另一方面,P(t)也可以通过求解下面两个方程之一得到: Kolmogorov向前方程( Fokker-Plank方程) P'(t)=P(1)Q,P(0)=I Ko| mogorov向后方程:P(t)=QP(t), (6.17) (3)对于非有限个状态的 Markov链,只要Q保守(即Q1=0),且q=-qn是i的有 界函数,则(2)中的所有结论全都成立 (本定理的证明冗长,且需要较多的数学准备知识,本书中从略.我们只指出 Kolmogorov向前方程与 Kolmogorov向后方程可以由 Chapman- Kolmogorov方程 P(+s)=P()P(s)及P(+s)=P()P(1)形式地对s取微商后再令S=0得到) [注]应用中的绝大多数的转移速率矩阵,都满足本定理中(3)的条件,最典型的情形出 现在从每个状态只能转移到有限个状态的情形. 从本段以下,我们恒假定如下条件满足 imnA0P2()=6,q,有界,Q保守(Q1=0) (6.18) 具有满足(618)的转移速率矩阵Q的转移矩阵P(t),称作以Q为转移速率矩阵的连续时间 的 Markov链 Kolmogorov向后方程写成分量就是 p()=-qP1()+∑qP() 把它看成Pn()的微分方程,乘上其积分因子为e后积分便得 pO)=P(O)L∑e°qP(skb 于是得到下面的结论 定理6.11( Kolmogorov向后方程的分量形式的积分迭代) Kolmogorov向后方程就等价于积分方程组 P,(=e8,+ 2e-g qis P,(1-s)ds 由这个方程可作如下的迭代算法 =0 P"(1)= 当n→∞时,Pn收敛,其极限就是 Kolmogorov向后方程的解 此定理的证明不难,读者可自行验证) 3.2转移速率矩阵的概率含义 147147 另一方面, P (t) 也可以通过求解下面两个方程之一得到： Kolmogorov 向前方程（Fokker-Plank 方程） P ’(t) = P (t) Q ， P (0) = I ; (6.16) Kolmogorov 向后方程: P ’(t) =Q P (t) , P (0) = I (6.17) （3）对于非有限个状态的 Markov 链, 只要Q 保守 (即Q T 1 = 0), 且 i ii q =- q D 是i 的有 界函数, 则 (2) 中的所有结论全都成立. (本定理的证明冗长, 且需要较多的数学准备知识, 本书中从略．我们只指出: Kolmogorov 向前方程与 Kolmogorov 向后方程可以由 Chapman-Kolmogorov 方 程 P (t + s) = P (t) P (s) 及 P (t + s) = P (s) P (t) 形式地对 s 取微商后再令 s = 0 得到). [注] 应用中的绝大多数的转移速率矩阵, 都满足本定理中(3)的条件, 最典型的情形出 现在从每个状态只能转移到有限个状态的情形. 从本段以下, 我们恒假定如下条件满足: t 0 ij ij lim ® p (t) = d , qi 有界, Q 保守（Q T 1 = 0）. (6. 18) 具有满足(6.18)的转移速率矩阵Q 的转移矩阵 P (t) , 称作以Q 为转移速率矩阵的连续时间 的 Markov 链．. Kolmogorov 向后方程写成分量就是 å¹ = - + k i ij i ij ik kj p' (t) q p (t) q p (t) . 把它看成 p (t) ij 的微分方程, 乘上其积分因子为 q t i e 后积分便得 ò å¹ = + k i ik kj q s t 0 ij ij q t e p t p 0 e q p s ds i i ( ) ( ) ( ) ． 于是得到下面的结论. 定理 6.１１ (Kolmogorov 向后方程的分量形式的积分迭代) Kolmogorov 向后方程就等价于积分方程组 ò å¹ - - = + - k i ik kj q s t 0 ij q t pij t e e q p t s ds i i ( ) d ( ) . 由这个方程可作如下的迭代算法: L 0 (0 ) pij = ò å¹ - - - = + - k i n 1 ik kj q s t 0 ij n q t pij t e e q p t s ds i i ( ) ( ) ( ) ( ) d . 当 n ® ¥时, (n) pij 收敛, 其极限就是 Kolmogorov 向后方程的解. （此定理的证明不难，读者可自行验证） 3．2 转移速率矩阵的概率含义