《数学分析》教案 第八章不定积分 海南大学数学系 定理1若fx)在区间I上连续，则f(x)在I上存在原函数F(x)。 (证明在第九章中进行。) 说明：(1)由于初等函数在其定义域内都是连续的，故初等函数在其定义域内必存在原函 数（但其原函数不一定仍是初等函数）。(2)连续是存在原函数的充分条件，并非必要条件。 定理2设F(x)是fx)在在区间1上的一个原函数，则(1)设F(x)+C是fx)在在区间 I上的原函数，其中C为任意常量（若fx)存在原函数，则其个数必为无穷多个）。(2)∫x)在 /上的任何两个原函数之间，只可能相差上个常数（揭示了原函数间的关系）。 证：(1)由(F()+Cy=F()=fx),即对任何常数C,F)+C都是f)的原函数， 再证它们是全部原函数。 (2)设G()为f()另一原函数，G(x)=fx),那么 [F(x)-G(x)=f(x)-fx)=0,我们得到G)=F(x)+C。 这说明/()的任一原函数均可表示为F()+C的形式。也就是说F(+C是()的原函数的 般表达式 (二)不定积分 定义2函数∫(x)在区间1上的原函数的全体称为f(x)在I上的不定积分，记作： ∫f(x)d 其中∫-积分号：fx)-被积函数：x)-被积表达式：x-积分变量。 注1：∫f(x)是一个整体记号： 注2：不定积分与原函数是总体与个体的关系，即若F(x)是f(x)的一个原函数，则f(x)的 不定积分是一个函数族F(x)+C},其中C是任意常数，于是，记为：∫fx)k=F(x)+C。 此时称C为积分常数，它可取任意实数。故有 fx)灯-fx)一一先积后导正好还原： 或 dfx)h=f(x)。 ∫f'(x)d=fx)+C一一先导后积还原后需加上一个常数（不能完全还原）。《数学分析》教案 第八章 不定积分 海南大学数学系 2 定理 1 若 f (x) 在区间 I 上连续，则 f (x) 在 I 上存在原函数 F(x)。 （证明在第九章中进行。） 说明：（1）由于初等函数在其定义域内都是连续的，故初等函数在其定义域内必存在原函 数（但其原函数不一定仍是初等函数）。（2）连续是存在原函数的充分条件，并非必要条件。 定理 2 设 F(x) 是 f (x) 在在区间 I 上的一个原函数，则（1）设 F(x) + C 是 f (x) 在在区间 I 上的原函数，其中 C 为任意常量（若 f (x) 存在原函数，则其个数必为无穷多个）。（2） f (x) 在 I 上的任何两个原函数之间，只可能相差上个常数（揭示了原函数间的关系）。 证： （1）由 (F(x) + C) = F(x) = f (x) ，即对任何常数 C ， F(x) + C 都是 f (x) 的原函数， 再证它们是全部原函数。 （2）设 G(x) 为 f (x) 另一原函数， G(x) = f (x) ，那么  ( ) ( ) = ( ) − ( ) = 0  F x − G x f x f x ，我们得到 G(x) = F(x) + C 。 这说明 f x( ) 的任一原函数均可表示为 F x C ( ) + 的形式．也就是说 F x C ( ) + 是 f x( ) 的原函数的 一般表达式． （二） 不定积分 定义 2 函数 f (x) 在区间 I 上的原函数的全体称为 f (x) 在 I 上的不定积分，记作：  f (x)dx 其中  − − 积分号； f (x) − − 被积函数； f (x)dx − − 被积表达式； x −−积分变量。 注 1：  f (x)dx 是一个整体记号； 注 2：不定积分与原函数是总体与个体的关系，即若 F(x) 是 f (x) 的一个原函数，则 f (x) 的 不定积分是一个函数族 F(x) +C ，其中 C 是任意常数，于是，记为：  f (x)dx = F(x) + C 。 此时称 C 为积分常数，它可取任意实数。故有  [ f (x)dx] = f (x)——先积后导正好还原； 或  d f (x)dx = f (x)dx 。  f (x)dx = f (x) + C——先导后积还原后需加上一个常数（不能完全还原）