第5期 汪培庄，等：因素表示的信息空间与广义概率逻辑 ·845· 理，说明模糊信息在因素空间中也具有不可入性。 法。概念是命题的核心，主语是命题的立足点。 总之，概率论与模糊数学都特别强调可能性 主语不同，无法进行推理，我是中国人推不出安 空间。在英文中概率与可能性是一个字probabil- 倍晋三是亚洲人。绕了一个大圈子，人们发现， ity,为了与概率相区别，Zadeh把模糊分布的可能 如果把主语事先规定死了的话，则命题演算就是 性改称为possibility,不幸的是，这个词的中文 概念演算。在进行推理的时候，如无特别声明， 翻译也是可能性。西方人对probability和possib- 参加演算的命题必须是同一个对象，不能有变！ ility的理解是有分别的，probability是预测中某种 命题演算的局限性是很大的。 结果出现的可能性，而possibility是识别中某种类 谓词演算的朴素思想本来是很简单的（绝不 别出现的可能性。随机性出现在预测过程中，当 像一阶谓词逻辑定义得那么烦琐)：将命题p改写 事件还没有发生的时候，大家要猜测将会是什么 成p(x,“x是p”,它是可以判断真伪的一句话，叫 结果，这时就要用到概率，事情一旦发生，所占的 做一个谓词。p叫做概念，x叫做对象，或叫变 位置马上腾空，可能性空间马上关闭而转换成 元。就像代数是带变元的算术一样，谓词是带变 一个可能性空间。面对一个已经发生的事情，要 元的命题。这是布尔逻辑的一大进步。 去判断这是什么的时候，如果说不清楚，这就出 2.2 Stone拓扑表示定理 现了模糊性，有多种possibility等我们去选择，这 谓词演算带给逻辑学的一项最重要的启迪就 些possibility也要在这个新的可能性空间中来争 是：逻辑蕴涵的本质就是集合的被包含，三段论 夺地盘。为了避免文字上的混淆，我们最好把可 法就是包含关系的传递。逻辑从数学中找到了坚 能性空间改称为信息空间。概率论的可能性空间 固的理论基础。 是以发生因素所组成的信息空间，模糊数学的可 道理非常简单，概念的内涵与外延是逆向对 能性空间是由识别因素所组成的信息空间。在信 合的：概念甲的内涵蕴涵乙的内涵，当且仅当 息科学领域里，因素∫的相域I()就是信息域， 概念乙的外延包含概念甲的外延。但是，直到 因素空间也就是信息空间。 Stone拓扑表示定理的出现，这条简单的道理才从 概率论的产生是数学上的重大事件，相应的 数学上得到严格的证明。 广义概率逻辑的发展将是逻辑学中的一个重大事 Stone拓扑表示定理告诉我们，任何一个布尔 件。为了促进这一发展，我们需要在广义概率逻 代数都同构于由其全体极大滤子所形成的紧零 辑中引用因素表现论域。 维Hausdorff空间的开闭集代数6。简单地说，就 是布尔逻辑与集合论是同构的。但要问怎样同构 2简化的Stone表示定理与因素表现论域 法，就复杂化了。为了简单，我们不妨提出一个 在这一章里，我们需要对经典逻辑作一点反 Stone简化定理。需要介绍滤子的2种不同的定 思，弄清Stone拓扑表示定理的思想实质，强调谓 义，我们把一般格论中定义的滤子叫做强滤子。 词变元的因素特质，用因素空间的思想对数理逻 权威的格论著作)给出：在一个尔代数B=(B, 辑开拓一种新的思路。 V,Λ，)中，按常规定义了偏序≤： 2.1命题演算的局限性 p≤q台pVq=q台pAq=P 布尔命题演算系统L=(S,F(S),「，WMP)有 定义1在布尔代数B=(B,V,A,)中，F二B 5个要素：真值集W由1、0两个值所构成；S中的 叫做一个强滤子，如果满足：1)满性，即(p≤q且 原子公式p代表命题，命题是“能够判断是非的一 pEF)曰q∈F;2)尾敛性，即对任意P,q∈F,都有 句话”；F(S)是公式集，它的形成就规定了或、且、 pAq∈F。B是一个平凡的强滤子。非平凡的强 非3种布尔运算；T是公理，它在推理规则P下 滤子叫做真强滤子。一个强滤子叫做极大强滤 只演绎定理，不能问它是怎样来的。 子，如果它不被不同于它的强滤子所包含的话。 这个系统对经典逻辑来说是自给自足的了。 在某些格论的文献中所定义的滤子只满足第 但是，命题演算在语言上存在着一个大问题：语 一个条件。于是，滤子与强滤子是两个不同的概 言学上的每一句话都有主语和谓语，一个判断句 念，按强滤子叙述更好。称只含有限个原子命题 的谓语是“be”,宾语是be所连接的一个名词、代 集S的布尔代数为有限布尔代数或n元布尔代 名词或形容词，它表示一个概念。要问主语是否 数，元指的是原始公式的个数。 符合这个概念，便形成一个判断。有人主张把 命题1在n元布尔代数B中，每个强滤子 be+概念合称为一个谓词，我们赞同并采用此说 F必有一个最小元P,使对任意q∈F,都有p≤q。理，说明模糊信息在因素空间中也具有不可入性。 f I(f) 总之，概率论与模糊数学都特别强调可能性 空间。在英文中概率与可能性是一个字 probabil￾ity，为了与概率相区别，Zadeh 把模糊分布的可能 性改称为 possibility[13] ，不幸的是，这个词的中文 翻译也是可能性。西方人对 probability 和 possib￾ility 的理解是有分别的，probability 是预测中某种 结果出现的可能性，而 possibility 是识别中某种类 别出现的可能性。随机性出现在预测过程中，当 事件还没有发生的时候，大家要猜测将会是什么 结果，这时就要用到概率，事情一旦发生，所占的 位置马上腾空，可能性空间马上关闭而转换成另 一个可能性空间。面对一个已经发生的事情，要 去判断这是什么的时候，如果说不清楚，这就出 现了模糊性，有多种 possibility 等我们去选择，这 些 possibility 也要在这个新的可能性空间中来争 夺地盘。为了避免文字上的混淆，我们最好把可 能性空间改称为信息空间。概率论的可能性空间 是以发生因素所组成的信息空间，模糊数学的可 能性空间是由识别因素所组成的信息空间。在信 息科学领域里，因素 的相域 就是信息域， 因素空间也就是信息空间。 概率论的产生是数学上的重大事件，相应的 广义概率逻辑的发展将是逻辑学中的一个重大事 件。为了促进这一发展，我们需要在广义概率逻 辑中引用因素表现论域。 2 简化的Stone表示定理与因素表现论域 在这一章里，我们需要对经典逻辑作一点反 思，弄清 Stone 拓扑表示定理的思想实质，强调谓 词变元的因素特质，用因素空间的思想对数理逻 辑开拓一种新的思路。 2.1 命题演算的局限性 L = (S,F (S ),Γ,W,MP) S p F (S ) Γ MP 布尔命题演算系统 有 5 个要素：真值集 W 由 1、0 两个值所构成； 中的 原子公式 代表命题，命题是“能够判断是非的一 句话”； 是公式集，它的形成就规定了或、且、 非 3 种布尔运算； 是公理, 它在推理规则 下 只演绎定理，不能问它是怎样来的。 这个系统对经典逻辑来说是自给自足的了。 但是，命题演算在语言上存在着一个大问题：语 言学上的每一句话都有主语和谓语，一个判断句 的谓语是“be”, 宾语是 be 所连接的一个名词、代 名词或形容词，它表示一个概念。要问主语是否 符合这个概念，便形成一个判断。有人主张把 be+概念合称为一个谓词，我们赞同并采用此说 法。概念是命题的核心，主语是命题的立足点。 主语不同，无法进行推理，我是中国人推不出安 倍晋三是亚洲人。绕了一个大圈子，人们发现， 如果把主语事先规定死了的话，则命题演算就是 概念演算。在进行推理的时候，如无特别声明， 参加演算的命题必须是同一个对象，不能有变！ 命题演算的局限性是很大的。 p p(x) x p p x 谓词演算的朴素思想本来是很简单的 (绝不 像一阶谓词逻辑定义得那么烦琐)：将命题 改写 成 ，“ 是 ”,它是可以判断真伪的一句话，叫 做一个谓词。 叫做概念， 叫做对象，或叫变 元。就像代数是带变元的算术一样，谓词是带变 元的命题。这是布尔逻辑的一大进步。 2.2 Stone 拓扑表示定理 谓词演算带给逻辑学的一项最重要的启迪就 是：逻辑蕴涵的本质就是集合的被包含，三段论 法就是包含关系的传递。逻辑从数学中找到了坚 固的理论基础。 道理非常简单，概念的内涵与外延是逆向对 合的：概念甲的内涵蕴涵乙的内涵，当且仅当 概念乙的外延包含概念甲的外延。但是，直到 Stone 拓扑表示定理的出现，这条简单的道理才从 数学上得到严格的证明。 ∨,∧,¬) ⩽ Stone 拓扑表示定理告诉我们，任何一个布尔 代数都同构于由其全体极大滤子所形成的紧零 维 Hausdorff 空间的开闭集代数[16]。简单地说，就 是布尔逻辑与集合论是同构的。但要问怎样同构 法，就复杂化了。为了简单，我们不妨提出一个 Stone 简化定理。需要介绍滤子的 2 种不同的定 义，我们把一般格论中定义的滤子叫做强滤子。 权威的格论著作[17] 给出：在一个尔代数 B = (B, 中，按常规定义了偏序 ： p ⩽ q ⇔ p∨q = q ⇔ p∧q = p B = (B,∨,∧,¬) F ⊆ B p ⩽ q p ∈ F ⇒ q ∈ F p,q ∈ F p∧q ∈ F B 定义 1 在布尔代数 中 ， 叫做一个强滤子，如果满足：1) 满性，即 ( 且 ) ；2) 尾敛性，即对任意 ，都有 。 是一个平凡的强滤子。非平凡的强 滤子叫做真强滤子。一个强滤子叫做极大强滤 子，如果它不被不同于它的强滤子所包含的话。 S n 在某些格论的文献中所定义的滤子只满足第 一个条件。于是，滤子与强滤子是两个不同的概 念，按强滤子叙述更好。称只含有限个原子命题 集 的布尔代数为有限布尔代数或 元布尔代 数，元指的是原始公式的个数。 n B F p q ∈ F p ⩽ q 命题 1 在 元布尔代数 中，每个强滤子 必有一个最小元 ，使对任意 ，都有 。 第 5 期 汪培庄，等：因素表示的信息空间与广义概率逻辑 ·845·