第14卷第5期 智能系统学报 Vol.14 No.5 2019年9月 CAAI Transactions on Intelligent Systems Sept.2019 D0:10.11992/tis.201810021 网络出版地址：http:/kns.cnki.net/kcms/detail/23.1538.TP.20190527.1345.006html 因素表示的信息空间与广义概率逻辑 汪培庄，周红军2，何华灿3，钟义信4 (1.辽宁工程技术大学智能工程与数学研究院，辽宁阜新123000；2.陕西师范大学数学学院，陕西西安 710062:3.西北工业大学计算机学院.陕西西安710072：4.北京邮电大学智能科学技术中心，北京100876) 摘要：国内外近年来所提出的广义概率逻辑对于人工智能的发展有重要意义。能否反映变换演化的实际场 景，使逻辑判断能够灵活变通，这是广义概率逻辑发展的关键。为了解决这一问题，本文的目是以信息空间作 为逻辑与实际场景的接口。有了这个接口，逻辑判断就能反映变幻莫测的实际场景。本文的方法是用因素空 间来定义表现论域以形成新的信息空间，将谓词中的变元取为因素，在已有的逻辑系统中加上本文所提出的背 景公理，所有的推理都是在一定背景之下的推理，不同的背景会推出不同的结论。结果是新的逻辑既能维系 Stoe表示定理的表现要求，又能变得更加灵活有效。结论能使广义概率逻辑更有效地服务于人工智能。为了 配合机制主义人工智能的需要，本文还特别提出了语法-语用对接的方法和目标驱动的逆向推理设想.最后为 泛逻辑的3种连续算子对进行了数学证明。 关键词：机制主义人工智能；泛逻辑；计量概率逻辑；因素空间；模糊集；可能性空间；谓词演算；随机集落影 中图分类号：TP18文献标志码：A文章编号：1673-4785(2019)05-0843-10 中文引用格式：汪培庄，周红军，何华灿，等.因素表示的信息空间与广义概率逻辑.智能系统学报，2019,14（⑤）：843-852. 英文引用格式：VANG Peizhuang,ZHOU Hongjun,.HE Huacan,etal.Factorial information space and generalized probability lo- gic[J].CAAI transactions on intelligent systems,2019,14(5):843-852. Factorial information space and generalized probability logic WANG Peizhuang',ZHOU Hongjun',HE Huacan',ZHONG Yixin' (1.Institute of Intelligence Engineering and Math,Liaoning Technical University,Fuxin 123000,China;2.College of Mathematics,Shannxi Normal University,Xi'an 710062,China;3.School of Computer Science,Northwestern Poly- technical University,Xi'an 710072,China;4.Center for Intelligent Science and Technology,Beijing University of Posts Telecommunications,Beijing 100876,China) Abstract:The generalized probabilistic logic proposed in recent years is of great significance to the development of arti- ficial intelligence.Make flexible judgment that reflects the scene of actual transformation and evolution is the key to the development of the generalized probability logic.Considering this,this paper takes the information space as the inter- face between logic and actual scene.With this interface,logical judgment can reflect unpredictable real situations.The method in this paper is to use factors space to define the representation domain to form the information space.Then pre- dicate variables are taken as factors,and background axioms are added into the existing logic system.Reasoning is taken under a certain background,different backgrounds will derive different conclusions.The result is that the new logic can not only maintain the rational requirement of the Stone representation theorem but can also make decisions more flex- ibly and effectively.The conclusion is that the generalized probabilistic logic can serve artificial intelligence more ef- fectively.To meet the need of mechanistic artificial intelligence,this paper proposes the grammar-pragmatic docking method and the goal-driven backward reasoning.Finally,a mathematical proof is given for three couples of continuous operators in universal logic. Keywords:mechanism based artificial intelligence;universal logic;econometric probability logic;factors space;fuzzy sets;possibility space;predicate calculus,random falling shadow 收稿日期：2018-10-17.网络出版日期：2019-05-28. 机制主义的人工智能理论抓住并提升了目前 基金项目：国家自然科学基金(61350003.60273087.60873001). 通信作者：汪培庄.E-mail:peizhuangw@126.com. 三大流派的共性，为人工智能理论的发展构建了
DOI: 10.11992/tis.201810021 网络出版地址: http://kns.cnki.net/kcms/detail/23.1538.TP.20190527.1345.006.html 因素表示的信息空间与广义概率逻辑 汪培庄1，周红军2，何华灿3，钟义信4 （1. 辽宁工程技术大学 智能工程与数学研究院，辽宁 阜新 123000; 2. 陕西师范大学 数学学院，陕西 西安 710062; 3. 西北工业大学 计算机学院，陕西 西安 710072; 4. 北京邮电大学 智能科学技术中心，北京 100876） 摘 要：国内外近年来所提出的广义概率逻辑对于人工智能的发展有重要意义。能否反映变换演化的实际场 景，使逻辑判断能够灵活变通，这是广义概率逻辑发展的关键。为了解决这一问题，本文的目是以信息空间作 为逻辑与实际场景的接口。有了这个接口，逻辑判断就能反映变幻莫测的实际场景。本文的方法是用因素空 间来定义表现论域以形成新的信息空间，将谓词中的变元取为因素，在已有的逻辑系统中加上本文所提出的背 景公理，所有的推理都是在一定背景之下的推理，不同的背景会推出不同的结论。结果是新的逻辑既能维系 Stone 表示定理的表现要求，又能变得更加灵活有效。结论能使广义概率逻辑更有效地服务于人工智能。为了 配合机制主义人工智能的需要，本文还特别提出了语法-语用对接的方法和目标驱动的逆向推理设想，最后为 泛逻辑的 3 种连续算子对进行了数学证明。 关键词：机制主义人工智能；泛逻辑；计量概率逻辑；因素空间；模糊集；可能性空间；谓词演算；随机集落影 中图分类号：TP18 文献标志码：A 文章编号：1673−4785(2019)05−0843−10 中文引用格式：汪培庄, 周红军, 何华灿, 等. 因素表示的信息空间与广义概率逻辑 [J]. 智能系统学报, 2019, 14(5): 843–852. 英文引用格式：WANG Peizhuang, ZHOU Hongjun, HE Huacan, et al. Factorial information space and generalized probability logic[J]. CAAI transactions on intelligent systems, 2019, 14(5): 843–852. Factorial information space and generalized probability logic WANG Peizhuang1 ，ZHOU Hongjun2 ，HE Huacan3 ，ZHONG Yixin4 (1. Institute of Intelligence Engineering and Math, Liaoning Technical University, Fuxin 123000, China; 2. College of Mathematics, Shannxi Normal University, Xi’an 710062, China; 3. School of Computer Science, Northwestern Polytechnical University, Xi’an 710072, China; 4. Center for Intelligent Science and Technology, Beijing University of Posts Telecommunications, Beijing 100876, China) Abstract: The generalized probabilistic logic proposed in recent years is of great significance to the development of artificial intelligence. Make flexible judgment that reflects the scene of actual transformation and evolution is the key to the development of the generalized probability logic. Considering this, this paper takes the information space as the interface between logic and actual scene. With this interface, logical judgment can reflect unpredictable real situations. The method in this paper is to use factors space to define the representation domain to form the information space. Then predicate variables are taken as factors, and background axioms are added into the existing logic system. Reasoning is taken under a certain background, different backgrounds will derive different conclusions. The result is that the new logic can not only maintain the rational requirement of the Stone representation theorem but can also make decisions more flexibly and effectively. The conclusion is that the generalized probabilistic logic can serve artificial intelligence more effectively. To meet the need of mechanistic artificial intelligence, this paper proposes the grammar-pragmatic docking method and the goal-driven backward reasoning. Finally, a mathematical proof is given for three couples of continuous operators in universal logic. Keywords: mechanism based artificial intelligence; universal logic; econometric probability logic; factors space; fuzzy sets; possibility space; predicate calculus; random falling shadow 机制主义的人工智能理论抓住并提升了目前 三大流派的共性，为人工智能理论的发展构建了 收稿日期：2018−10−17. 网络出版日期：2019−05−28. 基金项目：国家自然科学基金 (61350003，60273087，60873001). 通信作者：汪培庄. E-mail: peizhuangw@126.com. 第 14 卷第 5 期 智 能 系 统 学 报 Vol.14 No.5 2019 年 9 月 CAAI Transactions on Intelligent Systems Sept. 2019
·844· 智能系统学报 第14卷 一个统一的平台山。泛逻辑理论要在不确定性演 常严格的数学概念，对于2中的每一个点，必 化环境下对各种非经典逻辑进行统一的柔性归 须有唯一确定的实数值()与之对应，怎样才能 纳。Lukasiewiez提出的多值逻辑和Zadeh提 把随机的现象和严格的映射连在一起呢？关键就 出的模糊逻辑先后突破了布尔的二值逻辑，所引 在基本空间的建立。Kolmogorov的基本空间就 起反响至今还是方兴未艾。特别是，王国俊的提 是作者所提出的一个因素空间，把所有对结果 出的计量逻辑、Schweizer等ls提出的概率逻辑、 有影响的因素全部考虑进来，所考虑的因素越 周红军)提升出的概率计量逻辑以及王国俊学 多，结果就越确定，作为一种数学抽象随机变量 派⑧川和徐扬回在格值逻辑方面的工作。这些工 在2中最终会变成一个必然的映射。我们姑且 作和何华灿的泛逻辑都与概率论有密切的联系， 不在哲学上对此进行评价，数学家就需要有这种 不妨统称为广义概率逻辑。概率论的出现改变了 魄力和手段。汪培庄明确地把基本空间2当 数学，广义概率逻辑的出现对逻辑发展有重要意义。 作因素空间来研究，提出了因素概率论的思想。 信息不同于物质，它在物理空间中不占位置， 天下事物说来说去，就是因果二字，因果出理性， 不具有不可入性。但是，“有这样一种学说：在物 因果生逻辑。若A则B,A就是因，B就是果，逻 质世界与信息世界的对立统一中，物质在物理空 辑就是因果。概率就是广义的因果律。概率都是 间中具有不可人性和惯性，信息在可能性空间中 相对于一定条件而言的。条件概率p(BA)就是 也具有不可入性和惯性。这应当成为柔性逻辑的 推理句“若A则B”的真值：p(BA)=1(A→B)o 公理四。这里提出了一个非常重要的概念“可能 用因素空间描述概率论叫做因素概率论。每 性空间”，究竞什么是可能性空间，它与概率论和 个可描述的发生因素f都规定了一个相域I()。 模糊数学所提的可能性空间有什么联系与区别？ 例如，投掷一枚骰子，因素∫是出现的点数，它的 什么是广义概率逻辑？广义概率逻辑的发展将面 相域是1(f)={(1,2,3,4,5,6。由于骰子具有6面对 临什么问题？这些问题的深入探讨，将会对人工 称性，我们把这样的发生因素叫做对称性因素。 智能的发展带来重大的影响。本文就是要用因素 I()包含6个相，6称为可能结果数。古典概率 空间的数学理论来把这些问题说清楚。 中有这样一条公理，即对称性公理。 1可能性空间 对称性公理具有可能结果数为n的对称性 因素f,在它与其他发生因素独立的情况下，n种 在前面曾提到，就像物质在物理空间中具有 结果的发生都具有等可能性。若I(f)={a1,2,…,an, 不可入性和惯性一样，信息在可能性空间中也具 则p(a)=p(a2)=…=p(an)=1/mo 有不可入性和惯性。这两句话意义重大。信息是 现代概率论的发展要归功于中心极限定理和 要占“地方”的，需要有空间，这个空间不在物质 各种概率分布的推导，但其根源是来自古典概率 世界里，在认识主体的处理架构之中。 和样本平权公理： 可能性空间在概率论和模糊数学中分别出现 样本平权公理设1,2，…，xm是关于随机变 过两次。第一次，Kolmogorov在1936年用公理化 量的一组独立观察的样本点，如无特殊声明，则每 定义把概率定义成为像面积、体积和重量一样的 个样本点都是平权的，亦即p(x)=p(x)=…=p(cm)三 测度，可加性测度是不可入性的产物，测度测量 1/m;每个样本各自平权地把1/m的概率搬到因素 “占有”这位数学家第一次把信息概念与物质概念 空间中去争夺地盘，就形成了各种各样的概率分 等同起来，在可能性空间中为事件争夺地盘。三 布。根据这一公理，x1,2,…,xm被视为一组相互 十多年以后，模糊集的创始人Zadeh)也要把模 独立的与同分布的随机变量。 糊概念放到可能性空间中来争夺地盘。 模糊数学也强调可能性空间，这种可能性空间 Kolmogorov的可能性空间就是他所定义的基 与概率论不同，所有主观性测度都是非可加的。 本空间2。这个空间对现代概率论来说具有特殊 如果把不可入性狭义地理解为测度的可加性，那 的重要性。Kolmogorov把随机变量定义成为一 么非可加的测度是可入的。但是，非可加的测度 个从Q到实直线R的可测映射，它把2中的概率 照样是要占“地方”的，汪培庄把模糊集定义所在的 传递到直线上形成各种类型的概率分布列、分布 论域U当作可能性空间，研究了模糊性与随机性 密度和分布函数，使古典概率突变成为现代概率 的区别和联系，发现论域U上的模糊性可以转化 论。问题是，随机变量所描述的是像降雨量和命 为幂20上的随机性，提出了模糊落影理论9。证 中率这样一些不确定的现象，而映射却是一个非 明了主观性测度与概率测度之间的同构对应定
一个统一的平台[1]。泛逻辑理论要在不确定性演 化环境下对各种非经典逻辑进行统一的柔性归 纳 [2]。Lukasiewiez[3] 提出的多值逻辑和 Zadeh[4] 提 出的模糊逻辑先后突破了布尔的二值逻辑，所引 起反响至今还是方兴未艾。特别是，王国俊[5] 提 出的计量逻辑、Schweizer 等 [6] 提出的概率逻辑、 周红军[7] 提升出的概率计量逻辑以及王国俊学 派 [8-11] 和徐扬[12] 在格值逻辑方面的工作。这些工 作和何华灿的泛逻辑都与概率论有密切的联系， 不妨统称为广义概率逻辑。概率论的出现改变了 数学，广义概率逻辑的出现对逻辑发展有重要意义。 信息不同于物质，它在物理空间中不占位置， 不具有不可入性。但是，“有这样一种学说：在物 质世界与信息世界的对立统一中，物质在物理空 间中具有不可入性和惯性，信息在可能性空间中 也具有不可入性和惯性。这应当成为柔性逻辑的 公理” [2]。这里提出了一个非常重要的概念“可能 性空间”，究竟什么是可能性空间，它与概率论和 模糊数学所提的可能性空间有什么联系与区别？ 什么是广义概率逻辑？广义概率逻辑的发展将面 临什么问题？这些问题的深入探讨，将会对人工 智能的发展带来重大的影响。本文就是要用因素 空间的数学理论来把这些问题说清楚。 1 可能性空间 在前面曾提到，就像物质在物理空间中具有 不可入性和惯性一样，信息在可能性空间中也具 有不可入性和惯性。这两句话意义重大。信息是 要占“地方”的，需要有空间，这个空间不在物质 世界里，在认识主体的处理架构之中。 可能性空间在概率论和模糊数学中分别出现 过两次。第一次，Kolmogorov 在 1936 年用公理化 定义把概率定义成为像面积、体积和重量一样的 测度，可加性测度是不可入性的产物，测度测量 “占有”这位数学家第一次把信息概念与物质概念 等同起来，在可能性空间中为事件争夺地盘。三 十多年以后，模糊集的创始人 Zadeh[13] 也要把模 糊概念放到可能性空间中来争夺地盘。 Ω ξ Ω R Ω Kolmogorov 的可能性空间就是他所定义的基 本空间 。这个空间对现代概率论来说具有特殊 的重要性。Kolmogorov 把随机变量 定义成为一 个从 到实直线 的可测映射，它把 中的概率 传递到直线上形成各种类型的概率分布列、分布 密度和分布函数，使古典概率突变成为现代概率 论。问题是，随机变量所描述的是像降雨量和命 中率这样一些不确定的现象，而映射却是一个非 Ω ω ξ (ω) Ω Ω A B A B p(B|A) A B p(B|A)=t(A → B) 常严格的数学概念，对于 中的每一个点 ，必 须有唯一确定的实数值 与之对应，怎样才能 把随机的现象和严格的映射连在一起呢？关键就 在基本空间的建立。Kolmogorov 的基本空间就 是作者所提出的一个因素空间[14] ，把所有对结果 有影响的因素全部考虑进来，所考虑的因素越 多，结果就越确定，作为一种数学抽象随机变量 在 中最终会变成一个必然的映射。我们姑且 不在哲学上对此进行评价，数学家就需要有这种 魄力和手段。汪培庄[15] 明确地把基本空间 当 作因素空间来研究，提出了因素概率论的思想。 天下事物说来说去，就是因果二字，因果出理性， 因果生逻辑。若 则 ， 就是因， 就是果，逻 辑就是因果。概率就是广义的因果律。概率都是 相对于一定条件而言的。条件概率 就是 推理句“若 则 ”的真值： 。 f I(f) f I(f) = {1,2,3,4,5,6} I(f) 用因素空间描述概率论叫做因素概率论。每 个可描述的发生因素 都规定了一个相域 。 例如，投掷一枚骰子，因素 是出现的点数，它的 相域是 。由于骰子具有 6 面对 称性，我们把这样的发生因素叫做对称性因素。 包含 6 个相，6 称为可能结果数。古典概率 中有这样一条公理，即对称性公理。 n f n I(f) = {a1,a2,··· ,an} p(a1) = p(a2) = ··· = p(an) = 1/n 对称性公理 具有可能结果数为 的对称性 因素 ，在它与其他发生因素独立的情况下， 种 结果的发生都具有等可能性。若 ， 则 。 现代概率论的发展要归功于中心极限定理和 各种概率分布的推导，但其根源是来自古典概率 和样本平权公理： x1, x2,··· , xm ξ p(x1) = p(x2) = ··· = p(xm) = 1/m x1, x2,··· , xm ξ 样本平权公理 设 是关于随机变 量 的一组独立观察的样本点，如无特殊声明，则每 个样本点都是平权的，亦即 1/m；每个样本各自平权地把 的概率搬到因素 空间中去争夺地盘，就形成了各种各样的概率分 布。根据这一公理， 被视为一组相互 独立的与 同分布的随机变量。 U U 2 U 模糊数学也强调可能性空间，这种可能性空间 与概率论不同，所有主观性测度都是非可加的。 如果把不可入性狭义地理解为测度的可加性，那 么非可加的测度是可入的。但是，非可加的测度 照样是要占“地方”的，汪培庄把模糊集定义所在的 论域 当作可能性空间，研究了模糊性与随机性 的区别和联系，发现论域 上的模糊性可以转化 为幂 上的随机性，提出了模糊落影理论[15]。证 明了主观性测度与概率测度之间的同构对应定 ·844· 智 能 系 统 学 报 第 14 卷
第5期 汪培庄，等：因素表示的信息空间与广义概率逻辑 ·845· 理，说明模糊信息在因素空间中也具有不可入性。 法。概念是命题的核心，主语是命题的立足点。 总之，概率论与模糊数学都特别强调可能性 主语不同，无法进行推理，我是中国人推不出安 空间。在英文中概率与可能性是一个字probabil- 倍晋三是亚洲人。绕了一个大圈子，人们发现， ity,为了与概率相区别，Zadeh把模糊分布的可能 如果把主语事先规定死了的话，则命题演算就是 性改称为possibility,不幸的是，这个词的中文 概念演算。在进行推理的时候，如无特别声明， 翻译也是可能性。西方人对probability和possib- 参加演算的命题必须是同一个对象，不能有变！ ility的理解是有分别的，probability是预测中某种 命题演算的局限性是很大的。 结果出现的可能性，而possibility是识别中某种类 谓词演算的朴素思想本来是很简单的（绝不 别出现的可能性。随机性出现在预测过程中，当 像一阶谓词逻辑定义得那么烦琐)：将命题p改写 事件还没有发生的时候，大家要猜测将会是什么 成p(x,“x是p”,它是可以判断真伪的一句话，叫 结果，这时就要用到概率，事情一旦发生，所占的 做一个谓词。p叫做概念，x叫做对象，或叫变 位置马上腾空，可能性空间马上关闭而转换成 元。就像代数是带变元的算术一样，谓词是带变 一个可能性空间。面对一个已经发生的事情，要 元的命题。这是布尔逻辑的一大进步。 去判断这是什么的时候，如果说不清楚，这就出 2.2 Stone拓扑表示定理 现了模糊性，有多种possibility等我们去选择，这 谓词演算带给逻辑学的一项最重要的启迪就 些possibility也要在这个新的可能性空间中来争 是：逻辑蕴涵的本质就是集合的被包含，三段论 夺地盘。为了避免文字上的混淆，我们最好把可 法就是包含关系的传递。逻辑从数学中找到了坚 能性空间改称为信息空间。概率论的可能性空间 固的理论基础。 是以发生因素所组成的信息空间，模糊数学的可 道理非常简单，概念的内涵与外延是逆向对 能性空间是由识别因素所组成的信息空间。在信 合的：概念甲的内涵蕴涵乙的内涵，当且仅当 息科学领域里，因素∫的相域I()就是信息域， 概念乙的外延包含概念甲的外延。但是，直到 因素空间也就是信息空间。 Stone拓扑表示定理的出现，这条简单的道理才从 概率论的产生是数学上的重大事件，相应的 数学上得到严格的证明。 广义概率逻辑的发展将是逻辑学中的一个重大事 Stone拓扑表示定理告诉我们，任何一个布尔 件。为了促进这一发展，我们需要在广义概率逻 代数都同构于由其全体极大滤子所形成的紧零 辑中引用因素表现论域。 维Hausdorff空间的开闭集代数6。简单地说，就 是布尔逻辑与集合论是同构的。但要问怎样同构 2简化的Stone表示定理与因素表现论域 法，就复杂化了。为了简单，我们不妨提出一个 在这一章里，我们需要对经典逻辑作一点反 Stone简化定理。需要介绍滤子的2种不同的定 思，弄清Stone拓扑表示定理的思想实质，强调谓 义，我们把一般格论中定义的滤子叫做强滤子。 词变元的因素特质，用因素空间的思想对数理逻 权威的格论著作)给出：在一个尔代数B=(B, 辑开拓一种新的思路。 V,Λ，)中，按常规定义了偏序≤： 2.1命题演算的局限性 p≤q台pVq=q台pAq=P 布尔命题演算系统L=(S,F(S),「，WMP)有 定义1在布尔代数B=(B,V,A,)中，F二B 5个要素：真值集W由1、0两个值所构成；S中的 叫做一个强滤子，如果满足：1)满性，即(p≤q且 原子公式p代表命题，命题是“能够判断是非的一 pEF)曰q∈F;2)尾敛性，即对任意P,q∈F,都有 句话”；F(S)是公式集，它的形成就规定了或、且、 pAq∈F。B是一个平凡的强滤子。非平凡的强 非3种布尔运算；T是公理，它在推理规则P下 滤子叫做真强滤子。一个强滤子叫做极大强滤 只演绎定理，不能问它是怎样来的。 子，如果它不被不同于它的强滤子所包含的话。 这个系统对经典逻辑来说是自给自足的了。 在某些格论的文献中所定义的滤子只满足第 但是，命题演算在语言上存在着一个大问题：语 一个条件。于是，滤子与强滤子是两个不同的概 言学上的每一句话都有主语和谓语，一个判断句 念，按强滤子叙述更好。称只含有限个原子命题 的谓语是“be”,宾语是be所连接的一个名词、代 集S的布尔代数为有限布尔代数或n元布尔代 名词或形容词，它表示一个概念。要问主语是否 数，元指的是原始公式的个数。 符合这个概念，便形成一个判断。有人主张把 命题1在n元布尔代数B中，每个强滤子 be+概念合称为一个谓词，我们赞同并采用此说 F必有一个最小元P,使对任意q∈F,都有p≤q
理，说明模糊信息在因素空间中也具有不可入性。 f I(f) 总之，概率论与模糊数学都特别强调可能性 空间。在英文中概率与可能性是一个字 probability，为了与概率相区别，Zadeh 把模糊分布的可能 性改称为 possibility[13] ，不幸的是，这个词的中文 翻译也是可能性。西方人对 probability 和 possibility 的理解是有分别的，probability 是预测中某种 结果出现的可能性，而 possibility 是识别中某种类 别出现的可能性。随机性出现在预测过程中，当 事件还没有发生的时候，大家要猜测将会是什么 结果，这时就要用到概率，事情一旦发生，所占的 位置马上腾空，可能性空间马上关闭而转换成另 一个可能性空间。面对一个已经发生的事情，要 去判断这是什么的时候，如果说不清楚，这就出 现了模糊性，有多种 possibility 等我们去选择，这 些 possibility 也要在这个新的可能性空间中来争 夺地盘。为了避免文字上的混淆，我们最好把可 能性空间改称为信息空间。概率论的可能性空间 是以发生因素所组成的信息空间，模糊数学的可 能性空间是由识别因素所组成的信息空间。在信 息科学领域里，因素 的相域 就是信息域， 因素空间也就是信息空间。 概率论的产生是数学上的重大事件，相应的 广义概率逻辑的发展将是逻辑学中的一个重大事 件。为了促进这一发展，我们需要在广义概率逻 辑中引用因素表现论域。 2 简化的Stone表示定理与因素表现论域 在这一章里，我们需要对经典逻辑作一点反 思，弄清 Stone 拓扑表示定理的思想实质，强调谓 词变元的因素特质，用因素空间的思想对数理逻 辑开拓一种新的思路。 2.1 命题演算的局限性 L = (S,F (S ),Γ,W,MP) S p F (S ) Γ MP 布尔命题演算系统 有 5 个要素：真值集 W 由 1、0 两个值所构成； 中的 原子公式 代表命题，命题是“能够判断是非的一 句话”； 是公式集，它的形成就规定了或、且、 非 3 种布尔运算； 是公理, 它在推理规则 下 只演绎定理，不能问它是怎样来的。 这个系统对经典逻辑来说是自给自足的了。 但是，命题演算在语言上存在着一个大问题：语 言学上的每一句话都有主语和谓语，一个判断句 的谓语是“be”, 宾语是 be 所连接的一个名词、代 名词或形容词，它表示一个概念。要问主语是否 符合这个概念，便形成一个判断。有人主张把 be+概念合称为一个谓词，我们赞同并采用此说 法。概念是命题的核心，主语是命题的立足点。 主语不同，无法进行推理，我是中国人推不出安 倍晋三是亚洲人。绕了一个大圈子，人们发现， 如果把主语事先规定死了的话，则命题演算就是 概念演算。在进行推理的时候，如无特别声明， 参加演算的命题必须是同一个对象，不能有变！ 命题演算的局限性是很大的。 p p(x) x p p x 谓词演算的朴素思想本来是很简单的 (绝不 像一阶谓词逻辑定义得那么烦琐)：将命题 改写 成 ，“ 是 ”,它是可以判断真伪的一句话，叫 做一个谓词。 叫做概念， 叫做对象，或叫变 元。就像代数是带变元的算术一样，谓词是带变 元的命题。这是布尔逻辑的一大进步。 2.2 Stone 拓扑表示定理 谓词演算带给逻辑学的一项最重要的启迪就 是：逻辑蕴涵的本质就是集合的被包含，三段论 法就是包含关系的传递。逻辑从数学中找到了坚 固的理论基础。 道理非常简单，概念的内涵与外延是逆向对 合的：概念甲的内涵蕴涵乙的内涵，当且仅当 概念乙的外延包含概念甲的外延。但是，直到 Stone 拓扑表示定理的出现，这条简单的道理才从 数学上得到严格的证明。 ∨,∧,¬) ⩽ Stone 拓扑表示定理告诉我们，任何一个布尔 代数都同构于由其全体极大滤子所形成的紧零 维 Hausdorff 空间的开闭集代数[16]。简单地说，就 是布尔逻辑与集合论是同构的。但要问怎样同构 法，就复杂化了。为了简单，我们不妨提出一个 Stone 简化定理。需要介绍滤子的 2 种不同的定 义，我们把一般格论中定义的滤子叫做强滤子。 权威的格论著作[17] 给出：在一个尔代数 B = (B, 中，按常规定义了偏序 ： p ⩽ q ⇔ p∨q = q ⇔ p∧q = p B = (B,∨,∧,¬) F ⊆ B p ⩽ q p ∈ F ⇒ q ∈ F p,q ∈ F p∧q ∈ F B 定义 1 在布尔代数 中 ， 叫做一个强滤子，如果满足：1) 满性，即 ( 且 ) ；2) 尾敛性，即对任意 ，都有 。 是一个平凡的强滤子。非平凡的强 滤子叫做真强滤子。一个强滤子叫做极大强滤 子，如果它不被不同于它的强滤子所包含的话。 S n 在某些格论的文献中所定义的滤子只满足第 一个条件。于是，滤子与强滤子是两个不同的概 念，按强滤子叙述更好。称只含有限个原子命题 集 的布尔代数为有限布尔代数或 元布尔代 数，元指的是原始公式的个数。 n B F p q ∈ F p ⩽ q 命题 1 在 元布尔代数 中，每个强滤子 必有一个最小元 ，使对任意 ，都有 。 第 5 期 汪培庄，等：因素表示的信息空间与广义概率逻辑 ·845·
·846· 智能系统学报 第14卷 证明因为平凡强滤子B有最小元0，所以 了集合P中。这一定理把难懂的Stone定理说得 只需对真强滤子进行证明。 简单明白而且说到本质。Stone定理之所以重要， 任给一个真强滤子F,对它建立一个假定：F 就是因为它把事物是非的“是”等同于隶属的“属”， 中不存在最小元。 这体现了概念内涵与外延的一致性，是任何逻辑体 任取pP1∈F,因它不是最小元，必有p2∈F,使 系都必须满足的，哪一个逻辑体系不满足Stone定 得p2<P1。因p2不是最小元，必有p3∈F,使有 理，哪一个逻辑体系就要被否决。因而，这个定理 P3<P2。如此继续下去形成一个B中的全序子 成了检验新逻辑系统的一块试金石。而Stone定理 链，其长度可以大于任意给定的整数。但是有限 的核心是表现论域。王国俊先生和他的学生们的 原始命题生成的公式不可能出现任意长的全序子 工作之所以杰出，就是因为他们都明确地使用和定 链，矛盾，可见假定错误。证毕。 义了各自的表现论域。 显而易见，若F有最小元，则它在相等的意 命题3表现论域的构造。设n元布尔代数 义下是唯一的。 B的原子公式集是S={p4,P2,…,P,则表现论域 定义2强滤子的最小元叫做它的滤尾。 的元素是一切可能出现的n字组： 命题2n元布尔代数中真强滤子是极大的 U={xA2A…Ax=P或一p0=1,2,…,m） 充分必要条件是：它的滤尾是B中的次小元。 证明给定a=xAxA…Axm若有公式q<xA 证明下面将提到的p与p分别是真滤子F A…Axm,则必有比a小的公式r,使有q=rAao 和F的滤尾。显然p与p都不是最小元0。 考虑，的析取范式，其中任何一项b都必须 F是极大真强滤子当且仅当不存在另一个真 是一个比a小的字组aAy2Ayw=P或 强滤子F包含F。这当且仅当(p<p→p=0), p)。若对所有j=1,2,…,k,都有x0=y0,则 亦即p是B中的次小元。证毕。 b≥a从而r≥a,不合要求。故必有j使x≠ 定义3记U为n元布尔代数B中次小元的 这时，n且y0=p0或者0=一P且yU0=P,必 集合，U叫做布尔代数B的表现论域。 有xA)=0,从而aAb=0。任意字组都如此， 表现论域是按照强滤子来定义的。强滤子所 便有aAT=0。对任意比a小的D都有aAr=0, 具有的尾敛性是拓扑学中邻域系的典型特征。在 则g=rAa=0,这说明a是次小元。 有限情形下，它保证了滤尾的存在，在无限情形 反之，设a是B的次小元，它的析取范式只 下保证了强滤子向一点的收缩。它始终保证强滤 能包含一个字组。在这个字组中若缺少一项，则 子像一颗炮弹，在有限情形下有弹尖（滤尾），在无 必能找到一个比它小的元，这个元只需对它的缺 限情形下有尖口（极限点）。非强滤子由于没有尾 项安上一个字。证毕 敛性，它就不是一个弹头而是多弹头的并。不难 例1设B是一元布尔代数，具有单字集 证明，B中全体滤子所成的集合中乃是强滤子所 S={以。由一个单字所构成的公式集在相等的意 成集合F的幂：=2F。 义下只包含4个公式： Stone拓扑表示定理说布尔代数B与中同构， B={0,P,p,1} 对有限布尔代数来说，就有下面的简化定理： B包含两个次小元p和一p,它们分别与两个 Stone简化定理任何一个n元布尔代数 极大强真滤子相对应：F,={p,1,F2={一p,1。 B=(B,V,八，)与集合代数P(U)=(2',U,∩，C)同构 所以，B的表现论域是U=(p,p)。2” 或、且、非的逻辑运算转化为集合的并、交、余运 pA(一p)=0p,ppV(p)=1。显然B与2"同构。 算。这里，U是B的表现论域。 例2设B是二元布尔代数具有双字集 证明命题2说明F与U是一一对应的。 S=p,q。由两个字所构成的公式集在相等的意 所以，根据Stone表示定理，2”与2、中、B之间也 义下包含16个公式： 都是一一对应的。B中公式的析取、合取、否定 B=(0.pq.p'q.pq'.p'g.pqv p'q=9, pqv pq'=p.pqv p'g',p'qv pq', 运算显然与U中集合的并、交、余运算同态。证毕。 p'qv p'q'=p.pq'vp'q=9, Stone简化定理把B的次小元集合U找出来， pqv p'qv p'q'=pqv p'. 用U中的元素当作变元x,用U的子集表示概念， pqvp'qv pq=qvpq', pqvp'qvp'q =pqvp'. 把B变成2“，实现了逻辑或、且、非与集合并、交、 pqv pq'v pq=pqv pqv pq', 余运算的统一。任何公式p都对应着一个集合P, p'qvpq'vp'q'=p'qvq. 叫做它的真集。谓词p(x)真当且仅当变元x进到 pqvp'qvp'q'v p'q'=1)
证明 因为平凡强滤子 B 有最小元 0，所以 只需对真强滤子进行证明。 任给一个真强滤子 F ，对它建立一个假定： F 中不存在最小元。 p1 ∈ F p2 ∈ F p2 < p1 p2 p3 ∈ F p3 < p2 B 任取 ，因它不是最小元，必有 ，使 得 。因 不是最小元，必有 ，使有 。如此继续下去形成一个 中的全序子 链，其长度可以大于任意给定的整数。但是有限 原始命题生成的公式不可能出现任意长的全序子 链，矛盾，可见假定错误。证毕。 显而易见，若 F 有最小元，则它在相等的意 义下是唯一的。 定义 2 强滤子的最小元叫做它的滤尾。 n B 命题 2 元布尔代数中真强滤子是极大的 充分必要条件是：它的滤尾是 中的次小元。 p p ′ F F ′ p p ′ 证明 下面将提到的 与 分别是真滤子 和 的滤尾。显然 与 都不是最小元 0。 F F ′ F p ′ < p ⇒ p ′ = 0 p B 是极大真强滤子当且仅当不存在另一个真 强滤子 包含 。这当且仅当 ( )， 亦即 是 中的次小元。证毕。 U n B U B 定义 3 记 为 元布尔代数 中次小元的 集合， 叫做布尔代数 的表现论域。 B ϕ F ϕ=2 F 表现论域是按照强滤子来定义的。强滤子所 具有的尾敛性是拓扑学中邻域系的典型特征。在 有限情形下，它保证了滤尾的存在，在无限情形 下保证了强滤子向一点的收缩。它始终保证强滤 子像一颗炮弹，在有限情形下有弹尖 (滤尾)，在无 限情形下有尖口 (极限点)。非强滤子由于没有尾 敛性，它就不是一个弹头而是多弹头的并。不难 证明， 中全体滤子所成的集合 乃是强滤子所 成集合 的幂: 。 Stone 拓扑表示定理说布尔代数 B 与 ϕ 同构， 对有限布尔代数来说，就有下面的简化定理： n B = (B,∨,∧,¬) P(U) = (2U ,∪,∩,C) U B Stone 简化定理 任何一个 元布尔代数 与集合代数 同构， 或、且、非的逻辑运算转化为集合的并、交、余运 算。这里， 是 的表现论域。 F U 2 U 2 F ϕ B B U 证明 命题 2 说明 与 是一一对应的。 所以，根据 Stone 表示定理， 与 、 、 之间也 都是一一对应的。 中公式的析取、合取、否定 运算显然与 中集合的并、交、余运算同态。证毕。 B U U x U B 2 U p P p(x) x Stone 简化定理把 的次小元集合 找出来， 用 中的元素当作变元 ，用 的子集表示概念， 把 变成 ，实现了逻辑或、且、非与集合并、交、 余运算的统一。任何公式 都对应着一个集合 ， 叫做它的真集。谓词 真当且仅当变元 进到 了集合 P 中。这一定理把难懂的 Stone 定理说得 简单明白而且说到本质。Stone 定理之所以重要， 就是因为它把事物是非的“是”等同于隶属的“属”， 这体现了概念内涵与外延的一致性，是任何逻辑体 系都必须满足的，哪一个逻辑体系不满足 Stone 定 理，哪一个逻辑体系就要被否决。因而，这个定理 成了检验新逻辑系统的一块试金石。而 Stone 定理 的核心是表现论域。王国俊先生和他的学生们的 工作之所以杰出，就是因为他们都明确地使用和定 义了各自的表现论域。 n B S = {p1, p2,··· , pn} n 命题 3 表现论域的构造。设 元布尔代数 的原子公式集是 ，则表现论域 的元素是一切可能出现的 字组： U = { x1 ∧ x2 ∧ ··· ∧ xn xj = pj或¬pj(j = 1,2,··· ,n) } a = x1 ∧ x2 ∧ ··· ∧ xn q < x1∧ x2 ∧ ··· ∧ xn a r q = r∧a 证明 给定 ，若有公式 ，则必有比 小的公式 ，使有 。 r b a y(1) ∧y(2) ∧ ··· y(k) y(j) = p(j) ¬p(j) j = 1,2,··· , k x(j) = y(j) b ⩾ a r ⩾ a j x(j) , y(j) n y(j) = ¬p(j) x(j) = ¬p(j) y(j) = p(j) x(j) ∧y(j) = 0 a∧b = 0 a∧r = 0 a D a∧r = 0 q = r∧a = 0 a 考虑 的析取范式，其中任何一项 都必须 是一个比 小的字组 ( 或 )。若对所有 ，都有 ， 则 从而 ，不合要求。故必有 使 ， 这时， 且 或者 且 ，必 有 ，从而 。任意字组都如此， 便有 。对任意比 小的 都有 ， 则 ，这说明 是次小元。 反之，设 a 是 B 的次小元，它的析取范式只 能包含一个字组。在这个字组中若缺少一项，则 必能找到一个比它小的元，这个元只需对它的缺 项安上一个字。证毕 B S = {p} 例 1 设 是一元布尔代数，具有单字集 。由一个单字所构成的公式集在相等的意 义下只包含 4 个公式： B = {0, p,¬p,1} p ¬p F1 = {p,1} F2 = {¬p,1} B 包含两个次小元 和 ，它们分别与两个 极大强真滤子相对应： ， 。 B U = (p,¬p) 2 U = {p∧(¬p) = 0, p,¬p, p∨(¬p) = 1} B 2 U 所以， 的表现论域是 。 l 。显然 与 同构。 B S = {p,q} 例 2 设 是二元布尔代数具有双字集 。由两个字所构成的公式集在相等的意 义下包含 16 个公式： B = {0, pq, p ′q, pq′ , p ′q ′ , pq∨ p ′q = q , pq∨ pq′ = p, pq∨ p ′q ′ , p ′q∨ pq′ , p ′q∨ p ′q ′ = p ′ , pq′ ∨ p ′q ′ = q ′ , pq∨ p ′q∨ p ′q ′ = pq∨ p ′ , pq∨ p ′q∨ pq′ = q∨ pq′ , pq∨ p ′q∨ p ′q ′ = pq∨ p ′ , pq∨ pq′ ∨ pq′ = pq∨ pq′ ∨ pq′ , p ′q∨ pq′ ∨ p ′q ′ = p ′q∨q ′ , pq∨ p ′q∨ p ′q ′ ∨ p ′q ′ = 1} ·846· 智 能 系 统 学 报 第 14 卷
第5期 汪培庄，等：因素表示的信息空间与广义概率逻辑 ·847· 这里，pq表示pA9,pq表示(p)A9,B含有4个 同一对象的原则。只有不同因素之间才可能产生 次小元p9、pq、P叫、Pg,它们分别对应于4个极 推理，因为它们可以附着在同一个对象上。不用 大真强滤子：F1={pq,P,4,1),F2={p4p,41, 因素句无法进行多变量的谓词演算。 F3=(pg,p,q,1,F4={pq,p',q,1。 我们希望搞辩证逻辑，辩证法的核心是要具 所以，B的表现论域是U={pq,pqpg,pq1, 体问题具体分析，什么是具体分析呢？就是要对 2"会生成与上面相同的16个公式显然。B与2 问题的内在和外在的因素进行分析。在谓词逻辑 同构。 中把变元进一步写成因素是逻辑发展的新机。 一般地说，若B是由n字集S={p1,P2,…,P} 逻辑是对事物的性质进行是非判断的科学， 所构成的布尔代数，则有2"个B的次小元构成表 它要离开具体事物的性质而抽象出是非判断的一 现论域U,此时，B包含2的2”次方个公式，与2” 般规律，但抽象离不开现实，要想使逻辑更加有 同构。 效地解决实际问题，需要开辟逻辑返回世界的接 从二值逻辑到多值逻辑，所有新的理论都要 口。表现论域U就是这个接口，它是变元活动的 推广Stone拓扑表现定理，这是考验新逻辑理论 空间。若把变元看作因素，U就是因素空间，以 的一块试金石。我们需要做什么工作呢？首先， 因素空间做表现论域的逻辑就是因素逻辑。 要去掉有限布尔代数的限制，使Stone简化定理 给定一个因素空间1F=(D,F={f,f,…,f),对 的面扩大，然后，要证明一个普适性的广义 于不同的因素f,其相值要采用彼此相区别的 Stone简化定理。若有一个能够一劳永逸地解决 符号。 Stone简化定理推广的理论，就可以加速新理论的 定义4在1上的二值因素逻辑系统L是 发展。比如，抓住U=S",当W={0,1)时Stone简 这样来规定的： 化定理成立，要证对任意W(三值、多值、连续 1)它的符号集是字集S=If)UIf)UI(f) 值)Stone简化定理都成立。对于模态逻辑，量词 加上符号1,0以及括号： 逻辑类似。 2)它的公式集F(S)是由S所生成的布尔代 23谓词演算中的变元争议与因素逻辑 数(F(S),V,A,),所有的字叫作原始公式； 在命题演算中我们曾经强调过，由我是中国 3)它的公理集是布尔逻辑的公理集再补充以 人推不出安倍是亚洲人。推理句中的前后两个命 下假设公理T: 题必须是同一个对象。在谓词逻辑中也应该坚持 「1字姓公理：称I(f)={1,x2,…,xx}中的字 同对象推理的原则，毫无联系的两个对象之间是 为第i家字。有 不能推理的。 xn VxV...ViK =1;=0();(negxak V 常会遇见下面的推理句：若气温高则降雨 {xxlk≠k}: 量大 「2背景公理：存在一个公式r∈F(S)叫作背 高→大例 景式，有p→pAr且pAr→pNp∈F(S),若系统 这里x与y分别表示气温和降雨量这两个不 Ly不指明r,则意味着r=1。 同的因素，是否违背推理的对象必须相同的原则 4)真值集是二值布尔代数W2:W2={0,1}= 呢？那要看这两个因素是否作用在同一对象上。 {0,1},V,A,}o 气温与降雨量必须是同一地区的。广州的气温高 5)推理规则：MP:{p,p→q-qo 不能推出黑龙江的降雨量大，x与y必须附着在 这个定义的意思是这样：任何逻辑系统都包 同一个地区。这里，x=x(d,y=y(d),只要归结到 含5个要素，即符号集S、公式集F(S)、公理集 相同的对象，变元都是d的函数，仍然符合同对 ∑、真值集W和推理规则（集）。逻辑系统可通过 象推理的原则。 附加一组公理，叫作假设公理集下而衍生出一个 变元x和y是这样的函数，它们都把对象映 子系统，在原系统中的定理都是子系统的定理， 射成属性或状态，这样的映射就是因素。因素在 而某些在原系统中不是定理的推理句中却可能变 数学上被定义成把对象映成属性的映射。所以， 成子系统的新定理，如果U中。这个子系统中 多变元推理中的变元必须是因素。 的定理叫作「-定理，如果满足强完满定理： 若对象是张三，如果他的智商x高，学习态度 y努力，则他的学习成绩z优异。这些不同变元 Tk中if=b 之间的推理，都是因素之间的因果推理，都符合 则这个子系统中的定理叫做强「-定理
pq p∧q p ′q (¬p)∧q,···B pq p ′q pq′ p ′q ′ F1 = {pq, p,q,1} F2 = {p ′q, p ′ ,q,1} F3 = {pq′ , p,q ′ ,1} F4 = {p ′q ′ , p ′ ,q ′ ,1} 这里， 表示 ， 表示 含有 4 个 次小元 、 、 、 ，它们分别对应于 4 个极 大真强滤子： , , , 。 U = {pq, p ′q, pq′ , p ′q ′ } 2 U 2 U 所以， B 的表现论域是 ， 会生成与上面相同的 16 个公式显然。B 与 同构。 B n S = {p1, p2,··· , pn} 2 n B U B 2 U 一般地说，若 是由 字集 所构成的布尔代数，则有 个 的次小元构成表 现论域 ，此时， 包含 2 的 2n 次方个公式，与 同构。 U = S W W = {0,1} W 从二值逻辑到多值逻辑，所有新的理论都要 推广 Stone 拓扑表现定理，这是考验新逻辑理论 的一块试金石。我们需要做什么工作呢？首先, 要去掉有限布尔代数的限制，使 Stone 简化定理 的面扩大，然后，要证明一个普适性的广 义 Stone 简化定理。若有一个能够一劳永逸地解决 Stone 简化定理推广的理论，就可以加速新理论的 发展。比如，抓住 ，当 时 Stone 简 化定理成立，要证对任意 (三值、多值、连续 值)Stone 简化定理都成立。对于模态逻辑，量词 逻辑类似。 2.3 谓词演算中的变元争议与因素逻辑 在命题演算中我们曾经强调过，由我是中国 人推不出安倍是亚洲人。推理句中的前后两个命 题必须是同一个对象。在谓词逻辑中也应该坚持 同对象推理的原则，毫无联系的两个对象之间是 不能推理的。 常会遇见下面的推理句：若气温高则降雨 量大 高 (x) → 大 (y) x y x y x = x(d) y = y(d) d 这里 与 分别表示气温和降雨量这两个不 同的因素，是否违背推理的对象必须相同的原则 呢？那要看这两个因素是否作用在同一对象上。 气温与降雨量必须是同一地区的。广州的气温高 不能推出黑龙江的降雨量大， 与 必须附着在 同一个地区。这里， ， ，只要归结到 相同的对象，变元都是 的函数，仍然符合同对 象推理的原则。 变元 x 和 y 是这样的函数，它们都把对象映 射成属性或状态，这样的映射就是因素。因素在 数学上被定义成把对象映成属性的映射。所以， 多变元推理中的变元必须是因素。 x y z 若对象是张三，如果他的智商 高，学习态度 努力，则他的学习成绩 优异。这些不同变元 之间的推理，都是因素之间的因果推理，都符合 同一对象的原则。只有不同因素之间才可能产生 推理，因为它们可以附着在同一个对象上。不用 因素句无法进行多变量的谓词演算。 我们希望搞辩证逻辑，辩证法的核心是要具 体问题具体分析，什么是具体分析呢？就是要对 问题的内在和外在的因素进行分析。在谓词逻辑 中把变元进一步写成因素是逻辑发展的新机。 U U 逻辑是对事物的性质进行是非判断的科学， 它要离开具体事物的性质而抽象出是非判断的一 般规律，但抽象离不开现实，要想使逻辑更加有 效地解决实际问题，需要开辟逻辑返回世界的接 口。表现论域 就是这个接口, 它是变元活动的 空间。若把变元看作因素， 就是因素空间，以 因素空间做表现论域的逻辑就是因素逻辑。 IF = (D,F = {f1, f2,··· , fn}) fj 给定一个因素空间 ，对 于不同的因素 ，其相值要采用彼此相区别的 符号。 定义 4 在 IF 上的二值因素逻辑系统 Lf 是 这样来规定的： 1）它的符号集是字集 S = I(f1)∪ I(f2)··· ∪ I(fn) 加上符号 1,0 以及括号； F(S ) S (F(S ),∨,∧,¬) 2) 它的公式集 是由 所生成的布尔代 数 ，所有的字叫作原始公式； Γ 3) 它的公理集是布尔逻辑的公理集再补充以 下假设公理 ： Γ1 I(fi) = {xi1, xi2,··· , xiK} i 字姓公理：称 中的字 为第 家字。有 xi1∨xi2∨···∨xiK = 1 xik∧xik′ = 0 (k , k ′ ) { negxik = ∨ { xik′ k ′ , k } } ； ； ； Γ2 r ∈ F(S ) p → p∧r 且 p∧r → p (∀p ∈ F(S )) Lf r r = 1 背景公理：存在一个公式 叫作背 景式，有 ，若系统 不指明 ，则意味着 。 W2 = {0,1} = {{0,1},∨,∧,¬} 4) 真值集是二值布尔代数 W2： 。 MP : {p, p → q} 5) 推理规则： −q。 S F(S ) ∑ W Γ ϕ Σ∪Γ⊢ϕ Γ− 这个定义的意思是这样：任何逻辑系统都包 含 5 个要素，即符号集 、公式集 、公理集 、真值集 和推理规则 (集)。逻辑系统可通过 附加一组公理，叫作假设公理集 而衍生出一个 子系统，在原系统中的定理都是子系统的定理， 而某些在原系统中不是定理的推理句 却可能变 成子系统的新定理，如果 。这个子系统中 的定理叫作 定理，如果满足强完满定理： Γ ⊢ ϕ iff Γ| = ϕ 则这个子系统中的定理叫做强 Γ− 定理。 第 5 期 汪培庄，等：因素表示的信息空间与广义概率逻辑 ·847·
·848· 智能系统学报 第14卷 L的假设公理是由两组公理给出。字姓 是p的真集，叫作p的有效真集。 公理「，强调字是因素的相，不同因素的字是不同 考虑推理句“若气温x高(P)则降雨量y大 姓的。字姓公理保证同姓字之间遵守布尔逻辑关 (Q)”,其中的x和y是两个不同的因素，它们的信 系。其中x秋Λ秋=0k≠)要求在每一字组中每 息空间记为X=I(x)和Y=Iy),P、Q分别是X、Y 家不许出两个以上的字，否则就出现矛盾。例 中的两个区间。要进行推理，必须对这两个区间 如，x=色红且色绿且质嫩且味鲜，就是一个矛盾 向二维空间XxY做柱体扩张，得到两个长条 式。相对于综合因素F而言，字是单因素的 P×Y和X×Q,记住实际有意义的论域是背景集 相，它是原始公式却不是最小相，字的合取 R,记P=(P×)nR和Q=(X×Q)nR。要想证明 x=心2…x才是最小相。例如，红、大、嫩、 “若p()则qy)”,必需有P二Q,这个包含关系 鲜分别是颜色、个子、质地、口感等4个因素的 一般是不会成立的，除非背景关系R把P^/Q(图1 相，它们都是字，都是原始公式，但都不代表因素 中带阴影的区域)完全排斥在其外部。 空间的原子内涵，它们的合取x=“红大嫩鲜”才 是一个原子内涵。 背景公理「2强调因素逻辑最重要的特征，这 PxO 就是背景关系。因素空间的背景是这样定义 R 的G:设(D,F={f,,…,f》是论域D上的因素空 间，对任意i=1,2,…,n,f:D→1f)={a,a2,…,ax, 这里指对象在第i因素下的第k种信息值 图1因素推理的直观模型 (相、属性或状态)k=1,2,…,),对最简因素布尔 Fig.1 Illustration of factorial reasoning 代数而言，K=2。一个因素不一定只有两相而可 非因素的布尔代数没有背景一说，所讨论的 能有多相，但无论是两相还是多相，a()都表示 背景R就是U本身。从因素空间的观点来看，因 逻辑真值，即u对a:的隶属度。f)叫作因素 素与因素之间是相互影响和制约的，这种关系就 的相域或信息空间。记 由背景集R来表示。如果所考虑的n个因素是独 I=Ifi)×I(f)×…×Ifn)= 立的它们的组态是完全自由的，则R=U;否则， aa,a12…,ar)a∈If0i=1,2,…,n）} 某些状态组合是不可能出现的，则R就不等于U 式中a叫作信息组态，若不存在d∈D,使 了。因素逻辑给逻辑带来的第一个礼物就是逻辑 f(d)=aoi=1,2,…,m),则称P=(P×)nR是一个 的背景。它使逻辑能够反映因素的相互影响，这 虚组态，否则称为一个原子信息。全体原子信息 种影响体现了逻辑运用的场景和环境。 的集合R形成I的一个子集，叫做因素空间的背 3结构一功能分析与语法-语用对接 景，它是诸因素信息空间的实际乘积空间。 为什么会有虚的信息组态呢？因为因素之间 布尔逻辑可以用电路来表现，每个字代表一 存在着相互联系与制约。譬如，气温与降雨量这 个电器开关。每一个n元公式都代表一个n开关 两个因素在平面的联合分布就形成一个背景集 的电路。等效的电路与布尔代数之间形成一种同 R,显示一种正变关系，极低气温不可能接受高降 构对应。这种对应叫作结构-功能对应。结构指 雨量。所以，（极低温，高降雨量）就是虚搭配，R 的是开关的线路结构，功能指的是逻辑的判别功 就不能容许虚搭配在其中出现，它只能包含像 能。等效的公式有很多，等效的线路也有很多， (低温，低降雨量)、（中温，中降雨量）、（高温，高降 经典的逻辑理论要研究最小化问题，就是根据一张 雨量)等这样一类信息组态。此时，R的几何形状 赋值表，从中找出一个公式使所对应的线路最 就被想象为一个泡胀了的上升曲线，反映气温与 简单。 降雨量之间呈一种正变的关系。 定义5若q→p=1则称q是p的蕴涵式。 背景关系R是背景公式r的真集。背景公理 若q是p的蕴涵式且在F(S)中不存在p的任何 强调，的特殊重要性：所有命题的真伪都只依赖 其他蕴涵式q>q,则称q是p的素蕴涵式。 于它在r的真集R之内的形象，与R外的形象无 命题4公式p的最小化是与它等效的一个 关。或者说，因素逻辑的公式集合是F,(S)= 析取范式，式中的每一项都是它的素蕴涵式。 {pArp∈F(S)。若P是公式p的真集，则PnR也 最小化理论将语法的结构和逻辑的语义功能
Lf Γ Γ1 xik ∧ xik′ = 0(k , k ′ ) x = F x = xi(1)xi(2) ··· xn(n) x = 的假设公理 是由两组公理给出。字姓 公理 强调字是因素的相，不同因素的字是不同 姓的。字姓公理保证同姓字之间遵守布尔逻辑关 系。其中 要求在每一字组中每 家不许出两个以上的字，否则就出现矛盾。例 如， 色红且色绿且质嫩且味鲜，就是一个矛盾 式。相对于综合因素 而言，字是单因素的 相，它是原始公式却不是最小相，字的合取 才是最小相。例如，红、大、嫩、 鲜分别是颜色、个子、质地、口感等 4 个因素的 相，它们都是字，都是原始公式，但都不代表因素 空间的原子内涵，它们的合取 “红大嫩鲜”才 是一个原子内涵。 Γ2 (D,F = {f1, f2,··· , fn}) D i = 1,2,··· ,n fi : D → I(fi) ={ai1,ai2,··· ,aiK} aik i k (k = 1,2,··· ,K) K = 2 aik(u) u aik I(fi) fi 背景公理 强调因素逻辑最重要的特征，这 就是背景关系。因素空间的背景是这样定义 的 [16−18] ：设 是论域 上的因素空 间，对任意 ， ， 这里 指对象在第 因素下的第 种信息值 (相、属性或状态) ，对最简因素布尔 代数而言， 。一个因素不一定只有两相而可 能有多相，但无论是两相还是多相， 都表示 逻辑真值，即 对 的隶属度。 叫作因素 的相域或信息空间。记 I = I(f1)× I(f2)× ··· × I(fn) = { a1(1),a1(2),··· ,an(n) aik ∈ I(fi)(i = 1,2,··· ,n) } a d ∈ D fi(d) = ai(i)(i = 1,2,··· ,n) P = (P×Y)∩R R I 式 中 叫作信息组态，若不存在 , 使 ，则称 是一个 虚组态，否则称为一个原子信息。全体原子信息 的集合 形成 的一个子集，叫做因素空间的背 景，它是诸因素信息空间的实际乘积空间。 R R R 为什么会有虚的信息组态呢？因为因素之间 存在着相互联系与制约。譬如，气温与降雨量这 两个因素在平面的联合分布就形成一个背景集 ，显示一种正变关系，极低气温不可能接受高降 雨量。所以，(极低温，高降雨量) 就是虚搭配， 就不能容许虚搭配在其中出现，它只能包含像 (低温，低降雨量)、(中温，中降雨量)、(高温，高降 雨量) 等这样一类信息组态。此时， 的几何形状 就被想象为一个泡胀了的上升曲线，反映气温与 降雨量之间呈一种正变的关系。 R r r r Fr (S ) = {p∧r|p ∈ F (S )} P p P∩R 背景关系 是背景公式 的真集。背景公理 强调 的特殊重要性：所有命题的真伪都只依赖 于它在 的真集 R 之内的形象，与 R 外的形象无 关。或者说，因素逻辑的公式集合是 。若 是公式 的真集，则 也 是 p 的真集，叫作 p 的有效真集。 x (P) y (Q) x y X = I(x) Y = I(y) P Q X Y X ×Y P×Y X × Q, R P = (P×Y)∩R Q ∧ = (X × Q)∩R p(x) q(y) P ∧ ⊆ Q ∧ R P ∧ /Q ∧ 考虑推理句“若气温 高 则降雨量 大 ”，其中的 和 是两个不同的因素，它们的信 息空间记为 和 ， 、 分别是 、 中的两个区间。要进行推理，必须对这两个区间 向二维空间 做柱体扩张，得到两个长条 和 记住实际有意义的论域是背景集 ，记 和 。要想证明 “若 则 ”，必需有 ，这个包含关系 一般是不会成立的，除非背景关系 把 (图 1 中带阴影的区域) 完全排斥在其外部。 X P Q Y P×Q R 图 1 因素推理的直观模型 Fig. 1 Illustration of factorial reasoning R U R n R = U R U 非因素的布尔代数没有背景一说，所讨论的 背景 就是 本身。从因素空间的观点来看，因 素与因素之间是相互影响和制约的，这种关系就 由背景集 来表示。如果所考虑的 个因素是独 立的它们的组态是完全自由的，则 ；否则， 某些状态组合是不可能出现的，则 就不等于 了。因素逻辑给逻辑带来的第一个礼物就是逻辑 的背景。它使逻辑能够反映因素的相互影响，这 种影响体现了逻辑运用的场景和环境。 3 结构−功能分析与语法−语用对接 n n 布尔逻辑可以用电路来表现，每个字代表一 个电器开关。每一个 元公式都代表一个 开关 的电路。等效的电路与布尔代数之间形成一种同 构对应。这种对应叫作结构−功能对应。结构指 的是开关的线路结构，功能指的是逻辑的判别功 能。等效的公式有很多，等效的线路也有很多， 经典的逻辑理论要研究最小化问题，就是根据一张 赋值表，从中找出一个公式使所对应的线路最 简单。 q → p = 1 q p q p F (S ) p q ′ > q q p 定义 5 若 则称 是 的蕴涵式。 若 是 的蕴涵式且在 中不存在 的任何 其他蕴涵式 ，则称 是 的素蕴涵式。 命题 4 公式 p 的最小化是与它等效的一个 析取范式，式中的每一项都是它的素蕴涵式。 最小化理论将语法的结构和逻辑的语义功能 ·848· 智 能 系 统 学 报 第 14 卷
第5期 汪培庄，等：因素表示的信息空间与广义概率逻辑 ·849· 有效地联系起来，意义重大。但是这种联系有一 都找不到的信息组态必是虚组合，不妨碍命题的 个前提，表现逻辑的电路开关必须相互独立。如 成立。 果开关之间存在着关联，或者，由于系统受到侵 极小化方法（新）： 蚀，两个开关在开时连通，在变元非独立的情况 1)将赋值表中所有不属于背景R的所有列去 下，逻辑的结构功能关系应当如何进行呢？例 掉，得到R子表； 如，给出下面一张三变元公式p的赋值表（见表1）。 2)将p=1的点集合而成正类，将p=0的点 表1公式p在U上的赋值表 集合而成反类： Table 1 The assignment table of formula p on U 3)逐一检查长度k=1的字组，若它在反类的 00001111 所有字组中都不出现，则它是p的一个素蕴涵 X2 0 0110011 式，从中删除它的所有蕴涵式，如此继续直到所 有单字都检查完毕； X3 0 01 0 0 4)字组长度k=k+1,重复3)，重复此过程， 0 0 0 1 直到正类字组被删尽。将T的所有素蕴涵式用 3个开关，每个开关有2种状态，搭配出8种 加号连接起来，就得到T的极小析取范式 组态，形成表现论域U,由于这3个开关都是独立 命题7用极小化方法所得到的是T的一个 的。U中8种搭配都用上了。现在，设想这3个 极小析取范式。 开关不是独立的，譬如：2和是等效的： 证明首先要证明算法一定有停止的时候， 2=3。在这种限制下，第二、三、六、七列的组态 亦即，正字类一定会被删尽。设{x是P的一 是不可能出现的，背景R只包含4种组态： 点。它一定不属于P。以它为真集的公式就是n R={0,0,0),(0,1.1),(1,0,0),(1,1,1)}, 字组x=xAx2A…Axmm。假设这一点没有在 注意，为了简单，我们在符号上有下列等价的 以前的比对中被删除，那么就对此n-字进行检 表示方法： 查，因为它不会在负类字组中出现，所以这个字 0,0,0)=(p)A(P2)A(P3)=,S1A2A=1S 组一定在正类的某个字组中出现，因而它就是 (0,1,1)=(一P1)Λ(p2)A(p3)=,x1AxA=x3 的一个蕴涵式，从而这个点就可被删除。这说 p1、p2和P3是B中的字，但字组中的字：既 明，任何正字都可在算法执行的过程中被删除。 可以是P:也可以是P。在做这张表的时候，由 所记下的每一字或字组都被P所包含，根据 于有4种状态是不能出现的，所以，经典的最小化 命题5，这个字或字组就是P的素蕴涵式。全 问题是无解的，因为赋值没有完全。但用因素逻 体素蕴涵式的析取就是P的极小析取范式。 辑，可以作功能结构分析如下： 证毕。 命题5若字组q蕴涵字组p,则q的字长必 例3以表1为例，给定R=(0,0,0),(0,1,1), 大于p的字长。 (1,0,0),(1,1,1),要把开关的线路结构寻找出来。 证明若字组g蕴涵字组p,则存在字组s 1)将赋值表中所有不属于背景R的所有列去 使q=pAs,且s不包含p中的字。于是q的字长 掉，得到R子表（见表2）。 是p与s的字长之和。证毕。 表2表1在R上的子表 命题6若字组q是蕴含p的最短字组。若 Table 2 The sub-table of table 1 on R 它不在蕴含一p的任何n字组中出现，则g是p的 X1 0 0 1 素蕴涵式。 1 证明若字组q不在蕴含p的任何n字组 0 0 中出现，则q的有效真集Q必在p的真集P之 3 0 0 内，从而有RnQCP,故q是p的蕴涵式。若有 0 q蕴含p,由于q是蕴含p的最短字组，故不可 2)将p=1的点集合而成正类，将p=0的点 能蕴涵9，故q是p的素蕴涵式。证毕。 集合而成反 当R=If)×I)×.×I(f)是包含所有信息 正类={x2,2x3,x123} 组态的完全空间，对R所作的任何分割，每一信 反类={x12x} 息组态x必在一方。当R≠I(F)时，对R分割的 3)逐一检查长度k=1的字组q,首先考虑 双方可能都找不到某些信息组态，但是这些双方 q=x,它不在反类的字组中出现，所以它是p的
p 有效地联系起来，意义重大。但是这种联系有一 个前提，表现逻辑的电路开关必须相互独立。如 果开关之间存在着关联，或者，由于系统受到侵 蚀，两个开关在开时连通，在变元非独立的情况 下，逻辑的结构功能关系应当如何进行呢？例 如，给出下面一张三变元公式 的赋值表（见表 1）。 表 1 公式 p 在 U 上的赋值表 Table 1 The assignment table of formula p on U x1 0 0 0 0 1 1 1 1 x2 0 0 1 1 0 0 1 1 x3 0 1 0 1 0 1 0 1 p 0 0 0 1 1 1 1 1 U U x2 x3 x2 = x3 R R = {(0,0,0),(0,1,1),(1,0,0),(1,1,1)} 3 个开关，每个开关有 2 种状态，搭配出 8 种 组态，形成表现论域 ，由于这 3 个开关都是独立 的。 中 8 种搭配都用上了。现在，设想这 3 个 开关不是独立的，譬如： 和 是等效的： 。在这种限制下，第二、三、六、七列的组态 是不可能出现的，背景 只 包 含 4 种组态： ， 注意，为了简单，我们在符号上有下列等价的 表示方法： (0,0,0) = (¬p1)∧(¬p2)∧(¬p3) =, x1 ∧ x2 ∧ x3 = x1 x2 x3 (0,1,1) = (¬p1)∧(p2)∧(p3) =, x1 ∧ x2 ∧ x3 = x1 x2 x3 p1 p2 p3 B xi pi ¬pi 、 和 是 中的字，但字组中的字 既 可以是 也可以是 。在做这张表的时候，由 于有 4 种状态是不能出现的，所以，经典的最小化 问题是无解的，因为赋值没有完全。但用因素逻 辑，可以作功能结构分析如下： q p q p 命题 5 若字组 蕴涵字组 ,则 的字长必 大于 的字长。 q p s q = p∧ s s p q p s 证明 若字组 蕴涵字组 ，则存在字组 使 ，且 不包含 中的字。于是 的字长 是 与 的字长之和。证毕。 q p ¬p n q p 命题 6 若字组 是蕴含 的最短字组。若 它不在蕴含 的任何 字组中出现，则 是 的 素蕴涵式。 q ¬p n q Q p P R∩ Q ⊆ P q p q ′ p q ′ p q ′ q q p 证明 若字组 不在蕴含 的任何 字组 中出现, 则 的有效真集 必在 的真集 之 内，从而有 ，故 是 的蕴涵式。若有 蕴含 ，由于 是蕴含 的最短字组，故 不可 能蕴涵 ，故 是 的素蕴涵式。证毕。 R = I(f1)× I(f2)×...× I(fn) R x R , I(F) R 当 是包含所有信息 组态的完全空间，对 所作的任何分割，每一信 息组态 必在一方。当 时，对 分割的 双方可能都找不到某些信息组态，但是这些双方 都找不到的信息组态必是虚组合，不妨碍命题的 成立。 极小化方法 (新)： R R 1) 将赋值表中所有不属于背景 的所有列去 掉，得到 子表； 2) 将 p = 1 的点集合而成正类, 将 p = 0 的点 集合而成反类; k = 1 p 3) 逐一检查长度 的字组, 若它在反类的 所有字组中都不出现，则它是 的一个素蕴涵 式，从中删除它的所有蕴涵式，如此继续直到所 有单字都检查完毕； k := k+1 T T 4) 字组长度 ，重复 3），重复此过程， 直到正类字组被删尽。将 的所有素蕴涵式用 加号连接起来，就得到 的极小析取范式 命题 7 用极小化方法所得到的是 T 的一个 极小析取范式。 {x} P P c n x = x1i(1) ∧ x2i(2) ∧ ··· ∧ xni(n) n− yi 证明 首先要证明算法一定有停止的时候， 亦即，正字类一定会被删尽。设 是 的一 点。它一定不属于 。以它为真集的公式就是 字组 。 假设这一点没有在 以前的比对中被删除，那么就对此 字进行检 查，因为它不会在负类字组中出现，所以这个字 组一定在正类的某个字组中出现，因而它就是 的一个蕴涵式，从而这个点就可被删除。这说 明，任何正字都可在算法执行的过程中被删除。 P P P 所记下的每一字或字组都被 所包含，根据 命题 5，这个字或字组就是 的素蕴涵式。全 体素蕴涵式的析取就是 的极小析取范式。 证毕。 R = ((0,0,0),(0,1,1), (1,0,0),(1,1,1)) 例 3 以表 1 为例，给定 , 要把开关的线路结构寻找出来。 R R 1) 将赋值表中所有不属于背景 的所有列去 掉，得到 子表（见表 2）。 表 2 表 1 在 R 上的子表 Table 2 The sub-table of table 1 on R x1 0 0 1 1 x2 0 1 0 1 x3 0 1 0 1 p 0 1 1 1 2) 将 p = 1 的点集合而成正类, 将 p = 0 的点 集合而成反类： 正类 = {x1 x2 x3, x1 x2 x3, x1 x2 x3} 反类 = {x1 x2 x3} k = 1 q q = x1 p 3) 逐一检查长度 的字组 ，首先考虑 ，它不在反类的字组中出现，所以它是 的 第 5 期 汪培庄，等：因素表示的信息空间与广义概率逻辑 ·849·
·850· 智能系统学报 第14卷 一个素蕴涵式.删去正类中含有x的所有点，得 确定的，要找A,就要看A在B之外的月亮，如果 正类={x1x2x3} 这个月亮在R之外，则逆向推理的任务就完成 继续考察单字组，q=x2,它也不在反类的字 了。否则，就是想法改变A使月亮尽量缩小到R 组中出现，所以它是p的一个素蕴涵式，删去正 之外。据此来建立算法。 类中含有的所有点。正类被删空，停止。 结论：p的最小化公式是p=x+x2,对应的线 路是开关p1和p2的并联。 l R 对于独立的3个开关来说，p=+的实 现线路是2与3先串联再与x1并联。但若以R 为背景，它们的结构和功能都发生了变化。R只 有4种组态，它意味着？与同相，这时最小化 公式就蜕化为一个二元公式了，线路更加简单。 这就是以R为背景的结构功能分析。 图2B在背景R下包含B:ASRB Fig.2 B containing A under background R:ACgB 这个例子引自文献[18]，该文最早把因素逻 辑的思想应用于故障检测，说明在变化的环境中 5泛逻辑前三连续算子对的数学证明 布尔逻辑是如何被辩证化地发挥其推理功能的。 机制主义人工智能强调语法、语用和语义的 泛逻辑把模糊数学出现以来所出现的多种连 全信息。全信息的核心是语义，而语义是语法和 续并、交算子对的定义用带参数的方式统一归纳 语用的结合体。所以，逻辑的结构-功能分析不 成为一套单一的运算。归纳的根基是4种极端的 仅是电路实现的实践问题，更是人工智能理论的 连续算子对，其中前3对算子为： 一个关键点。语法-一语用的结合都是在场景多变 l)Zadeh算子： 的非独立信息系统中来实现的。没有因素逻辑的 HAuB (x)=maxiua(x).ug(x)) 思想和框架，是很难面对这种挑战的。 AnB(x)=minla(x).uB(x) 2)概率算子： 4逻辑的目标驱动与逆向推理 HAUB (x)=A(x)+B(x)-HA(x)HB(x) HAUB(x)=HA(x)LB(x) 机制主义人工智能突出目标驱动，为智能服 3)有界和积算子： 务的逻辑也应该是目标驱动的。逻辑以推理的后 MAuB (x)=minlua(x)+ug(x),1] 件为目标。我们希望生活快乐()，怎样才能得到 HAnB (x)=max(a(x)+ug(x)-1.0) 快乐呢？我们要寻找一个事态p使p→q成立。 这3种算子在什么情形下适用，泛逻辑都有 在理论上，这是逆向推理的核心，在实践上这是 明文规定。这3套算子的选择，是需要数学来证 神经网络的本事。因素空间可以在这里做出 明的。 贡献。 所谓模糊性，就是概念外延的不确定性，以年 经典的布尔逻辑只有寻找真集能钻进Q的 轻这一概念为例，不同人或同一人在不同场景下 P。在实际应用中，前件不是凭空想象出来的，它 所报的年轻区间是不一样的。设有m份调查问 要靠机遇和选择。机遇往往太小，不合要求。但 卷，每份问卷上都答有一个区间。根据因素空间 因素逻辑就不同了。没有包含关系的两个集合， 的理论，论域D上的模糊性可以转化为幂2D上 在一定背景下可以变成包含。 的随机性，因而这些区间可被视为一个随机集 定义6如果AORSBOR,则称B在背景R 的样本。如图3所示，这组样本像是天上的云，云 下包含A,记作ACRB。 左端的竖线段就是基本空间2，其中的每一个点 命题8若RSR,则ACUB→ACRB→ACRB。 ω对应一个问卷，m个点均匀地分布在2中。在 在图2中，那个带阴影的月亮是我们的关注 不改变均匀分布的情况下，调换“的位置，再做 点。它是所有满足前件A而不满足目标B的点 点拆拼，让随机云从天上落下来变成年轻的隶属 所成之集。换句话说，所有推翻推理句的点全在 函数曲线：μ(d=n/m(n是覆盖年龄x的区间数 其中，所以这个月亮叫做推理的雷区。只要背景 目)。这就是模糊落影理论，它把隶属度定义为随 关系R不与雷区相交，则推理就恒真了。 机集的覆盖率。这样，我们就可把图3的下半部 我们的目标B已经定了，R也是客观环境所 看成是随机落影的简单模型
一个素蕴涵式，删去正类中含有 x1 的所有点，得 正类 = {x1 x2 x3} q = x2 p x2 继续考察单字组， ，它也不在反类的字 组中出现，所以它是 的一个素蕴涵式，删去正 类中含有 的所有点。正类被删空，停止。 p p = x1 + x2 p1 p2 结论： 的最小化公式是 ，对应的线 路是开关 和 的并联。 p = x1 + x2 x3 x2 x3 x1 R R x2 x3 R 对于独立的 3 个开关来说， 的实 现线路是 与 先串联再与 并联。但若以 为背景，它们的结构和功能都发生了变化。 只 有 4 种组态，它意味着 与 同相，这时最小化 公式就蜕化为一个二元公式了，线路更加简单。 这就是以 为背景的结构功能分析。 这个例子引自文献 [18], 该文最早把因素逻 辑的思想应用于故障检测，说明在变化的环境中 布尔逻辑是如何被辩证化地发挥其推理功能的。 机制主义人工智能强调语法、语用和语义的 全信息。全信息的核心是语义，而语义是语法和 语用的结合体。所以，逻辑的结构−功能分析不 仅是电路实现的实践问题，更是人工智能理论的 一个关键点。语法−语用的结合都是在场景多变 的非独立信息系统中来实现的。没有因素逻辑的 思想和框架，是很难面对这种挑战的[19]。 4 逻辑的目标驱动与逆向推理 (q) p → q 机制主义人工智能突出目标驱动，为智能服 务的逻辑也应该是目标驱动的。逻辑以推理的后 件为目标。我们希望生活快乐 ，怎样才能得到 快乐呢？我们要寻找一个事态 p 使 成立。 在理论上，这是逆向推理的核心，在实践上这是 神经网络的本事。因素空间可以在这里做出 贡献。 Q p 经典的布尔逻辑只有寻找真集能钻进 的 。在实际应用中，前件不是凭空想象出来的，它 要靠机遇和选择。机遇往往太小，不合要求。但 因素逻辑就不同了。没有包含关系的两个集合， 在一定背景下可以变成包含。 A∩R ⊆ B∩R B R A A⊆RB 定义 6 如果 ，则称 在背景 下包含 ，记作 。 R ′ 命题 8 若 ⊆ R ，则 A⊆U B ⇒ A⊆RB ⇒ A⊆R′B。 A B R 在图 2 中，那个带阴影的月亮是我们的关注 点。它是所有满足前件 而不满足目标 的点 所成之集。换句话说，所有推翻推理句的点全在 其中，所以这个月亮叫做推理的雷区。只要背景 关系 不与雷区相交，则推理就恒真了。 我们的目标 B 已经定了， R 也是客观环境所 A A B R A R 确定的，要找 ，就要看 在 之外的月亮，如果 这个月亮在 之外，则逆向推理的任务就完成 了。否则，就是想法改变 使月亮尽量缩小到 之外。据此来建立算法。 B R A R c U 图 2 B 在背景 R 下包含 B：A⊆RB Fig. 2 B containing A under background R: A⊆RB 5 泛逻辑前三连续算子对的数学证明 泛逻辑把模糊数学出现以来所出现的多种连 续并、交算子对的定义用带参数的方式统一归纳 成为一套单一的运算。归纳的根基是 4 种极端的 连续算子对, 其中前 3 对算子为： 1) Zadeh 算子： µA∪B (x) = max{µA (x), µB (x)} µA∩B (x) = min{µA (x), µB (x)} 2) 概率算子： µA∪B (x) =µA (x)+µB (x)−µA (x)µB (x) µA∪B (x) = µA (x)µB (x) 3) 有界和积算子： µA∪B (x) = min{µA (x)+µB (x),1} µA∩B (x) = max{µA (x)+µB (x)−1,0} 这 3 种算子在什么情形下适用，泛逻辑都有 明文规定。这 3 套算子的选择，是需要数学来证 明的。 m D 2 D ξ Ω ω m Ω ω µ(x) = n/m n x 所谓模糊性，就是概念外延的不确定性，以年 轻这一概念为例，不同人或同一人在不同场景下 所报的年轻区间是不一样的。设有 份调查问 卷，每份问卷上都答有一个区间。根据因素空间 的理论，论域 上的模糊性可以转化为幂 上 的随机性，因而这些区间可被视为一个随机集 的样本。如图 3 所示，这组样本像是天上的云，云 左端的竖线段就是基本空间 ，其中的每一个点 对应一个问卷， 个点均匀地分布在 中。在 不改变均匀分布的情况下，调换 的位置，再做 点拆拼，让随机云从天上落下来变成年轻的隶属 函数曲线： ( 是覆盖年龄 的区间数 目)。这就是模糊落影理论，它把隶属度定义为随 机集的覆盖率。这样，我们就可把图 3 的下半部 看成是随机落影的简单模型。 ·850· 智 能 系 统 学 报 第 14 卷
第5期 汪培庄，等：因素表示的信息空间与广义概率逻辑 ·851· 关时，它们之间的并、交运算必须取最大、最小 概率： HAUB(x)=max(HA(x).ug(x)) HAns (x)=min(A (x).ug(x)) 当两个概念的表现因素相互独立时，它们之 间的并、交运算必须取概率和与概率积： HAUB (x)=HA(x)+g(x)-HA(x)Xug(x) 20 HAnB (x)=HA(x)Xug(x) 图3模糊集是随机云的落影 当两个概念的表现因素是完全负相关时，它 Fig.3 A fuzzy set is the falling shadow of a random cloud 们之间的并、交运算必须取有界和与有界积： μAus(x)=min(a()+μs(),1) 模糊集A和B分别是截集A和B,的落影，其 HAnB (x)=max(HA(x)+us(x)-1.0) 中(1，s)是U=0,1]×[0,1]上的2维随机变量，具有 定理2是因素空间对泛逻辑前3个连续逻辑 均匀的边缘分布。图4左下方是D×D,其对角线 算子对的证明，所叙述的条件完全符合泛逻辑的 还是D,表示年龄域。对于D中的任意一点x,向 要求。定理2的证明见文献[20]，这一结果曾在 右交A的隶属曲线a于其高度5，向上交B的隶 1991横滨国际模糊系统协会议上宣读。定理2的 属曲线g于其高度1，这样在方块U中就确定了 证明是最早也是最严格的数学证明。定理1也给 一点(s,)。由这一点作十字架将U分成四块，左 出了在一般情况下隶属度的计算方法。其运算可 下方的矩形叫做交区，挖掉右上方的矩形后剩下 由因素背景分布唯一确定。明确指明了解决隶属 的三块矩形之并叫做并区。假设读者已经知道如 度运算的选择性困难的关键在于模糊概念背后的 何把因素空间背景集的概念随机化为背景分布 因素背景分布。 R,为节省篇幅，不在此赘述。 a,的 6结束语 (5.t) 因素空间是泛逻辑表现的空间和舞台，因素 空间为泛逻辑连续算子对的选择提供数学依据。 泛逻辑是因素空间表现的内核与指引。泛逻辑与 因素空间是逻辑与数学之间互相依靠的伙伴。 机制主义人工智能-泛逻辑-因素空间三者的 结合，可以为人工智能的统一机制从逻辑与数学 方面提供比较全面的研究。本文着重阐述了泛逻 图4模糊集的并、交运算 辑与因素空间之间存在着天然的联系，这样就保 Fig.4 Union and intersection of fuzzy sets 证了三结合理论的内在和谐与统一。 定理1隶属度运算的确定法则。给定U上 参考文献： 的背景分布密度r(s,0),则有 Lus(x)=4a(x)Aμs(x)=R(交区) [1]钟义信.高等人工智能原理：观念·方法·模型理论M, Ans()=4a(x)VμB(x)=R(并区) 北京：科学出版社，2014. 这里，R(C)表示背景分布R在区域C中的概 [2]何华灿.泛逻辑学原理M.北京：科学出版社，2001. 率：R(C)=Cr(s,)dsdt。 [3]LUKASIEWIEZ L.On three-valued logic[J].Ruch filozi- 证明μa(x)是随机集Ea对x的覆盖概率，它 faczny,.1920,5:170-171. 等于矩形(0，×0,1)所占有的概率。μs()是随 [4]ZADEH L A.Fuzzy sets[J].Information and control,1965, 8(3):338-353. 机集s对x的覆盖概率，等于矩形[O,1]×0,s所 [5]王国俊.计量逻辑学（①.工程数学学报，2006,23(2： 占有的概率。4a(x)As(x)=Hans(x)应当等于两矩形 191-215 之并(0，×[0,1]U([0,1]×[0,)所占有的概率。4a(x) WANG Guojun.Quantitative logic(I)[J].Chinese journal Vμs()=4Aus(x)应当等于在([0，×[0,1)U(0,1]× of engineering mathematics,2006,23(2):191-215. [0,)=并区中的联合背景概率。证毕。 [6]SCHWEIZER B,SKLAR A.Probabilistic metric 定理1的直观意思见图4。 spaces[M].New York:North Holland,1983. 定理2当两个概念的表现因素是完全正相 [7]周红军概率计量逻辑及其应用M.北京：科学出版社
图 3 模糊集是随机云的落影 Fig. 3 A fuzzy set is the falling shadow of a random cloud U = [0,1]×[0,1] D× D D D x A µA s B µB t U (s,t) R 模糊集 A 和 B 分别是截集 At 和 Bs 的落影，其 中（t，s）是 上的 2 维随机变量，具有 均匀的边缘分布。图 4 左下方是 ，其对角线 还是 ，表示年龄域。对于 中的任意一点 ，向 右交 的隶属曲线 于其高度 ，向上交 的隶 属曲线 于其高度 ，这样在方块 中就确定了 一点 。由这一点作十字架将 U 分成四块，左 下方的矩形叫做交区，挖掉右上方的矩形后剩下 的三块矩形之并叫做并区。假设读者已经知道如 何把因素空间背景集的概念随机化为背景分布 ，为节省篇幅，不在此赘述。 U r(s,t) 定理 1 隶属度运算的确定法则。给定 上 的背景分布密度 ，则有 µA∪B (x) = µA (x)∧µB (x) = R(交区) µA∩B (x) = µA (x)∨µB (x) = R(并区) R(C) R C R(C) = ! C r(s,t)dsdt 这里， 表示背景分布 在区域 中的概 率： 。 µA (x) ξA x ([0,t]×[0,1]) µB (x) ξB x [0,1]×[0,s] µA (x)∧µB (x) = µA∩B (x) ([0,s]×[0,1])∪([0,1]×[0,t]) µA (x) ∨µB (x) = µA∪B (x) ([0,s]×[0,1])∪([0,1]× [0,t]) = 证明 是随机集 对 的覆盖概率，它 等于矩形 所占有的概率。 是随 机集 对 的覆盖概率，等于矩形 所 占有的概率。 应当等于两矩形 之并 所占有的概率。 应当等于在 并区中的联合背景概率。证毕。 定理 1 的直观意思见图 4。 定理 2 当两个概念的表现因素是完全正相 关时，它们之间的并、交运算必须取最大、最小 概率： µA∪B (x) = max(µA (x), µB (x)) µA∩B (x) = min(µA (x), µB (x)) 当两个概念的表现因素相互独立时，它们之 间的并、交运算必须取概率和与概率积： µA∪B (x) = µA (x)+µB (x)−µA (x)×µB (x) µA∩B (x) = µA (x)×µB (x) 当两个概念的表现因素是完全负相关时，它 们之间的并、交运算必须取有界和与有界积： µA∪B (x) = min(µA (x)+µB (x),1) µA∩B (x) = max(µA (x)+µB (x)−1,0) 定理 2 是因素空间对泛逻辑前 3 个连续逻辑 算子对的证明，所叙述的条件完全符合泛逻辑的 要求。定理 2 的证明见文献 [20]，这一结果曾在 1991 横滨国际模糊系统协会议上宣读。定理 2 的 证明是最早也是最严格的数学证明。定理 1 也给 出了在一般情况下隶属度的计算方法。其运算可 由因素背景分布唯一确定。明确指明了解决隶属 度运算的选择性困难的关键在于模糊概念背后的 因素背景分布。 6 结束语 因素空间是泛逻辑表现的空间和舞台，因素 空间为泛逻辑连续算子对的选择提供数学依据。 泛逻辑是因素空间表现的内核与指引。泛逻辑与 因素空间是逻辑与数学之间互相依靠的伙伴。 机制主义人工智能−泛逻辑−因素空间三者的 结合，可以为人工智能的统一机制从逻辑与数学 方面提供比较全面的研究。本文着重阐述了泛逻 辑与因素空间之间存在着天然的联系，这样就保 证了三结合理论的内在和谐与统一。 参考文献： 钟义信. 高等人工智能原理: 观念•方法•模型•理论 [M]. 北京: 科学出版社, 2014. [1] [2] 何华灿. 泛逻辑学原理 [M]. 北京: 科学出版社, 2001. LUKASIEWIEZ L. On three-valued logic[J]. Ruch filozifaczny, 1920, 5: 170–171. [3] ZADEH L A. Fuzzy sets[J]. Information and control, 1965, 8(3): 338–353. [4] 王国俊. 计量逻辑学 (I)[J]. 工程数学学报, 2006, 23(2): 191–215. WANG Guojun. Quantitative logic (I)[J]. Chinese journal of engineering mathematics, 2006, 23(2): 191–215. [5] SCHWEIZER B, SKLAR A. Probabilistic metric spaces[M]. New York: North Holland, 1983. [6] [7] 周红军. 概率计量逻辑及其应用 [M]. 北京: 科学出版社, 图 4 模糊集的并、交运算 Fig. 4 Union and intersection of fuzzy sets 第 5 期 汪培庄，等：因素表示的信息空间与广义概率逻辑 ·851·
·852· 智能系统学报 第14卷 2015 Journal of Dalian Jiaotong University,2016,37(1): [8]王国俊.一类一阶逻辑公式中的公理化真度理论及其应 82-87. 用).中国科学：信息科学，2012,42(5)：648-662 [19]汪培庄.因素空间理论：机制主义人工智能理论的数学 WANG Guojun.Axiomatic theory of truth degree for a 基础.智能系统学报，2018.13(1)：37-54 class of first-order formulas and its application[J].China WANG Peizhuang.Factor space-mathematical basis of science information,2012,42(5):648-662. mechanism based artificial intelligence theory[J].CAAl [9]裴道武.基于三角模的模糊逻辑理论及其应用[M.北 transactions on intelligent systems,2018,13(1):37-54. 京：科学出版社.2013. [10]张小红.模糊逻辑及其代数分析[M.北京：科学出版 [20]汪培庄.模糊数学与优化[M.北京：北京师范大学出版 社，2013 社.2008. [11]张小红，折延宏.模糊量词及其积分语义M.北京：科 作者简介： 学出版社.2017. 汪培庄，男，1936年生，教授，博 [12]XU Yang,QIN Keyun,RUAN Da,et al.Lattice-valued 士生导师，主要研究方向为模糊数学 logic:an alternative approach to treat fuzziness and in- 及其在人工智能中的应用。提出和创 comparability [M].Berlin,Heidelberg:Springer,2003. 立了模糊集的随机落影表示、真值流 [13]ZADEH L A.Fuzzy sets as a basis for a theory of possib- 推理和因素空间等数学理论。获得国 家级和部委级奖励多项、国际奖 ility[Jl.Fuzzy sets and systems,1978,1(1):3-28. 1项。发表学术论文200余篇，出版 [14]汪培庄，SUGENO M.因素场与模糊集的背景结构. 学术著作4部。 模糊数学，1982(2：45-54。 WANG Peizhuang,SUGENO M.The factors field and 周红军男.1980年生教授博士生 background structure for fuzzy set[J].Fuzzy mathematics, 导师，博土，主要研究方向为序代数与 1982(2):45-54 逻辑、不确定性数学。先后主持国家、 [15]汪培庄.模糊集与随机集落影M北京：北京师范大学 省、部级科学基金5项。发表学术论 文40余篇，出版专著2部。 出版社.1985 [16]STONE M H.The theory of representation for Boolean algebras[J].Transactions of the American mathematical society,.1936,40(1):37-111 何华灿，男，1938年生，教授，博 士生导师，主要研究方向为计算机科 [17]DAVEY B A,PRIESTLEY H A.Introduction to lattices 学和人工智能基础理论，创立泛逻辑 and order[M].Cambridge:Cambridge University Press, 理论和柔性神经元原理，近期主要研 1990. 究广义概率论和数理辩证逻辑及其在 [18]崔铁军，汪培庄，马云东.01型空间故障树的结构化表 智能信息处理中的应用。主持完成国 示方法).大连交通大学学报，2016,37(1)：82-87. 家和省部级自然科学基金8项，获得 CUE Tiejun,WANG Peizhuang,MA Yundong.Struc- 省部级科技进步奖9项。发表学术论文160余篇，出版专 tured representation methods for 01 space fault tree[J]. 著9部
2015. 王国俊. 一类一阶逻辑公式中的公理化真度理论及其应 用 [J]. 中国科学: 信息科学, 2012, 42(5): 648–662. WANG Guojun. Axiomatic theory of truth degree for a class of first-order formulas and its application[J]. China science information, 2012, 42(5): 648–662. [8] 裴道武. 基于三角模的模糊逻辑理论及其应用 [M]. 北 京: 科学出版社, 2013. [9] 张小红. 模糊逻辑及其代数分析 [M]. 北京: 科学出版 社, 2008. [10] 张小红, 折延宏. 模糊量词及其积分语义 [M]. 北京: 科 学出版社, 2017. [11] XU Yang, QIN Keyun, RUAN Da, et al. Lattice-valued logic: an alternative approach to treat fuzziness and incomparability[M]. Berlin, Heidelberg: Springer, 2003. [12] ZADEH L A. Fuzzy sets as a basis for a theory of possibility[J]. Fuzzy sets and systems, 1978, 1(1): 3–28. [13] 汪培庄, SUGENO M. 因素场与模糊集的背景结构 [J]. 模糊数学, 1982(2): 45–54. WANG Peizhuang, SUGENO M. The factors field and background structure for fuzzy set[J]. Fuzzy mathematics, 1982(2): 45–54. [14] 汪培庄. 模糊集与随机集落影 [M]. 北京: 北京师范大学 出版社, 1985. [15] STONE M H. The theory of representation for Boolean algebras[J]. Transactions of the American mathematical society, 1936, 40(1): 37–111. [16] DAVEY B A, PRIESTLEY H A. Introduction to lattices and order[M]. Cambridge: Cambridge University Press, 1990. [17] 崔铁军, 汪培庄, 马云东. 01 型空间故障树的结构化表 示方法 [J]. 大连交通大学学报, 2016, 37(1): 82–87. CUE Tiejun, WANG Peizhuang, MA Yundong. Structured representation methods for 01 space fault tree[J]. [18] Journal of Dalian Jiaotong University, 2016, 37(1): 82–87. 汪培庄. 因素空间理论: 机制主义人工智能理论的数学 基础 [J]. 智能系统学报, 2018, 13(1): 37–54. WANG Peizhuang. Factor space-mathematical basis of mechanism based artificial intelligence theory[J]. CAAI transactions on intelligent systems, 2018, 13(1): 37–54. [19] 汪培庄. 模糊数学与优化 [M]. 北京: 北京师范大学出版 社, 2013. [20] 作者简介： 汪培庄，男，1936 年生，教授，博 士生导师，主要研究方向为模糊数学 及其在人工智能中的应用。提出和创 立了模糊集的随机落影表示、真值流 推理和因素空间等数学理论。获得国 家级和部委级奖励多项、国际 奖 1 项。发表学术论文 200 余篇，出版 学术著作 4 部。 周红军,男,1980 年生,教授,博士生 导师,博士,主要研究方向为序代数与 逻辑、不确定性数学。先后主持国家、 省、部级科学基金 5 项。发表学术论 文 40 余篇,出版专著 2 部。 何华灿，男，1938 年生，教授，博 士生导师，主要研究方向为计算机科 学和人工智能基础理论，创立泛逻辑 理论和柔性神经元原理，近期主要研 究广义概率论和数理辩证逻辑及其在 智能信息处理中的应用。主持完成国 家和省部级自然科学基金 8 项，获得 省部级科技进步奖 9 项。发表学术论文 160 余篇，出版专 著 9 部。 ·852· 智 能 系 统 学 报 第 14 卷