第十三章 量子力学
第十三章 量子力学
第一节波函数及其统计解释 一、状态用波函数描述 1、平面简谐波的波函数为 yx,t)=Acos 2r(vt-X) 写成复数形式 i2r(-v) (x,D)=4e"=Ae(kx∞ 般戳式(r,D)=Ae i(k·-a) w(,)=ve"t o=/ (p.r-Eet)
一、状态用波函数描述 ( , ) cos 2 ( ) x y x t = A t − 写成复数形式 2 ( ) ( , ) t x i y x t Ae − = i(kx t) Ae − = 第一节 波函数及其统计解释 一般形式 ( ) ( , ) i k r t y r t Ae − = 1、平面简谐波的波函数为 ( ) 0 ( , ) i k r t r t e − = ( ) 0 p r Et i e − =
、波函数的统计解释 1、电子衍射的琅恩统计解释 在空间的某一点浪函数的平方和该点找到粒 子的几率成正比。 波函数模的平方∝找到粒子的几率 其中w(x,,a,1)=C(x,y ap:dw(x,,z, t)=c@(x, y,a, t)dxo 称为几率密度
二、波函数的统计解释 在空间的某一点波函数的平方和该点找到粒 子的几率成正比。 1、电子衍射的玻恩统计解释： 波函数模的平方 找到粒子的几率 dW x y z t c x y z t dxdydz 2 ( , , , ) = ( , , , ) 2 其中 w(x, y,z,t) = cΦ(x, y,z,t) 称为几率密度 即：
根据统计解释,要求粒子在空间各点的概率的 总和为1。(归一化条件) Ldoc,yaDav=1 y(x,,z, t=vcp(x,y, z, t) 「v(x,y石O)F=1 y(x,y,20)归一化波函数 归一化常数 2、波函数的标准条件: 单值、连续、有限
➢ 根据统计解释, 要求粒子在空间各点的概率的 总和为1。 （归一化条件） ( , , , ) 1 2 = c x y z t dV (x, y,z,t) = c(x, y,z,t) ( , , , ) 1 2 = x y z t dV (x, y,z,t) 归一化波函数 c 归一化常数 2、波函数的标准条件： 单值、连续、有限
第三节薛定谔方程 、薛定谔方程 波函数y(时间演化所遵从的规律。 、自由粒子y2v=iV 2m w Ot 2、在势场U(运动的粒子 hv2+Uy(r, 2m )=i是v(n 3、多粒子体系 h v+U 2 k-in av
波函数 (r 随时间演化所遵从的规律。 ,t) 一 、薛定谔方程 第三节 薛定谔方程 t i m − = 2 2 2 2、在势场 U(r, 中运动的粒子 t) 3、多粒子体系 ] ( , ) ( , ) 2 [ 2 2 r t t U r t i m − + = t U i i m i i = − + 2 2 2 1、自由粒子
第五节定态薛定谔方程 在U与时间无关的情况下,薛定谔方程 可用分离变量法求解: y(r,t=y(rf(t Tin a fOly()=Ih viy()+Uy(lf( 边4f(1 f()=v(r)2m n Vy(r)+Uy(l 由于左边是t的函数,右边是r的 函数,而t和F独立变量
在U与时间无关的情况下，薛定谔方程 可用分离变量法求解： (r,t) =(r)f(t) ( ) ( )] ( ) 2 [ ( )] ( ) [ 2 2 r U r f t m f t r t i = − + ( ) ( )] 2 [ ( ) ( ) 1 ( ) 2 2 r U r dt r m df t f t i = − + 第五节 定态薛定谔方程 由于左边是 t 的函数，右边是 r 的 函数，而t 和 r是独立变量。
只有两边等于同一常数时,该等式才能成立。 以E表示这个常数,有 in df 其解为 iEt/ dtE f(o f()→>e 因此v(,)=v(F)e y(r)满足的方程为 2 I-v+U(l()=Ey(r) 这就是定态薛定谔方程。 定态的特点:处于定态下的粒子具有确定的 能量,而且粒子的几率分布不随时间改变
只有两边等于同一常数时，该等式才能成立。 以E 表示这个常数，有 E f(t) dt df i = 其解为 iEt f t e − ( ) → 因此 iEt r t r e − ( , ) =( ) (r) 满足的方程为 ( )] ( ) ( ) 2 [ 2 2 U r r E r m − + = 这就是定态薛定谔方程。 定态的特点：处于定态下的粒子具有确定的 能量，而且粒子的几率分布不随时间改变
第六节一维无限深势阱 求解定态薛定谔方 程,设粒子处在无限深 势阱中 0 U(x)=∞(x≤0,x≥a) 0(<x<a) 势阱外(x≤0,x≥a)y(x)=0
求解定态薛定谔方 程，设粒子处在无限深 势阱中 = 0 (0 ) ( 0, ) ( ) x a x x a U x …… …… 0 a 势阱外 (x 0, x a) (x) = 0 第六节 一维无限深势阱
势阱内(0B=0 y(a)=0→> Asina=0
势阱内 0 2 2 2 2 + = mE dx d 2 2 2 mE k = 0 2 2 2 + = k dx d 方程的通解为 (0) = 0 → B = 0 (a) = 0 → Asinka = 0 Ψ(x) = Asinkx + Bcoskx (0 x a)
>k=nI a=1,23 22 →>E= 2ma2 2n=1,2,3,… 由B=0和k= (x)=Asin n/Ac y( M(xdc=1→A2 波函数为v(x)=V2sin=1,23,…
→ = ,n = 1,2,3, a n k , 1,2,3, 2 2 2 2 2 → = n = ma n En 由B = 0 和 a n k = a n x x A ( ) = sin a x dx A a 2 ( ) 1 2 0 = → = 波函数为 a n x a x sin 2 ( ) = n = 1,2,3,