《数学分析》教案 第八章不定积分 海南大学数学系 第八章不定积分 微分学中所研究问题的做法是从已知函数()出发求其导数∫()，即所谓的微分运 算。微分运算的重要意义己经通过列举许多应用给予说明。但是我们也应该看到，许多实际问 题不是要寻找某一函数的导数，而是恰恰相反，从己知的某一函数的导数∫（冈出发求其本身 (),这便是所谓的积分运算。显然，积分运算是微分运算的逆运算。另外积分运算也为后面 定积分的运算奠定了基础。在这一章里将引入不定积分的概念，讨论换元积分法和分部积分法。 最后研究几类初等函数的积分法。 §1不定积分概念与基本积分公式 教学目标：掌握原函数的概念和基本积分公式 教学内容：原函数的概念：基本积分公式：不定积分的几何意义. 基本要求：熟练掌握原函数的概念和基本积分公式 教学建议： (1)不定积分是以后各种积分计算的基础，要求熟记基本积分公式表 (2)适当扩充基本积分公式表. 教学过程： 一、原函数与不定积分 (一）原函数 定义1设函数fx)与F(x)在区间I上有定义。若 F(x)=f(x),xEI, 则称F(x)为f(x)在区间1上的一个原函数。 如：是x在R上的一个原函数：-c0s2x,0s2x+1,sm2x,-c0s2x等都有是sm2x 在R上的原函数一一若函数∫(x)存在原函数，则其原函数不是唯一的。 问题1(x)在什么条件下必存在原函数？若存在，其个数是否唯一；又若不唯一，则有 多少个？ 问题2若函数fx)的原函数存在，如何将它求出？（这是本章的重点内容）。 《数学分析》教案 第八章 不定积分 海南大学数学系 1 第八章 不定积分 微分学中所研究问题的做法是从已知函数 f x( ) 出发求其导数 f x ( ) ，即所谓的微分运 算。微分运算的重要意义已经通过列举许多应用给予说明。但是我们也应该看到，许多实际问 题不是要寻找某一函数的导数，而是恰恰相反，从已知的某一函数的导数 f x ( ) 出发求其本身 f x( ) ，这便是所谓的积分运算。显然，积分运算是微分运算的逆运算。另外积分运算也为后面 定积分的运算奠定了基础。在这一章里将引入不定积分的概念，讨论换元积分法和分部积分法。 最后研究几类初等函数的积分法。 §1 不定积分概念与基本积分公式 教学目标：掌握原函数的概念和基本积分公式 教学内容：原函数的概念；基本积分公式；不定积分的几何意义． 基本要求：熟练掌握原函数的概念和基本积分公式． 教学建议： (1) 不定积分是以后各种积分计算的基础，要求熟记基本积分公式表． (2) 适当扩充基本积分公式表． 教学过程： 一、原函数与不定积分 (一) 原函数 定义 1 设函数 f (x) 与 F(x) 在区间 I 上有定义。若 F(x) = f (x)， xI ， 则称 F(x) 为 f (x) 在区间 I 上的一个原函数。 如： 3 3 1 x 是 2 x 在 R 上的一个原函数； cos 2x 2 1 − ， cos 2 1 2 1 x + ， x 2 sin ， x 2 − cos 等都有是 sin 2x 在 R 上的原函数——若函数 f (x) 存在原函数，则其原函数不是唯一的。 问题 1 f (x) 在什么条件下必存在原函数？若存在，其个数是否唯一；又若不唯一，则有 多少个？ 问题 2 若函数 f (x) 的原函数存在，如何将它求出？（这是本章的重点内容）