§2.6张量的运算 ★张量相等:A1=B1 注意矩阵表示 张量加法:A+B1=C 证明C44也是个张量 ★标量与张量相乘:团=kC1=kA1 张量的并乘:省=a团台C1m=A;Blm ◆一般而言:z穿≠穿!冒的阶数是z、阶数相加 ★结合律与分配律 (z丽)冒=() a(+)=+容 +)=园+ 张量的运算(续一) ★缩并:阶数从n到n-2的运算,只有n>2缩并才有意义 二阶张量的缩并就是 ◆n阶张量a对下标(…k)的缩并定义为: B…=∑∑A-k1·6k=A k…·0 ★两个张量的内积(缩并) ◆两个张量与先并乘后各取一下标做缩并的运算称为内积,得 到m+n-2阶张量 ◆若选取的下标是相邻的,可以记做:=好.罗 注意矩阵表示 Cim Ai Bimdjl=Ail Bim ◆若是二阶张量,囫是一阶张量,同样可以用矩阵乘法 ★双重内积:两个张量先进行并乘,然后再两次缩并;冒=好:团对三跟系重开 Aii Blmdiidi 张量的运算(续二) ★并矢按单位并矢的分解:单位矢量e的并矢ee;是二阶张量,称为单位 并矢。◆ee2的矩阵表示除了E12项等于1之外均为零;ee;就是二阶张量 的九个基。 9=Tiieie ★并矢的内积运算 a·(bc)=(a·b)c=a·be (ab)·c=a(b·c)=ab·c b:cd=(a·d)(b·c)=a·(b·cd)=(ab:c):d§ 2.6 张量的运算 ★ 张量相等：Aij = Bij 注意矩阵表示 ★ 张量加法：Aij + Bij = Cij 证明Cij也是个张量 ★ 标量与张量相乘：←→C = k ←→A ⇔ Cij = kAij ★ 张量的并乘：←→C = ←→A ←→B ⇔ Cijlm = AijBlm ◆一般而言：←→A ←→B 6= ←→B ←→A ！ ←→C 的阶数是←→A 、 ←→B阶数相加 ★ 结合律与分配律： ( ←→A ←→B) ←→C = ←→A ( ←→B ←→C ) ←→A ( ←→B + ←→C ) = ←→A ←→B + ←→A ←→C ( ←→B + ←→C ) ←→A = ←→B ←→A + ←→C ←→A 张量的运算（续一） ★缩并：阶数从n到n − 2的运算，只有n > 2缩并才有意义； 二阶张量的缩并就是迹 ◆n阶张量←→A 对下标(j · · · k)的缩并定义为： Bi···l = X j X k Ai···j···k···l · δjk = Ai···j···k···l · δjk ★两个张量的内积（缩并） ◆两个张量←→A 与 ←→B先并乘后各取一下标做缩并的运算称为内积，得 到m + n − 2阶张量。 ◆若选取的下标是相邻的，可以记做：←→C = ←→A · ←→B 注意矩阵表示 Cim = AijBlmδjl = AilBlm ◆若 ←→A 是二阶张量，←→B是一阶张量，同样可以用矩阵乘法。 ★双重内积：两个张量先进行并乘，然后再两次缩并；←→C = ←→A : ←→B 对于二阶张量其双重缩并 为标量 C = AijBlmδjlδim 张量的运算（续二） ★并矢按单位并矢的分解：单位矢量ei的并矢eiej是二阶张量，称为单位 并矢。 ◆e1e2的矩阵表示除了E12项等于1之外均为零；eiej就是二阶张量 的九个基。 ←→T = Tijeiej ★并矢的内积运算 a · (bc) = (a · b) c = a · bc (ab) · c = a(b · c) = ab · c ab : cd = (a · d)(b · c) = a · (b · cd) = (ab · c) · d 10