(1)f(x)=x3,a=1 (i)f(x)=x4-2x2+3,a=-2 5.求一个次数小于4的多项式f(x)使 f(2)=3,f(3)=-1,f(4)=0,f(5)=2 6.求一个2次多项式使它在x=0,,丌处与函数snx有相同的值 7.令f(x),g(x)是两个多项式并且∫(x)+xg(x3)可以被x2+x+1整除 证明 f(1)=g(1)=0 8.令c是一个复数并且是x中一个非零多项式的根令 J={f(x)∈Q[x]f(c)=0} 证明:()在J中存在唯一的最高次项系数是1的多项式p(x),使得J中每一多项式 f(x)都可以写成p(x)q(x)的形式这里q(x)∈Qx] (i)p(x)在Q[x]中不可约 如果c=√2+√3,求上述的p(x) 提示取p(x)是J中次数最低的、最高次项系数是1的多项式] 9.设C[x]中多项式f(x)≠0且f(x)|f(x"),n是一个大于1的整数 证明:f(x)的根只能是零或单位根 [提示如果c是∫(x)的根那么c,c,c",…都是f(x)的根 §47复数和实数域上多项式 设n次多项式f(x)=a0x”+a1x”+…+an1x+an的根是a1,a2,…an求 (1)以ca1,ca2…,can为根的多项式这里c是一个数;(i) ( ) , 1 5 f x = x a = ; (ii) ( ) 2 3, 2 4 2 f x = x − x + a = − . 5．求一个次数小于 4 的多项式 f (x) ,使 f (2) = 3, f (3) = −1, f (4) = 0, f (5) = 2 6．求一个 2 次多项式,使它在   , 2 x = 0, 处与函数 sin x 有相同的值. 7．令 f (x), g(x) 是两个多项式,并且 ( ) ( ) 3 3 f x + xg x 可以被 1 2 x + x + 整除. 证明 f (1) = g(1) = 0. 8．令 c 是一个复数,并且是 Q[x] 中一个非零多项式的根,令 J = { f (x) Q[x]| f (c) = 0} 证明: (i) 在 J 中存在唯一的最高次项系数是 1 的多项式 p(x),使得 J 中每一多项式 f (x) 都可以写成 p(x)q(x) 的形式,这里 q(x) Q[x]. (ii) p(x) 在 Q[x] 中不可约. 如果 c = 2 + 3 ,求上述的 p(x) [提示:取 p(x) 是 J 中次数最低的、最高次项系数是 1 的多项式.] 9．设 C[x] 中多项式 f (x)  0 且 ( ) | ( ) n f x f x , n 是一个大于 1 的整数. 证明: f (x) 的根只能是零或单位根. [提示:如果 c 是 f (x) 的根,那么 , , ,  2 3 n n n c c c 都是 f (x) 的根.] §4.7 复数和实数域上多项式 1．设 n 次多项式 n n n n f x = a x + a x + + a − x + a − 1 1 0 1 ( )  的根是    n , , , 1 2  .求 (i) 以 n ca1 ,ca2 ,  ,ca 为根的多项式,这里 c 是一个数;