梁 上任意一点 K 沿任意方向 aa 的位移为△。要想求得△，可以再取一根同样的梁，只在 K 点 沿 aa 方向作用一单位力，如图 10.5b 所示。由单位力引起的内力分别记为 FN ，M ， FQ 。 将梁上所有外力作用下的位移(图 10.5a 中虚线)作为虚位移，而将单位力看作实际载荷。由 虚位移原理式(10.8)可得    • =  + + l Q l l 1 FN d( l) Md F d 一般情况下，求结构中一点位移的单位载荷法的计算公式为      = FN d(l) + Md + FQ d + Td （10.9） 这里需要说明以下几点： 1.所求的位移及施加的单位力都是广义的。若要求某点的线位移，则应在该点沿所求位 移的方向施加单位力；若要求的是角位移，则应相应地施加单位力偶矩；若要求两点间的相 对线位移，则应在两点处同时相应地施加一对方向相反的单位力；若要求两横截面间的相对 角位移，则应在两横截面处同时相应地施加一对方向相反的单位力偶矩。广义单位力引起的 内力 FN ， FQ ， M ，T 的量纲与外载作用下引起的 FN ， FQ ， M ，T 量纲相同。 2.上式左端是单位力作功 1·△的缩写，若求出的△为正，则说明单位力所作的功为正， 也就是所求的位移△与单位力同向；若求出△为负，则说明△与单位力反向。 3. 对于细长杆件，剪力影响很小，第三项可以略去不计。 4. 从推导过程可知，单位载荷法不限定用于线弹性问题。 2、单位载荷法用于线弹性结构 若材料是线弹性的，服从胡克定律，则有 EA F dx d l N ( ) = 图 10.5

d d dx dx dx Tdx do 所以式(10.9)可写为 ∑∫ +/4M f..dx TTx (10.10) 此式常称为莫尔定理或莫尔积分 式(10.10)对于截面高度远小于轴线曲率半径的平面曲杆也是适用的。另外,对于平面 刚架和曲杆,横截面上通常有轴力Fx,剪力FQ和弯矩M。前面已经讲过,剪力F的影 响可以略去不计。实际上,轴力Fx的影响比弯矩M也小得多,因此当Fx,Fo,M同时 存在时,FN和F对应的项都可以略去不计 对于桁架,莫尔定理的表达式可化为 FN FMI e A 例10.1外伸梁受力如图a所示,E1为常量,AD,DB及BC段长度均为a,试求C端的 挠度w 解求C端挠度wc,需在C处加单位力,如图b所示 1.支座约束力。由平衡方程可求得 7 2 (a) 2。分段列弯矩方程,每一段的坐标系可以不同 但同一段上M与M方程的坐标系必须一致。 AD段(0≤x1≤a) 例10.1图 DB段(a≤x2≤2a) M(x2)

EI Mdx dx dx d w dx dx dw dx d d = = = 2 2  ( ) GI P Tdx d = 所以式(10.9)可写为     = + + P N N GI TTdx EI MMdx EA F F dx （10.10） 此式常称为莫尔定理或莫尔积分。 式(10.10)对于截面高度远小于轴线曲率半径的平面曲杆也是适用的。另外，对于平面 刚架和曲杆，横截面上通常有轴力 FN ，剪力 FQ 和弯矩 M 。前面已经讲过，剪力 FQ 的影 响可以略去不计。实际上，轴力 FN 的影响比弯矩 M 也小得多，因此当 FN ， FQ ，M 同时 存在时， FN 和 FQ 对应的项都可以略去不计。 对于桁架，莫尔定理的表达式可化为 =  = n i i i Ni Ni i E A F F l 1 例 10.1 外伸梁受力如图 a 所示，E1 为常量，AD，DB 及 BC 段长度均为 a，试求 C 端的 挠度 wC 。 解 求 C 端挠度 wC ，需在 C 处加单位力，如图 b 所示。 1.支座约束力。 由平衡方程可求得 4 qa FAy = ， 4 7qa FBy = 2 1 FAy = − ， 2 3 FBy = 2。分段列弯矩方程，每一段的坐标系可以不同， 但同一段上 M 与 M 方程的坐标系必须一致。 AD 段 (0≤x1≤a) 1 1 4 ( ) x qa M x = 1 1 2 1 M (x ) = − x DB 段 (a≤x2≤2a) 2 2 2 2 2 4 3 ( ) 4 ( ) x qa x a qax qa qa M x = − − = − + 例 10.1 图

BC段(0≤x3≤a) M(x3)=-x M(x3 3。计算wc。由莫尔积分式(10.10)得 (x1)(-x1)x1+(-qax2+qa2)-x2)d2 +(-qx3X-x3)x3] 计算结果为正,说明C点挠度与单位力方向一致,即wc向下。 例10.2图a为一开有细小缺口的圆环,EJ为常量,试计算在均匀压力q作用下缺口处 的张开位移 例10.2图 解1.外力q作用下任一横截面的弯矩为 M(0)=-[ qRsin(0-p)Rdp=-qR-(1-cos8) 2.在缺口处加一对单位力,单位力作用下任一横截面的弯矩(图b) M0)=-R(I--cos8 3.用莫尔积分法求缺口张开位移 MM Rde gR(-CoSO)R(I-cos 8) Rde

2 2 2 1 M (x ) = − x BC 段 (0≤x3≤a) 2 3 3 2 1 M (x ) = − x 3 3 M (x ) = −x 3。计算 wC 。由莫尔积分式(10.10)得   = − + − + − a a a C x x dx qax qa x dx qa EI w 2 2 2 2 2 0 1 1 1 ) 2 1 )( 4 3 ) ( 2 1 )( 4 [ ( 1 )( ) ] 2 1 ( 0 3 3 2 +  − 3 − a qx x dx ( ) 24 5 4 =  EI qa 计算结果为正，说明 C 点挠度与单位力方向一致，即 wC 向下。 例 10.2 图 a 为一开有细小缺口的圆环，EJ 为常量，试计算在均匀压力 q 作用下缺口处 的张开位移。 解 1.外力 q 作用下任一横截面的弯矩为  = − − = − −       0 2 M( ) [ qRsin( )Rd qR (1 cos ) 2.在缺口处加一对单位力，单位力作用下任一横截面的弯矩(图 b) M ( ) = −R(1− cos ) 3.用莫尔积分法求缺口张开位移   =   0 Rd EI MM AB  − − =     0 2 (1 cos ) (1 cos ) 2 Rd EI qR R 例 10.2 图

例10.3桁架受力如图a所示,各杆的EA为常量。杆1、3、5长为l,杆2、4长 为√21,试求点c的水平位移 解先求原外力作用下(图a)各杆轴力FN,再求单位力作用下(图b)各杆轴力FM,将所求 FM及FN列于下表中 例10.3表 杆号i FNFNL FL 12345 0 FL √2F √2 2√2Fl F 0 0 Ac=FNF 从此例可以看出,用能量法求位移要比先计算各杆伸长缩短,再通过几何关系求位移方 便得多 §104计算莫尔积分的图乘法 在等截面直杆情况下,莫尔积分中的BA,EI,GF。均为常量,都可以移到积分号外 面,这就只需要计算积分 FFdx「MMdx 而这些积分都可以采用图形相乘的方法进行计算。现以∫MM为例说明图乘法的原理和 应用。 设梁在载荷作用下的M图为任一形状(图10.6a),而单位力作用下的M图(图10.6b) 只能是直线或折线。不失一般性,现设其中长为l的一段为斜直线,它的斜度角为a,与x

( ) 3 4   = EI R q 例 10.3 桁架受力如图 a 所示，各杆的 EA 为常量。杆 1、3、5 长为 l，杆 2、4 长 为 2l ，试求点 c 的水平位移。 解 先求原外力作用下(图 a)各杆轴力 FNi ，再求单位力作用下(图 b)各杆轴力 FNi ，将所求 FNi 及 FNi 列于下表中  ( ) = → +  = = 5 1 2(1 2) i Ni Ni i C EA Fl EA F F l 从此例可以看出，用能量法求位移要比先计算各杆伸长缩短，再通过几何关系求位移方 便得多。 §10.4 计算莫尔积分的图乘法 在等截面直杆情况下，莫尔积分中的 EA，EI，GIP。均为常量，都可以移到积分号外 面，这就只需要计算积分  F F dx N N  MMdx  TTdx 而这些积分都可以采用图形相乘的方法进行计算。现以  MMdx 为例说明图乘法的原理和 应用。 设梁在载荷作用下的 M 图为任一形状(图 10.6a)，而单位力作用下的 M 图(图 10.6b) 只能是直线或折线。不失一般性，现设其中长为 l 的一段为斜直线，它的斜度角为α，与 x 例 10.3 图 例 10.3 表