附录张量运算 内容提要 1矢量分析 2张量初步 第一节矢量分析 §1.1向量运算法则 ★两个量的运算:一个矢量一个标量、两个矢量(略去) ★三个量的运算: 加法的运算太简羊,嘻 ◆两个标量一个矢量 去;主妻考虑乘法的运 a(b)=o(av) ◆两个矢量一个标量 a×(kb)=k(a×b) (kb)=k(a b) ◆三个矢量的运算 第四例应该是第一例 ★多个矢量的运算:可按三个矢量的运算法则展开 §1.2三矢量的混合积 行六面体的体积 行列式性质:交换一次变 1a2a3 (×c)=b1bb3=b·(cxa)=c(a×b) (c×b)=-b(a×c) 【推论】a,b,C共面 a·(b×c)=0a,a,c一定共面
附录 张量运算 内 容 提 要 1 矢量分析 1 2 张量初步 7 第一节 矢量分析 § 1.1 向量运算法则 向量的加法和乘法，及 其运算时的分配律、结合 律、交换律。 加法的运算太简单，略 去；主要考虑乘法的运 算。 ★两个量的运算：一个矢量一个标量、两个矢量（略去） ★三个量的运算： ◆两个标量一个矢量 a (ϕψ) = ϕ (aψ) ◆两个矢量一个标量 a × (kb) = k (a × b) a · (kb) = k (a · b) ◆三个矢量的运算 第四例应该是第一例 a · (b × c) , a × (b × c) , a · (b · c) , a × (b · c) ★多个矢量的运算：可按三个矢量的运算法则展开 § 1.2 三矢量的混合积 平行六面体的体积； 行列式性质：交换一次变 符号 a · (b × c) = ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ a1 a2 a3 b1 b2 b3 c1 c2 c3 ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ = b · (c × a) = c · (a × b) = −a · (c × b) = −b · (a × c) = −c · (b × a) 【推论】a, b, c共面 ⇐⇒ a · (b × c) = 0 a, a, c一定共面 ⇐⇒ a · (a × c) = 0 1
§1.3三矢量的矢积 矢积的方向:设c×(a×b)=f,则f在a,b平面上,且与c在该平面的 投影垂直 a·c)b-(b·c) 【推论】 (a×ey)=(exey)·a-(a·er) 证明矢积的公式 【求证】 C×(a 【证明】设 f=cx(axb)=cx 故 d=(a2b3-a3b2)ex -(a1b3-a3b1)ey+(a1b2-a2b1)e f1= C2d3-c3d2=c2(a1b2-a2b1)+c3(a1b3-a3b1) (b2c2+b3C3)-b1(a2c2+a3c3)+(a1b1C1-b1a1c1) a1(b·c)-b1(a·c) f=a2(b·c)-b2(a·c) f3 故此 §1.4矢量分解 将矢量分解为两个矢量的和,其一沿着b方向,其二在a,b平面上且垂 直c方向 (b·c)=(c·a)·b+c×(a×b)=(c·a).b+(b×a)×c (b·c)=(a.b)·c+b×(a×c)=(a·b)·c+(cxa)×b 【推论】 a=a·(er:ex)=(aer)·ex+(exxa)xex=axex+ex×(axer)
§ 1.3 三矢量的矢积 矢积的方向：设c × (a × b) = f，则f在a , b平面上，且与c在该平面的 投影垂直 既 然f在a , b平 面 上 ， 则可以分解为两个方向 c × (a × b) = (b · c) · a − (a · c) · b (a × b) × c = (a · c) · b − (b · c) · a 【推论】 a × (ex × ey) = (a · ey) · ex − (a · ex) · ey = ay · ex − ax · ey ex × (a × ey) = (ex · ey) · a − (a · ex) · ey = −ax · ey 证明矢积的公式 【求证】 c × (a × b) = (b · c) · a − (a · c) · b 【证明】 设 f = c × (a × b) = c × d 故 d = (a2b3 − a3b2)ex − (a1b3 − a3b1)ey + (a1b2 − a2b1)ez f1 = c2d3 − c3d2 = c2(a1b2 − a2b1) + c3(a1b3 − a3b1) = a1(b2c2 + b3c3) − b1(a2c2 + a3c3) + (a1b1c1 − b1a1c1) = a1(b · c) − b1(a · c) 同理： f2 = a2(b · c) − b2(a · c) f3 = a3(b · c) − b3(a · c) 故此 f = (b · c) · a − (a · c) · b § 1.4 矢量分解 将矢量分解为两个矢量的和，其一沿着b方向，其二在a , b平面上且垂 直c方向 a · (b · c) = (c · a) · b + c × (a × b) = (c · a) · b + (b × a) × c a · (b · c) = (a · b) · c + b × (a × c) = (a · b) · c + (c × a) × b 【推论】 a = a · (ex · ex) = (a · ex) · ex + (ex × a) × ex = ax · ex + ex × (a × ex) 2
§1.5微分算子V ★同一般的矢量比较,V算子具有微分、矢量两重特性 ◆V算子的大小:1(量纲) ◆算子的方向:纵向 te V·f afrafr afr fy afr Vp §1.6V算子矢量、微分特性的推论 a(y)=(av)→V(yv)=φ(Vv)+(V) a×(和b)=k(a×b)→V×(和b)=k(V×b)+Vk×b (kb)=k(a·b)→V·(kb)=k(V·b+Vk·b a·(a×c)=0→V·(V×c)=0 例一 【求解】 V×(f×g) 【解】 V(f·g)=V(·g-)+V(fg) (geV)∫+(f×V)xge+(V·fe)g+(g×V)×f =(geV)∫+g×(V×f)+(fV)g+f×(V×g) =(gV)∫+(fV)g+g×(V×f)+f×(V×g) g (·g)f-(V·∫g+(Vg)f-(V·f)g 7)f-gc(V·f)+fe(V·g)-(fV) V)∮-(f·V)g+f(V
§ 1.5 微分算子∇ ★同一般的矢量比较，∇算子具有微分、矢量两重特性。 ◆∇算子的大小：1 r（量纲） ◆∇算子的方向：纵向 ∇ = ex · ∂ ∂x + ey · ∂ ∂y + ez · ∂ ∂z ∇ · f = ∂fx ∂x + ∂fx ∂y + ∂fx ∂z ∇ × f = (∂fz ∂y − ∂fy ∂z ) · ex + (∂fx ∂z − ∂fz ∂x ) · ey + (∂fy ∂x − ∂fx ∂y ) · ez ∇ϕ = ∂ϕ ∂x · ex + ∂ϕ ∂y · ey + ∂ϕ ∂z · ez § 1.6 ∇算子矢量、微分特性的推论 a (ϕψ) = ϕ (aψ) ⇒ ∇ (ϕψ) = ϕ (∇ψ) + ψ (∇ϕ) a × (kb) = k (a × b) ⇒ ∇ × (kb) = k (∇ × b) + ∇k × b a · (kb) = k (a · b) ⇒ ∇ · (kb) = k (∇ · b) + ∇k · b a · (a × c) = 0 ⇒ ∇ · (∇ × c) = 0 a × (ka) = 0 ⇒ ∇ × (∇k) = 0 例一 【求解】 ∇ (f · g) , ∇ × (f × g) , ∇ · (f × g) 【解】 ∇ (f · g) = ∇ (f · gc) + ∇ (fc · g) → (gc · ∇) f + (f × ∇) × gc + (∇ · fc) g + (g × ∇) × fc = (gc · ∇) f + gc × (∇ × f) + (fc · ∇) g + fc × (∇ × g) = (g · ∇) f + (f · ∇) g + g × (∇ × f) + f × (∇ × g) ∇ × (f × g) = ∇ × (f × gc) + ∇ × (fc × g) → (∇ · gc) f − (∇ · f) gc + (∇ · g) fc − (∇ · fc) g = (gc · ∇) f − gc (∇ · f) + fc (∇ · g) − (fc · ∇) g = (g · ∇) f − (f · ∇) g + f (∇ · g) − g (∇ · f) 3
例一(续) V·(f×g)=V·(f×g)+V·(f×gc) X g)tg =-f·(×g)+g(V×f) 例二 【形式变换】 (f V)9 【解】我们应该熟悉(∫·Ⅴ)g这种形式:它很简单,也很常用。对其变 换只能复杂化 (f。·g)-fe (fV)φ=Vφ 举例如下:(设k为常矢量) (k.V)=V(k·T)-k×(V×r)=V(k·r)=k (fV)(yg)=gI(fV)q+φ[【f·V)g] 事实上由并矢可知 (fV)g=V·(fg)-(V·f)g 例三 【形式变换】 (f×V)×g 【解】这种形式不好计算,我们不用 (f×V)×g=(fxV)×g=V(f·g)-f(V×g) (f×V)·g=f·(×g)
例一（续） ∇ · (f × g) = ∇ · (fc × g) + ∇ · (f × gc) → −fc · (∇ × g) − gc · (f × ∇) = −fc · (∇ × g) + gc · (∇ × f) = −f · (∇ × g) + g · (∇ × f) 例二 【形式变换】 (f · ∇) g , (f · ∇) ϕ 【解】 我们应该熟悉(f · ∇) g这种形式：它很简单，也很常用。对其变 换只能复杂化。 (f · ∇) g = (fc · ∇) g = ∇ (fc · g) − fc × (∇ × g)6=f (∇ · g) (f · ∇) ϕ = f · ∇ϕ 举例如下：（设k为常矢量） (k · ∇) r = k (k · ∇) r = ∇ (k · r) − k × (∇ × r) = ∇ (k · r) = k (f · ∇) (ϕg) = g [(f · ∇) ϕ] + ϕ [(f · ∇) g] 事实上由并矢可知： (f · ∇) g = ∇ · (fg) − (∇ · f) g 例三 【形式变换】 (f × ∇) × g , (f × ∇) · g , (f × ∇) ϕ 【解】 这种形式不好计算，我们不用 (f × ∇) × g = (fc × ∇) × g = ∇ (fc · g) − fc (∇ × g) (f × ∇) · g = f · (∇ × g) (f × ∇) ϕ = f × ∇ϕ 4
§1.7复合函数的微分算子 Vf(u)=va df(u) V·Aa)=Vn.a4(a) V×A(u)=Vu a:V)A()=(aV4(u) 【结论】 V=V §1.8一些常用微分 v·()=Vr.2 ()=(Vrer)(=) 上述推导的错误在于 T≠A(r) 【常用微分】 T=已 vxr=O xer= V×( 0 例四 试用上式证明 【证明】 V·( r=36()+()·Vr 6(7)+
§ 1.7 复合函数的微分算子 ∇f(u) = ∇u df(u) du ∇ · A(u) = ∇u · dA(u) du ∇ × A(u) = ∇u × dA(u) du (a · ∇)A(u) = (a · ∇)u dA(u) du 【结论】 ∇ = ∇u d du § 1.8 一些常用微分 ∇ · ( r r 3 ) = ∇r · d dr ( r r 3 ) = ∇r · d dr ( rer r 3 ) = (∇r · er) d dr ( 1 r 2 ) = − 2 r 3 上述推导的错误在于： r6=A(r) 【常用微分】 ∇r = er , ∇ 1 r = − er r 2 ∇ · r = 3 , ∇ · er = 2 r , ∇ · ( r r 3 ) = 4πδ(r) ∇ × r = 0 , ∇ × er = 0 , ∇ × ( r r 3 ) = 0 例四 试用上式证明 ∇ · ( r r n ) = 3 − n r n + 4π r n−3 δ(r) 【证明】 ∇ · ( r r n ) = ∇ · ( r r 3 · 1 r n−3 ) = ∇ · ( r r 3 ) · 1 r n−3 + ( r r 3 ) · ∇ 1 r n−3 = 4π r n−3 δ(r) + ( r r 3 ) · [∇r · 3 − n r n−2 ] = 4π r n−3 δ(r) + 3 − n r n 5
§1.9柱坐标系下的微分算子 10 1 afe af (Tf)+ 1 afz afe afr af 1 af V×f=( 13+19+2 §1.10柱坐标下常用微分 0 §1.11球坐标系下的微分算子 ab 1 al s1 a 10 (2fr)+rsin 0 a0 sin e fe)+ in 0 do V×f afe 1r 1 afr a (r fo) 1.0 f 4-()+ 0 00 r2 sin d02 §1.12球坐标下常用微分 0
§ 1.9 柱坐标系下的微分算子 ∇ψ = ∂ψ ∂r er + 1 r ∂ψ ∂θ eθ + ∂ψ ∂z ez ∇ · f = 1 r ∂ ∂r (rfr) + 1 r ∂fθ ∂θ + ∂fz ∂z ∇ × f = (1 r ∂fz ∂θ − ∂fθ ∂z ) er + (∂fr ∂z − ∂fz ∂r ) eθ + [1 r ∂ ∂r (rfθ) − 1 r ∂fr ∂θ ] ez ∇2ψ = 1 r ∂ ∂r (r ∂ψ ∂r ) + 1 r 2 ∂ 2ψ ∂θ2 + ∂ 2ψ ∂z2 § 1.10 柱坐标下常用微分 ∇r = er , ∇z = ez ∇ · er = 1 r , ∇ × er = 0 ∇ · eθ = 0 , ∇ × eθ = 1 r ez ∇ · ez = 0 , ∇ × ez = 0 § 1.11 球坐标系下的微分算子 ∇ψ = ∂ψ ∂r er + 1 r ∂ψ ∂θ eθ + 1 r sin θ ∂ψ ∂φ eφ ∇ · f = 1 r 2 ∂ ∂r (r 2 fr) + 1 r sin θ ∂ ∂θ (sin θ fθ) + 1 r sin θ ∂fφ ∂φ ∇ × f = 1 r sin θ [ ∂ ∂θ (sin θ fφ) − ∂fθ ∂φ ] er + 1 r [ 1 sin θ ∂fr ∂φ − ∂ ∂r (r fφ)] eθ + 1 r [ ∂ ∂r (rfθ) − ∂fr ∂θ ] eφ ∇2ψ = 1 r 2 ∂ ∂r (r 2 ∂ψ ∂r ) + 1 r 2 sin θ ∂ ∂θ (sin θ ∂ψ ∂θ ) + 1 r 2 sin2 θ ∂ 2ψ ∂φ2 § 1.12 球坐标下常用微分 ∇r = er ∇ · er = 2 r , ∇ × er = 0 ∇ · eθ = 1 r tan θ , ∇ × eθ = 1 r eφ ∇ · eφ = 0 , ∇ × eφ = 1 r tan θ er − 1 r eθ 6
例五 电流Ⅰ均匀分布于半径为a的无穷长直导线内,求空间各点的磁场强度 并由此计算磁场的旋度。 【解】在与导线垂直的平面上作一半径为r的圆,圆心在导线轴上。由对 称性及安培环路定律得: B ee=Vx() =2(V)×e0+(xe) dr k(er x ee 例五(续) 当r<a时 B·d=2mrB lEds noIr V×B=V×( ) [(Vr) 0 第二节张量初步 §2.1坐标变换与爱因斯坦( Einstein)求和约定 ★张量与空间及坐标变换密切相关
例五 电流I均匀分布于半径为a的无穷长直导线内，求空间各点的磁场强度， 并由此计算磁场的旋度。 【解】 在与导线垂直的平面上作一半径为r的圆，圆心在导线轴上。由对 称性及安培环路定律得： ★当r > a时 I L B · dl = 2πrB = µ0 I ⇒ B = µ0I 2πr eθ 故： ∇ × B = ∇ × ( µ0I 2πr eθ) = µ0I 2π [∇ × ( 1 r eθ)] = µ0I 2π [(∇ 1 r ) × eθ + 1 r (∇ × eθ)] = µ0I 2π [∇r d dr ( 1 r ) × eθ + 1 r ez r ] = µ0I 2π [− 1 r 2 (er × eθ) + 1 r ez r ] = 0 例五（续） ★当r < a时 I L B · dl = 2πrB = µ0 ZZ S J · dS ⇒ B = µ0Ir 2πa2 eθ 故： ∇ × B = ∇ × ( µ0Ir 2πa2 eθ) = µ0I 2πa2 [∇ × (reθ)] = µ0I 2πa2 [(∇r) × eθ + r(∇ × eθ)] = µ0I 2πa2 [(er × eθ) + r ez r ] = µ0I πa2 ez = µ0J 第二节 张量初步 § 2.1 坐标变换与爱因斯坦(Einstein)求和约定 ★ 张量与空间及坐标变换密切相关。 三维欧氏空间内，笛卡尔 直角坐标变换下的张量 7
★设∑系中一点(x1,x2,x3),通过坐标系的转动,在∑系中坐标为(x1,x2,x3) aj 1,2,3 其中a=el·e;为坐标转动角的方向余弦,由其构成的矩阵称为坐标变 换系数矩阵, 爱因斯坦求和约定】在张量运算中,在算式的某项中出现重复下标 就意味着对这个指标求和,求和号∑并不写出,该指标称之为哑指标 ★由此,上式即可简写成 i=1,2,3 坐标变换与爱因斯坦( Einstein)求和约定(续) ★满足式(1)(距离保持不变)的线性变换称之为正交变换: a'I=IiIi=const (1) ★空间转动属于正交变换。其系数矩阵αj为一正交矩阵 ★其中I为单位矩阵。 §22张量的定义 【定义】如果某一物理量T,在三维笛卡儿坐标系下,由3个有序分 量Tl…m描述,并且经过由坐标系∑到∑的变换α;后,满足如下关系 则称该量T为η阶张量 ★零阶张量:标量,坐标变换下不变,如质量、电荷等; 阶张量:矢量,如速度、力、电场强度、V算符等; axax! ax ★高阶张量:应用最多的是二阶张量
★ 设Σ系中一点(x1, x2, x3)，通过坐标系的转动，在Σ0系中坐标为(x 0 1 , x0 2 , x0 3 )， 则： x 0 i = X 3 j=1 αijxj , i = 1, 2, 3 ★ 其中αij = e 0 i · ej为坐标转动角的方向余弦，由其构成的矩阵称为坐标变 换系数矩阵。 【爱因斯坦求和约定】 在张量运算中，在算式的某项中出现重复下标， 就意味着对这个指标求和，求和号P并不写出，该指标称之为哑指标。 ★由此，上式即可简写成 x 0 i = αijxj , i = 1, 2, 3 坐标变换与爱因斯坦(Einstein)求和约定（续） ★满足式(1)（距离保持不变）的线性变换称之为正交变换： x 0 ix 0 i = xixi = const (1) ★空间转动属于正交变换。其系数矩阵αij为一正交矩阵： αα˜ = I ★其中I为单位矩阵。 § 2.2 张量的定义 【定义】 如果某一物理量T，在三维笛卡儿坐标系下，由3 n个有序分 量Tl···m描述，并且经过由坐标系Σ到Σ0的变换αij后，满足如下关系： T 0 i···j = αil · · · · · · αjm | {z } Tl···m 则称该量T为n阶张量。 ★ 零阶张量：标量，坐标变换下不变，如质量、电荷等； T 0 = T ★ 一阶张量：矢量，如速度、力、电场强度、∇算符等； T 0 i = αijTj ∂ ∂x0 i = ∂xj ∂x0 i ∂ ∂xj = αij ∂ ∂xj ★ 高阶张量：应用最多的是二阶张量 8
§2.3二阶张量 阶张量:如张力张量、电四极矩、转动惯量、介电张量等; 二阶张量可以用一个矩阵来表示; 反之不然 张量的含义:T;分量:在方向分量作用下的访向的反应效果; ★张量的自由度:任何一个张量都可以分解为三个部分: ◆迹(标量)T自由度为1 无迹对称张量写=T:且T1;=0自由度为5 ◆反对称张量T=-T自由度为3 张量的对称性不随坐标变换改变; 两个矢量的并矢为二阶张量:ab=9≠ba Tii=aib §24克罗内克( Kronecker)符号δ(替换符号) ★克罗内克符号61 (=j) (≠j) ★对称性:6=5 ★转置不变性:=6 ★替换性:5v=v 单位张量:υ §2.5勒维-契维塔(levi-ciⅳita)符号εik(排列符号) ★勒维一契维塔符号k(三阶反对称张量) Erik =+1 (ijk=123,231,312) (jk=213,321,132) (jk=112,233,……) 反对称性:Ek=-k 转置不变性:Ek=E=E6=Ek 排列性:(a×b)= nikai bk (V×A)= Eijkdj Ak
§ 2.3 二阶张量 ★ 二阶张量：如张力张量、电四极矩、转动惯量、介电张量等； T 0 = AT A0 T 0 ij = αilαjmTlm ★ 二阶张量可以用一个矩阵来表示； 反之不然 ★ 张量的含义：Tij分量：在j方向分量作用下的i方向的反应效果； ★ 张量的自由度：任何一个张量都可以分解为三个部分： ◆ 迹（标量）Tii 自由度为1 ◆ 无迹对称张量Tij = Tji 且Tii = 0 自由度为5 电四极矩 ◆ 反对称张量Tij = −Tji 自由度为3 ★ 张量的对称性不随坐标变换改变； ★ 两个矢量的并矢为二阶张量：ab = ←→T 6= ba , Tij = aibj 矩阵表达与指标表达 § 2.4 克罗内克(Kronecker)符号δij（替换符号） ★ 克罗内克符号δij δij = 1 (i = j) δij = 0 (i 6= j) ★ 对称性：δij = δji ★ 转置不变性：δ 0 ij = δij ★ 替换性：δijvj = vi ★ 单位张量：v · ←→I = ←→I · v = v § 2.5 勒维–契维塔(levi–civita)符号εijk（排列符号） ★ 勒维–契维塔符号εijk（三阶反对称张量） εijk = +1 (ijk = 123, 231, 312) εijk = −1 (ijk = 213, 321, 132) εijk = 0 (ijk = 112, 233, · · · ) ★ 反对称性：εijk = −εjik ★ 转置不变性：ε 0 ijk = εijk = εkij = εjki ★ 排列性：(a × b)i = εijkaj bk , (∇ × A)i = εijk∂jAk 9
§2.6张量的运算 ★张量相等:A1=B1 注意矩阵表示 张量加法:A+B1=C 证明C44也是个张量 ★标量与张量相乘:团=kC1=kA1 张量的并乘:省=a团台C1m=A;Blm ◆一般而言:z穿≠穿!冒的阶数是z、阶数相加 ★结合律与分配律 (z丽)冒=() a(+)=+容 +)=园+ 张量的运算(续一) ★缩并:阶数从n到n-2的运算,只有n>2缩并才有意义 二阶张量的缩并就是 ◆n阶张量a对下标(…k)的缩并定义为: B…=∑∑A-k1·6k=A k…·0 ★两个张量的内积(缩并) ◆两个张量与先并乘后各取一下标做缩并的运算称为内积,得 到m+n-2阶张量 ◆若选取的下标是相邻的,可以记做:=好.罗 注意矩阵表示 Cim Ai Bimdjl=Ail Bim ◆若是二阶张量,囫是一阶张量,同样可以用矩阵乘法 ★双重内积:两个张量先进行并乘,然后再两次缩并;冒=好:团对三跟系重开 Aii Blmdiidi 张量的运算(续二) ★并矢按单位并矢的分解:单位矢量e的并矢ee;是二阶张量,称为单位 并矢。◆ee2的矩阵表示除了E12项等于1之外均为零;ee;就是二阶张量 的九个基。 9=Tiieie ★并矢的内积运算 a·(bc)=(a·b)c=a·be (ab)·c=a(b·c)=ab·c b:cd=(a·d)(b·c)=a·(b·cd)=(ab:c):d
§ 2.6 张量的运算 ★ 张量相等：Aij = Bij 注意矩阵表示 ★ 张量加法：Aij + Bij = Cij 证明Cij也是个张量 ★ 标量与张量相乘：←→C = k ←→A ⇔ Cij = kAij ★ 张量的并乘：←→C = ←→A ←→B ⇔ Cijlm = AijBlm ◆一般而言：←→A ←→B 6= ←→B ←→A ！ ←→C 的阶数是←→A 、 ←→B阶数相加 ★ 结合律与分配律： ( ←→A ←→B) ←→C = ←→A ( ←→B ←→C ) ←→A ( ←→B + ←→C ) = ←→A ←→B + ←→A ←→C ( ←→B + ←→C ) ←→A = ←→B ←→A + ←→C ←→A 张量的运算（续一） ★缩并：阶数从n到n − 2的运算，只有n > 2缩并才有意义； 二阶张量的缩并就是迹 ◆n阶张量←→A 对下标(j · · · k)的缩并定义为： Bi···l = X j X k Ai···j···k···l · δjk = Ai···j···k···l · δjk ★两个张量的内积（缩并） ◆两个张量←→A 与 ←→B先并乘后各取一下标做缩并的运算称为内积，得 到m + n − 2阶张量。 ◆若选取的下标是相邻的，可以记做：←→C = ←→A · ←→B 注意矩阵表示 Cim = AijBlmδjl = AilBlm ◆若 ←→A 是二阶张量，←→B是一阶张量，同样可以用矩阵乘法。 ★双重内积：两个张量先进行并乘，然后再两次缩并；←→C = ←→A : ←→B 对于二阶张量其双重缩并 为标量 C = AijBlmδjlδim 张量的运算（续二） ★并矢按单位并矢的分解：单位矢量ei的并矢eiej是二阶张量，称为单位 并矢。 ◆e1e2的矩阵表示除了E12项等于1之外均为零；eiej就是二阶张量 的九个基。 ←→T = Tijeiej ★并矢的内积运算 a · (bc) = (a · b) c = a · bc (ab) · c = a(b · c) = ab · c ab : cd = (a · d)(b · c) = a · (b · cd) = (ab · c) · d 10