§2.3二阶张量 阶张量:如张力张量、电四极矩、转动惯量、介电张量等; 二阶张量可以用一个矩阵来表示; 反之不然 张量的含义:T;分量:在方向分量作用下的访向的反应效果; ★张量的自由度:任何一个张量都可以分解为三个部分: ◆迹(标量)T自由度为1 无迹对称张量写=T:且T1;=0自由度为5 ◆反对称张量T=-T自由度为3 张量的对称性不随坐标变换改变; 两个矢量的并矢为二阶张量:ab=9≠ba Tii=aib §24克罗内克( Kronecker)符号δ(替换符号) ★克罗内克符号61 (=j) (≠j) ★对称性:6=5 ★转置不变性:=6 ★替换性:5v=v 单位张量:υ §2.5勒维-契维塔(levi-ciⅳita)符号εik(排列符号) ★勒维一契维塔符号k(三阶反对称张量) Erik =+1 (ijk=123,231,312) (jk=213,321,132) (jk=112,233,……) 反对称性:Ek=-k 转置不变性:Ek=E=E6=Ek 排列性:(a×b)= nikai bk (V×A)= Eijkdj Ak§ 2.3 二阶张量 ★ 二阶张量：如张力张量、电四极矩、转动惯量、介电张量等； T 0 = AT A0 T 0 ij = αilαjmTlm ★ 二阶张量可以用一个矩阵来表示； 反之不然 ★ 张量的含义：Tij分量：在j方向分量作用下的i方向的反应效果； ★ 张量的自由度：任何一个张量都可以分解为三个部分： ◆ 迹（标量）Tii 自由度为1 ◆ 无迹对称张量Tij = Tji 且Tii = 0 自由度为5 电四极矩 ◆ 反对称张量Tij = −Tji 自由度为3 ★ 张量的对称性不随坐标变换改变； ★ 两个矢量的并矢为二阶张量：ab = ←→T 6= ba , Tij = aibj 矩阵表达与指标表达 § 2.4 克罗内克(Kronecker)符号δij（替换符号） ★ 克罗内克符号δij δij = 1 (i = j) δij = 0 (i 6= j) ★ 对称性：δij = δji ★ 转置不变性：δ 0 ij = δij ★ 替换性：δijvj = vi ★ 单位张量：v · ←→I = ←→I · v = v § 2.5 勒维–契维塔(levi–civita)符号εijk（排列符号） ★ 勒维–契维塔符号εijk（三阶反对称张量） εijk = +1 (ijk = 123, 231, 312) εijk = −1 (ijk = 213, 321, 132) εijk = 0 (ijk = 112, 233, · · · ) ★ 反对称性：εijk = −εjik ★ 转置不变性：ε 0 ijk = εijk = εkij = εjki ★ 排列性：(a × b)i = εijkaj bk , (∇ × A)i = εijk∂jAk 9