第14卷第5期 智能系统学报 Vol.14 No.5 2019年9月 CAAI Transactions on Intelligent Systems Sep.2019 D0:10.11992/tis.201810022 网络出版地址：http:/kns.cnki.net/kcms/detail/23.1538.tp.20190530.1036.002.html 偏联系数的计算与应用研究 杨红梅，赵克勤2 (1.山西广播电视大学成人教育学院，山西太原030027,2.诸暨市联系数学研究所，浙江诸暨311800) 摘要：偏联系数是联系数的一种伴随函数，其计算过程反映出联系数的联系分量在各个微观层次上的“矛盾 运动”，计算结果指示出这种“矛盾运动”的阶段性结果，是“系统宏观状态与微观趋势多层分析法”的主要数学 工具。本文系统阐述常用的二元至五元联系数的偏联系数算法和若干新思路，并从智能技术创新和信息能开 发利用等角度指出偏联系数算法是一种新的智能算法。 关键词：集对分析：联系数；多元联系数；偏联系数：全偏联系数；系统微观运动：多层分析法；信息能 中图分类号：TP311 文献标志码：A文章编号：1673-4785(2019)05-0865-12 中文引用格式：杨红梅，赵克勤.偏联系数的计算与应用研究1.智能系统学报，2019,14(5)：865-876. 英文引用格式：YANG Hongmei,.ZHAO Kegin..The calculation and application of partial connection numbers J.CAAI transac-. tions on intelligent systems,2019,14(5):865-876. The calculation and application of partial connection numbers YANG Hongmei,ZHAO Keqin' (1.Adult Education College,Shanxi Radio and TV University,Taiyuan 030027,China;2.Institut of Zhuji Connection Mathematics, Z乙huji311800,China) Abstract:Partial connection numbers(PCNs)are a kind of adjoint function of connection numbers.Their computation- al process reflects a paradoxical movement on the micro level,and the result indicates that the phase result of such para- doxical movement is the main mathematical tool of the multi-layer approximation method of macro-state and micro- trend.This paper also systematically expounds the commonly used PCN algorithms from 2-to 5-element connection numbers and some ideas and establishes that the PCN algorithm is an intelligent algorithm from the aspects of intelli- gent technology innovation and information energy development and utilization. Keywords:set pair analysis;connection number;multi-connection number;partial connection number,full partial con- nection number;micro motion of system;multi-layer analysis method;information energy 联系数是赵克勤在集对分析理论中给出的一 技术预警9、教育评估50、网络舆情传播、建筑 种新颖结构函数，具有“数与系统合一”特点。借 供应链风险管理1、卫生统计5]、系统风险分 助联系数进行数学建模，结合系统的不确定性分 析s)、隐私保护5)等领域得到应用。最近，文 析，使集对分析在处理不确定性问题中得到广泛 献[56]建立一种融合偏联系数模糊聚类(PCFCM) 应用-4。偏联系数是联系数的一种伴随函数， 算法和教与学随机森林(TLRF)算法的雷达调制 也是基于集对分析的“系统状态-趋势分析法”的 信号分选新模型(PCFCM-TLRF),仿真实验结果 主要数学工具，自赵克勤于2005年提出以来2叫 显示，与其他分选模型相比，PCFCM-TLRF模型 已在飞机维修、地铁施工、隧道施工)、矿山 具有更高的分选准确度，能够有效地实现雷达调 过程安全四、火灾预防阿、水文水资源、区域创新阀 制信号的分选。 但由于文献「42]所在出版物不是学术期刊， 收稿日期：2018-10-19.网络出版日期：2019-06-04. 基金项目：山西省高等学校科技创新项目(201804044). 传播上有一定局限，致使相当一部分应用偏联系 通信作者：赵克勤.E-mail:zjzhaok@sohu.com 数的学者看不到文献[42]。为此，本文对偏联系
DOI: 10.11992/tis.201810022 网络出版地址: http://kns.cnki.net/kcms/detail/23.1538.tp.20190530.1036.002.html 偏联系数的计算与应用研究 杨红梅1 ，赵克勤2 （1. 山西广播电视大学 成人教育学院，山西 太原 030027; 2. 诸暨市联系数学研究所，浙江 诸暨 311800） 摘 要：偏联系数是联系数的一种伴随函数，其计算过程反映出联系数的联系分量在各个微观层次上的“矛盾 运动”，计算结果指示出这种“矛盾运动”的阶段性结果，是“系统宏观状态与微观趋势多层分析法”的主要数学 工具。本文系统阐述常用的二元至五元联系数的偏联系数算法和若干新思路，并从智能技术创新和信息能开 发利用等角度指出偏联系数算法是一种新的智能算法。 关键词：集对分析；联系数；多元联系数；偏联系数；全偏联系数；系统微观运动；多层分析法；信息能 中图分类号：TP311 文献标志码：A 文章编号：1673−4785(2019)05−0865−12 中文引用格式：杨红梅, 赵克勤. 偏联系数的计算与应用研究 [J]. 智能系统学报, 2019, 14(5): 865–876. 英文引用格式：YANG Hongmei, ZHAO Keqin. The calculation and application of partial connection numbers[J]. CAAI transactions on intelligent systems, 2019, 14(5): 865–876. The calculation and application of partial connection numbers YANG Hongmei1 ，ZHAO Keqin2 (1. Adult Education College, Shanxi Radio and TV University, Taiyuan 030027, China; 2. Institut of Zhuji Connection Mathematics, Zhuji 311800, China) Abstract: Partial connection numbers (PCNs) are a kind of adjoint function of connection numbers. Their computational process reflects a paradoxical movement on the micro level, and the result indicates that the phase result of such paradoxical movement is the main mathematical tool of the multi-layer approximation method of macro-state and microtrend. This paper also systematically expounds the commonly used PCN algorithms from 2- to 5-element connection numbers and some ideas and establishes that the PCN algorithm is an intelligent algorithm from the aspects of intelligent technology innovation and information energy development and utilization. Keywords: set pair analysis; connection number; multi-connection number; partial connection number; full partial connection number; micro motion of system; multi-layer analysis method; information energy 联系数是赵克勤在集对分析理论中给出的一 种新颖结构函数，具有“数与系统合一”特点。借 助联系数进行数学建模，结合系统的不确定性分 析，使集对分析在处理不确定性问题中得到广泛 应用[1– 41]。偏联系数是联系数的一种伴随函数， 也是基于集对分析的“系统状态–趋势分析法”的 主要数学工具，自赵克勤于 2005 年提出以来[42] ， 已在飞机维修[43] 、地铁施工[44] 、隧道施工[45] 、矿山 过程安全[32] 、火灾预防[46] 、水文水资源[47] 、区域创新[48] 、 技术预警[49] 、教育评估[50] 、网络舆情传播[51] 、建筑 供应链风险管理[ 5 2 ] 、卫生统计[ 5 3 ] 、系统风险分 析 [ 5 4 ] 、隐私保护[ 5 5 ] 等领域得到应用。最近，文 献 [56] 建立一种融合偏联系数模糊聚类 (PCFCM) 算法和教与学随机森林 (TLRF) 算法的雷达调制 信号分选新模型 (PCFCM-TLRF)，仿真实验结果 显示，与其他分选模型相比，PCFCM-TLRF 模型 具有更高的分选准确度，能够有效地实现雷达调 制信号的分选。 但由于文献 [42] 所在出版物不是学术期刊， 传播上有一定局限，致使相当一部分应用偏联系 数的学者看不到文献 [42]。为此，本文对偏联系 收稿日期：2018−10−19. 网络出版日期：2019−06−04. 基金项目：山西省高等学校科技创新项目 (201804044). 通信作者：赵克勤. E-mail：zjzhaok@sohu.com. 第 14 卷第 5 期 智 能 系 统 学 报 Vol.14 No.5 2019 年 9 月 CAAI Transactions on Intelligent Systems Sep. 2019
·866· 智能系统学报 第14卷 数的计算与应用研究作一梳理，以促进集对分析 盾运动，运动结果决定这个联系数的系统结构在 和偏联系数在人工智能等领域中的进一步应用。 微观层次上的演化趋势，该演化趋势与同一联系 数的联系分量在宏观层次上的演化态势可能相 1联系数及其联系分量的示性系数 同，可能相异，可能相反。 由文献[19]知，联系数最早由赵克勤在解读 显然，以上假定符合哲学关于事物处于运动 集合论罗素悖论时给出，至今已有不同的表达形 和变化之中的思想，也是不少文献中的实例验 式，其中常用的二元到五元归一化联系数为 证，因此也称为联系数中联系分量的微观运动原 u=a+bi (1) 理或矛盾运动原理，不致误解时，简称联系数微 H=a+bi+cj (2) 观运动原理。研究表明，联系数的微观运动原理 μ=a+bi+cj+d (3) 就是偏联系数原理。 μ=a+bi+cj+dk+el (4) 2.2二元联系数的偏联系数 式中：a、b、c、d、e统称为联系数u的联系分量， 由式(1)知，二元联系数μ=a+bi中的a处 a,b,c,d,e∈[0,1]，且对式(1)有a+b=1,对式(2)有 在+1层次，b处在具有不确定性的[-1,1]层次，根 a+b+c=1,对式(3)有a+b+c+d=1,对式(4)有 据联系数中联系分量的运动原理，可以假定当前 a+b+c+d+e=1的归一化约束。每一个联系分 的a原本也处在b层次，是从b层次朝正向提高 量的系数称为该联系分量的示性系数，显然联系 而来，为此用a+b作分母，a作分子，a/(a+b)作 数μ中第一个联系分量（首项）的示性系数是+1， 为正向演化率，记 同时规定联系数“中最末一个联系分量（末项）的 da=a/(a+b) (6) 示性系数是-1，位于首项与末项之间的其他联系 则称式(6)为二元联系数μ=a+bi中联系分量a 分量都具有不确定性，这些联系分量的不确定性 的一阶偏正联系数；由于二元联系数只有2个联 通过它们的示性系数i等在给定区间取不同数值 系分量，所以a同时又是二元联系数4的一阶 加以体现，见式（⑤）： 偏正联系数，若记μ的一阶偏正联系数为4，则 1 aμ=aa (7) [-1,1] 也就是： [-1,11 [-1] (5) (8) [0,11 [-1,0] 8'u=d(a+bi)=al(a+b)=0'a 「-1] 11 [0.33,1][-0.33,0.33][-1,-0.33 因此有定义1： 但式(5)给出的是式(1)~(4)中联系分量示 定义1设有二元联系数4=a+bi,a∈[0,1]， 性系数i、j、k在【-1,1]大区间取值作均匀分布假 b∈[0,1]，a+b=1,i∈[-1,1，则记 定条件下的值域，这些i、k在给定小区间中取 8μ=8(a+bi=a/(a+b) (9) 何值仍要根据联系分量本身的不同情况才能确 式(9)为二元联系数u=a+bi的一阶偏正联系数。 定，这是联系数的一个重要特点，也是对联系数 另一方面，根据集对分析的“成对原理”（事物 开展系统分析的一个难点，如何消去这些不确定 或概念都是成对存在)和联系数中联系分量的微 取值的示性系数，得出联系数系统在微观层次上 观运动原理，可以假定当前的b原本也处在α层 的演化趋势，已成为集对分析理论研究中的一个 次，是从a层次朝正负不定（相对于完全确定 热点，后面要讨论的偏联系数算法就是针对这一 的+1层偏负)演化而来，为此用a+b作分母，用b 难点作出的探索。 作分子，用b1(a+b)作为演化率，记 8b=b/(a+b) (10) 2偏联系数 则称式(10)为二元联系数u=a+bi中联系分量b 的一阶偏负联系数；由于二元联系数只有2个联 2.1基本原理 系分量，所以这个b同时又是二元联系数μ的 偏联系数主要依据联系数的假定提出：假定 一阶偏负联系数，若记μ的一阶偏负联系数为 联系数中当前处在较低（负、偏负、正负不定）层 04,并考虑到式(10)中作为分子的b是当前的 次和较高（正、偏正）层次的联系分量存在由低 b,具有不确定性，按式(1)做法，应当用一个 (负、偏负、正负不定)到高（正、偏正）的正向层次 i∈[-1,1]作为b的示性系数以说明其不确定性， 迁移，同时又存在由高（正、偏正）到低（负、偏 式(10)分母中的b因在a层次，应当与a同等看 负、正负不定)的负向层次迁移，这些联系分量之 待，没有不确定性，所以有： 间相互对立的层次及其迁移构成联系数的系统结 8μ=i0b (11) 构（由联系分量组成的结构）在微观层次上的矛 也就是：
数的计算与应用研究作一梳理，以促进集对分析 和偏联系数在人工智能等领域中的进一步应用。 1 联系数及其联系分量的示性系数 由文献 [19] 知，联系数最早由赵克勤在解读 集合论罗素悖论时给出，至今已有不同的表达形 式，其中常用的二元到五元归一化联系数为 µ = a+bi (1) µ = a+bi+c j (2) µ = a+bi+c j+d (3) µ = a+bi+c j+dk+el (4) µ a,b, c,d, e ∈ [0,1] a+b = 1 a+b+c = 1 a+b+c+d = 1 a+b+c+d +e = 1 µ µ i 式中：a、b、c、d、e 统称为联系数 的联系分量， ，且对式 (1) 有 ，对式 (2) 有 ，对式 (3) 有 ，对式 (4) 有 的归一化约束。每一个联系分 量的系数称为该联系分量的示性系数，显然联系 数 中第一个联系分量 (首项) 的示性系数是+1， 同时规定联系数 中最末一个联系分量 (末项) 的 示性系数是−1，位于首项与末项之间的其他联系 分量都具有不确定性，这些联系分量的不确定性 通过它们的示性系数 等在给定区间取不同数值 加以体现，见式 (5)： 1 i j k l 1 [−1,1] 1 [−1,1] [−1] 1 [0,1] [−1,0] [−1] 1 [0.33,1] [−0.33,0.33] [−1,−0.33] −1 (5) i、j、k 但式 (5) 给出的是式 (1)～(4) 中联系分量示 性系数 i、j、k 在 [−1，1] 大区间取值作均匀分布假 定条件下的值域，这些 在给定小区间中取 何值仍要根据联系分量本身的不同情况才能确 定，这是联系数的一个重要特点，也是对联系数 开展系统分析的一个难点，如何消去这些不确定 取值的示性系数，得出联系数系统在微观层次上 的演化趋势，已成为集对分析理论研究中的一个 热点，后面要讨论的偏联系数算法就是针对这一 难点作出的探索。 2 偏联系数 2.1 基本原理 偏联系数主要依据联系数的假定提出：假定 联系数中当前处在较低 (负、偏负、正负不定) 层 次和较高 (正、偏正) 层次的联系分量存在由低 (负、偏负、正负不定) 到高 (正、偏正) 的正向层次 迁移，同时又存在由高 (正、偏正) 到低 (负、偏 负、正负不定) 的负向层次迁移，这些联系分量之 间相互对立的层次及其迁移构成联系数的系统结 构 (由联系分量组成的结构) 在微观层次上的矛 盾运动，运动结果决定这个联系数的系统结构在 微观层次上的演化趋势，该演化趋势与同一联系 数的联系分量在宏观层次上的演化态势可能相 同，可能相异，可能相反。 显然，以上假定符合哲学关于事物处于运动 和变化之中的思想，也是不少文献中的实例验 证，因此也称为联系数中联系分量的微观运动原 理或矛盾运动原理，不致误解时，简称联系数微 观运动原理。研究表明，联系数的微观运动原理 就是偏联系数原理。 2.2 二元联系数的偏联系数 µ = a+bi a b [−1,1] a b b a+b a a/ (a+b) 由式 (1) 知，二元联系数 中的 处 在+1 层次， 处在具有不确定性的 层次，根 据联系数中联系分量的运动原理，可以假定当前 的 原本也处在 层次，是从 层次朝正向提高 而来，为此用 作分母， 作分子， 作 为正向演化率，记 ∂ + a = a/ (a+b) (6) µ = a+bi a ∂ +a µ µ ∂ +µ 则称式 (6) 为二元联系数 中联系分量 的一阶偏正联系数；由于二元联系数只有 2 个联 系分量，所以 同时又是二元联系数 的一阶 偏正联系数，若记 的一阶偏正联系数为 ，则 ∂ + µ = ∂ + a (7) 也就是： ∂ + µ = ∂ + (a+bi) = a/(a+b) = ∂ + a (8) 因此有定义 1： µ = a+bi a ∈ [0,1] b ∈ [0,1] a+b = 1 i ∈ [−1,1] 定义 1 设有二元联系数 ， ， ， ， ，则记 ∂ + µ = ∂ + (a+bi) = a/(a+b) (9) 式 (9) 为二元联系数 µ = a+bi 的一阶偏正联系数。 b a a a+b b b/ (a+b) 另一方面，根据集对分析的“成对原理”(事物 或概念都是成对存在) 和联系数中联系分量的微 观运动原理，可以假定当前的 原本也处在 层 次，是从 层次朝正负不定 (相对于完全确定 的+1 层偏负) 演化而来，为此用 作分母，用 作分子，用 作为演化率，记 ∂ − b = b/ (a+b) (10) µ = a+bi b ∂ −b µ µ ∂ −µ b b i ∈ [−1,1] b b a a 则称式 (10) 为二元联系数 中联系分量 的一阶偏负联系数；由于二元联系数只有 2 个联 系分量，所以这个 同时又是二元联系数 的 一阶偏负联系数，若记 的一阶偏负联系数为 ，并考虑到式 (10) 中作为分子的 是当前的 ，具有不确定性，按式 (1) 做法，应当用一个 作为 的示性系数以说明其不确定性， 式 (10) 分母中的 因在 层次，应当与 同等看 待，没有不确定性，所以有： ∂ − µ = i∂ − b (11) 也就是： ·866· 智 能 系 统 学 报 第 14 卷
第5期 杨红梅，等：偏联系数的计算与应用研究 ·867· ou=8(a+bi)=i[b/(a+b)]=iob (12) 式中：a= b 因此有定义2： a+b产b=6+c。式(16)表明三元联 系数的一阶偏正联系数是一个二元联系数，由两 定义2设有二元联系数4=a+bi,a∈[0,1]， 个偏正联系数作为联系分量相加而成，其中 b∈0,1]，a+b=1,i∈[-1,1，则记 d u=(a+bi)=i[b/(a+b)]=id b (13) 1的含义同式(O,灯0=的含义是程 称式(13)为二元联系数μ=a+bi的一阶偏负联 定当前的b,此前也处在c层次上，是从c层次向 系数。 正方向演化而来，所以用b+c作分母，用b作分 进一步有二元联系数μ的一阶全偏联系数定 子，用分式年。作为正向演化率。由于作为分子 义3： 的b是当前的b,是现在进行时，所以在纳人μ的 定义3设有二元联系数μ=a+bi,(a∈[0,1]， 一阶偏正联系数时，应当乘上一个反映b具有不 be0,1),a+b=1,ie[-1,1],则记 确定性的示性系数i,而同时作为分母中的b,则 μ=8μ+8μ (14) 处在c层次上，与c一样是确定的，所以不用乘i。 称式(14)为二元联系数μ=a+bi的一阶全偏联系 三元联系数的一阶偏负联系数见定义5。 数，其中μ是μ的一阶全偏联系数记号，μ也 定义5设有三元联系数μ=a+bi+c,ae[0,1, 读作μ的一阶正负全偏联系数。 be[0,1],c∈[0,1]，a+b+c=1,i∈[-1,1]，j=-1,记4 根据定义3可知： 的一阶偏负联系数为8μ，则 8μ=aμ+8μ=8a+i0b= a+b+atb=atbr a (15) =6r+oi产产6+切 式(15)表明二元联系数的一阶全偏联系数是二元 式(17)表明三元联系数的一阶偏负联系数是一个 联系数自身，计算结果中仍然存在二元联系数中 二元联系数，由两个偏负联系数相加而成，其中 表示不确定性的示性系数i,为此，在实际应用时 a中6的含义同式(10)：：的含义是假定当前的 b 需要对ⅰ作出解析才能确定二元联系数所确定的 c,此前也处在b层次，是从b层次负向演化而来，所 演化趋势。 例1试求二元联系数μ=0.6+0.4i的偏正联 以用e做分子，用b+c作分母，用分式作为 偏负向演化的演化率，由于这时作为分子的c处 系数μ、偏负联系数μ、全偏联系数μ，并判 在当前状态，所以乘上表示当前状态的示性系数j。 别其在微观层次上的演化趋势。 三元联系数的一阶全偏联系数见定义6： 解根据定义1和式(15)得μ的偏正联系数： 0.6 定义6设三元联系数H=a+bi+cj,a∈[0,1， 0u=0(a+b0=d广(0.6+0.40=0.4+0.6=0.6 be[0,1,c∈[0,1，a+b+c=1,ie[-1,1],j=-1,其一 根据定义1和式(13)得μ的偏负联系数： 阶偏正联系数为 0.4i b μ=a+b0=0(0.6+0.40=06+04=0.4 O'u=a i a+bb+c 根据定义3和式(14)得μ的全偏联系数 一阶偏负联系数为 8μ=8μ+0μ=8a+8b=0.6+0.4i b 8μ= 当i遍历[-1,1]时，μ遍历[0.2,1]，即当 a+bi+b+ci i=-1时，μ=0.2；当i=1时，μ=1；由于i遍历 则其一阶全偏联系数是一阶偏正联系数和一阶 [-1,1]时，均有产μ≥0，所以二元联系数μ=0.6+ 偏负联系数的代数和，记一阶全偏联系数为μ， 0.4i时系统在微观层上的演化趋势为正向趋势。 则有 23三元联系数的偏联系数 au=8u+8μ= a b b 式(2)所示三元联系数的偏联系数计算原理 a+b+年+a+b> 一+- (18) 同二元联系数，但内容较多；为节约篇幅，以下直 显然，定义6中的式(18)可以化简成： 接给出三元联系数中各阶偏联系数的定义（见定 义4)0 时u=a+br+bi+cj atb+b+c (19) 定义4设有三元联系数μ=a+bi+cj,a∈0,1]， 如果约定三元联系数的偏联系数就是指这 be0,1),c∈[0,1]，a+b+c=1,i∈[-1,1]，j=-1,记μ 个三元联系数的全偏联系数，则式(19)可以再简 的一阶偏正联系数为8μ，则 写成： dμ=a+i0*b=a b (16) ou=atbi br+cj (20) atb b+c a+b+ b+c
∂ − µ = ∂ − (a+bi) = i[b/ (a+b)] = i∂ − b (12) 因此有定义 2： µ = a+bi a ∈ [0,1] b ∈ [0,1] a+b = 1 i ∈ [−1,1] 定义 2 设有二元联系数 ， ， ， ， ，则记 ∂ − µ = ∂ − (a+bi) = i[b/ (a+b)] = i∂ − b (13) 称式 (13) 为二元联系数 µ = a+bi 的一阶偏负联 系数。 进一步有二元联系数 µ 的一阶全偏联系数定 义 3： µ = a+bi (a ∈ [0,1], b ∈ [0,1]) a+b = 1 i ∈ [−1,1] 定义 3 设有二元联系数 ， ， ， ，则记 ∂ ± µ = ∂ + µ+∂ − µ (14) µ = a+bi ∂ ±µ µ ∂ ±µ µ 称式 (14) 为二元联系数 的一阶全偏联系 数，其中 是 的一阶全偏联系数记号， 也 读作 的一阶正负全偏联系数。 根据定义 3 可知： ∂ ± µ = ∂ + µ+∂ − µ = ∂ + a+i∂ − b = a a+b + bi a+b = a+bi (15) i i 式 (15) 表明二元联系数的一阶全偏联系数是二元 联系数自身，计算结果中仍然存在二元联系数中 表示不确定性的示性系数 ，为此，在实际应用时 需要对 作出解析才能确定二元联系数所确定的 演化趋势。 µ = 0.6+0.4i ∂ +µ ∂ −µ ∂ ±µ 例 1 试求二元联系数 的偏正联 系数 、偏负联系数 、全偏联系数 ，并判 别其在微观层次上的演化趋势。 解 根据定义 1 和式 (15) 得 µ 的偏正联系数： ∂ + µ = ∂ + (a+bi) = ∂ + (0.6+0.4i) = 0.6 0.4+0.6 = 0.6 根据定义 1 和式 (13) 得 µ 的偏负联系数： ∂ − µ = ∂ − (a+bi) = ∂ − (0.6+0.4i) = 0.4i 0.6+0.4 = 0.4i 根据定义 3 和式 (14) 得 µ 的全偏联系数： ∂ ± µ = ∂ + µ+∂ − µ = ∂ + a+∂ − b = 0.6+0.4i i ∂ ±µ i = −1 ∂ ±µ = 0.2 i = 1 ∂ ±µ = 1 i [−1,1] ∂ ±µ ⩾ 0 µ = 0.6+ 0.4i 当 遍历 [−1，1] 时， 遍历 [0.2，1]，即当 时， ；当 时， ；由于 遍历 时，均有 ，所以二元联系数 时系统在微观层上的演化趋势为正向趋势。 2.3 三元联系数的偏联系数 式 (2) 所示三元联系数的偏联系数计算原理 同二元联系数，但内容较多；为节约篇幅，以下直 接给出三元联系数中各阶偏联系数的定义 (见定 义 4)。 µ = a+bi+c j a ∈ [0,1], b ∈ [0,1], c ∈ [0,1],a+b+c = 1 i ∈ [−1,1], j = −1 µ ∂ +µ 定义 4 设有三元联系数 ， ， ， 记 的一阶偏正联系数为 ，则 ∂ + µ = ∂ + a+i∂ + b = a a+b + b b+c i (16) ∂ +a = a a+b ∂ +b = b b+c ∂ +a = a a+b ∂ +b = b b+c b c c b+c b b b+c b b µ b i b c c i 式中： ， 。式 (16) 表明三元联 系数的一阶偏正联系数是一个二元联系数，由两 个偏正联系数作为联系分量相加而成，其中 的含义同式 (6)， 的含义是假 定当前的 ，此前也处在 层次上，是从 层次向 正方向演化而来，所以用 作分母，用 作分 子，用分式 作为正向演化率。由于作为分子 的 是当前的 ，是现在进行时，所以在纳入 的 一阶偏正联系数时，应当乘上一个反映 具有不 确定性的示性系数 ，而同时作为分母中的 ，则 处在 层次上，与 一样是确定的，所以不用乘 。 三元联系数的一阶偏负联系数见定义 5。 µ = a+bi+c j a ∈ [0,1], b ∈ [0,1], c ∈ [0,1],a+b+c = 1 i ∈ [−1,1], j = −1 µ ∂ −µ 定义 5 设有三元联系数 ， ， ，记 的一阶偏负联系数为 ，则 ∂ − µ = (∂ − b)i+(∂ − c) j = b a+b i+ c b+c j (17) b a+b c b+c c c b+c c b+c c j 式 (17) 表明三元联系数的一阶偏负联系数是一个 二元联系数，由两个偏负联系数相加而成，其中 的含义同式 (10)； 的含义是假定当前的 ，此前也处在 b 层次，是从 b 层次负向演化而来，所 以用 做分子，用 作分母，用分式 作为 偏负向演化的演化率，由于这时作为分子的 处 在当前状态，所以乘上表示当前状态的示性系数 。 三元联系数的一阶全偏联系数见定义 6： µ = a+bi+c j a ∈ [0,1] b ∈ [0,1], c ∈ [0,1],a+b+c = 1 i ∈ [−1,1], j = −1 定义 6 设三元联系数 ， ， ， ，其一 阶偏正联系数为 ∂ + µ = a a+b + b b+c i 一阶偏负联系数为 ∂ − µ = b a+b i+ c b+c j ∂ ±µ 则其一阶全偏联系数是一阶偏正联系数和一阶 偏负联系数的代数和，记一阶全偏联系数为 ， 则有 ∂ ± µ = ∂ + µ+∂ − µ = a a+b + b b+c i + + b a+b i − + c b+c j (18) 显然，定义 6 中的式 (18) 可以化简成： ∂ ± µ = a+bi− a+b + bi+ +c j b+c (19) 如果约定三元联系数的偏联系数就是指这 个三元联系数的全偏联系数，则式 (19) 可以再简 写成： ∂µ = a+bi− a+b + bi+ +c j b+c (20) 第 5 期 杨红梅，等：偏联系数的计算与应用研究 ·867·
·868· 智能系统学报 第14卷 式(18)、式(19)中仍有示性系数i、j,计算时会遇 定μ的二阶全偏联系数μ简记成子μ，也就是 到示性系数取何值的问题，是否有合适又合理 说，我们通常说一个联系数的偏联系数，是指这 的途径可以消去这个呢？看定义7： 个联系数的某阶全偏联系数。 定义7设有三元联系数μu=a+bi+cj,a∈0,1， 要指出的是，对式(18)所示4的一阶全偏联 be[0,1],c∈[0,1]，a+b+c=1,ie[-1,1,j=-1其一 系数不能再作一次全偏联系数计算，因为式(18) 阶偏正联系数为 中的μ和84相对于4，已处在同一层次，不再 0u=0a+0b=6+ b 存在“层间迁移”运动，如果仍按前面的“层间迁 -i (21) 移”假定作运算，其结果为 则对其再求一次偏正演化计算，其演化率为μ的 8产(a4）=产(aμ+8四= 2阶偏正联系数，记为μ，则 8μ一+ 04=0μ+业=1 a 8μ+dμa*μ+dμμ+0μ P+μ=a(8四）= a+b 22) 这个结果证实了式(18)中的8μ和0μ相对 a b atb*b+c 于4，已处于同一层次，因此要求一个三元联系数 式(22)的物理意义是：式(21)中的a= a 此 的二阶全偏联系数只能采用式(24)。 a+b 例2试求三元联系数μ=0.5+0.3i+0.2j的 前也处在（）层次上.是从汾 二阶偏正联系数+μ、二阶偏负联系数严μ、二阶 层次往正向演化而来，所以用a去除 全偏联系数μ，判别该联系数系统在微观层次 atb a+b 上的演化趋势。 )得到口的二阶偏正演化率产与此类 解按定义7和式(22)得μ的二阶偏正联 似，有μ的二阶偏负演化率严-μ定义（见定义 系数： 8) 0.5 2 定义8设有与定义7中给定的三元联系数4， 82*μ=05 .5+0.3 0.3 49=0.5102 且已知μ的一阶偏负联系数为μ=6+b, 0.5+0.3+0.3+0.2 则有μ的二阶偏负联系数为 按定义8和式(23)得μ的二阶偏负联系数： 0.2 b+c 0.3+0. 16 24=8(8四= -I b (23) 8μ=0.3 0.2j=-7=-0.5161 atb+b+c 0.5+0.3+0.3+02 进一步有定义9。 根据定义9和式(24)得μ的二阶全偏联 定义9设有与定义7中给定的三元联系数 系数： 4,且已知μ的二阶偏正联系数如式(22)所示，二 8μ=*μ+μ=0.5102-0.5161=-0.006 阶偏负联系数如式(23)所示，则其二阶全偏联系 所以三元联系数μ=0.5+0.3i+0.2j系统在微 数2±u如式(24)所示： 观层上的演化趋势为微弱负向趋势。 a b 2.4四元联系数的偏联系数 P+μ=+μ+Pμ= a+b a+b 式(3)所示四元联系数的偏联系数计算原理 a b+ b a+bb+c atb*b+c 同三元联系数，但内容增多；为节约篇幅，以下直 接给出四元联系数中各阶偏联系数的定义： a b a+b a+b 定义8中设四元联系数u=a+bi+cj+dk, b- (24) a b a∈[0,1]，be0,1],c∈[0,1]，d∈[0,1]，a+b+c+d=1, a+bb+c a+bb+c ie[0,1,j∈-1,0]，k=-1,则记μ的一阶偏正联系 显然，式(24)是一个没有示性系数i的实数，其物 数为0μ，即 理意义是：当Pμ>0时，表明三元联系数μ的系 o'u=oa+io*b+jo'c (25) 统在微观层次上的演化趋势是正向趋势；当 其中ra=a 严+μ<0时，表明三元联系数μ的系统在微观层次 b:0b=,b c.d'e=c c+d记μ的二阶 偏正联系数为+4，则 上的演化趋势是负向趋势；当P+μ=0时，表明三 82+μ=0(a四=8*(8a+i8b+j*c)= 元联系数μ的系统在微观层次上的演化趋势处在 d'a 正负临界状态。 a+b*b+oci (26) 参照式(19)对式(18)的简写做法，这里也约 记μ的三阶偏正联系数为μ，则
i、j i i 式 (18)、式 (19) 中仍有示性系数 ，计算时会遇 到示性系数 取何值的问题，是否有合适又合理 的途径可以消去这个 呢？看定义 7： µ = a+bi+c j a ∈ [0,1] b ∈ [0,1], c ∈[0,1],a+b+c = 1 i ∈ [−1,1], j = −1 定义 7 设有三元联系数 ， ， ， 其 一 阶偏正联系数为 ∂ + µ = ∂ + a+i∂ + b = a a+b + b b+c i (21) µ ∂ 2+µ 则对其再求一次偏正演化计算，其演化率为 的 2 阶偏正联系数，记为 ，则 ∂ 2+ µ = ∂(∂ + µ) = a a+b a a+b + b b+c (22) ∂ +a ( = a a+b ) i∂ +b ( = b b+c ) i∂ +b ( = b b+c ) a a+b ( a a+b + b b+c ) µ ∂ 2+µ µ ∂ 2−µ 式 (22) 的物理意义是：式 (21) 中的 此 前也处在 层次上，是从 层次往正向演化而来，所以用 去除 ，得到 的二阶偏正演化率 。与此类 似，有 的二阶偏负演化率 定义（见定义 8）。 µ µ ∂ −µ = b a+b i+ c b+c j µ 定义 8 设有与定义 7 中给定的三元联系数 ， 且已知 的一阶偏负联系数为 ， 则有 的二阶偏负联系数为 ∂ 2− µ = ∂ − (∂ − µ) = c b+c b a+b + c b+c j (23) 进一步有定义 9。 µ µ ∂ 2±µ 定义 9 设有与定义 7 中给定的三元联系数 ，且已知 的二阶偏正联系数如式 (22) 所示，二 阶偏负联系数如式 (23) 所示，则其二阶全偏联系 数 如式 (24) 所示： ∂ 2± µ =∂ 2+ µ+∂ 2− µ = a a+b a a+b + b b+c + b a+b b a+b + c b+c j = a a+b a a+b + b b+c − b a+b b a+b + c b+c (24) i ∂ 2±µ > 0 µ ∂ 2±µ < 0 µ ∂ 2±µ = 0 µ 显然，式 (24) 是一个没有示性系数 的实数，其物 理意义是：当 时，表明三元联系数 的系 统在微观层次上的演化趋势是正向趋势；当 时，表明三元联系数 的系统在微观层次 上的演化趋势是负向趋势；当 时，表明三 元联系数 的系统在微观层次上的演化趋势处在 正负临界状态。 参照式 (19) 对式 (18) 的简写做法，这里也约 µ ∂ 2±µ ∂ 2 定 的二阶全偏联系数 简记成 µ ，也就是 说，我们通常说一个联系数的偏联系数，是指这 个联系数的某阶全偏联系数。 µ ∂ +µ ∂ −µ µ 要指出的是，对式 (18) 所示 的一阶全偏联 系数不能再作一次全偏联系数计算，因为式 (18) 中的 和 相对于 ，已处在同一层次，不再 存在“层间迁移”运动，如果仍按前面的“层间迁 移”假定作运算，其结果为 ∂ ± (∂ ± µ) = ∂ ± (∂ + µ+∂ − µ) = ∂ +µ ∂ +µ+∂ −µ + ∂ −µ ∂ +µ+∂ −µ = ∂ +µ+∂ −µ ∂ +µ+∂ −µ = 1 ∂ +µ ∂ −µ µ 这个结果证实了式 (18) 中的 和 相对 于 ，已处于同一层次，因此要求一个三元联系数 的二阶全偏联系数只能采用式 (24)。 µ = 0.5+0.3i+0.2 j ∂ 2+µ ∂ 2−µ ∂ 2±µ 例 2 试求三元联系数 的 二阶偏正联系数 、二阶偏负联系数 、二阶 全偏联系数 ，判别该联系数系统在微观层次 上的演化趋势。 解 按定义 7 和式 (22) 得 µ 的二阶偏正联 系数： ∂ 2+ µ = 0.5 0.5+0.3 0.5 0.5+0.3 + 0.3 0.3+0.2 = 25 49 = 0.510 2 按定义 8 和式 (23) 得 µ 的二阶偏负联系数： ∂ 2− µ = 0.2 0.3+0.2 0.3 0.5+0.3 + 0.2 0.3+0.2 j = − 16 31 = −0.516 1 根据定 义 9 和 式 (24) 得 µ 的二阶全偏联 系数： ∂ 2± µ = ∂ 2+ µ+∂ 2− µ = 0.510 2−0.516 1 = −0.006 所以三元联系数 µ = 0.5+0.3i+0.2 j 系统在微 观层上的演化趋势为微弱负向趋势。 2.4 四元联系数的偏联系数 式 (3) 所示四元联系数的偏联系数计算原理 同三元联系数，但内容增多；为节约篇幅，以下直 接给出四元联系数中各阶偏联系数的定义： µ = a+bi+c j+dk a ∈ [0,1],b ∈ [0,1], c ∈ [0,1],d ∈ [0,1], a+b+c+d = 1, i ∈ [0,1], j ∈ [−1,0], k = −1 µ ∂ +µ 定 义 8 中设四元联系数 ， ，则记 的一阶偏正联系 数为 ，即 ∂ + µ = ∂ + a+i∂ + b+ j∂ + c (25) ∂ +a = a a+b , ∂+b = b b+c , ∂+ c = c c+d µ ∂ 2+µ 其中 ，记 的二阶 偏正联系数为 ，则 ∂ 2+ µ =∂ + (∂ + µ) = ∂ + (∂ + a+i∂ + b+ j∂ + c) = ∂ +a ∂ +a+∂ +b + ∂ +b ∂ +b+∂ +c i (26) µ ∂ 3+ 记 的三阶偏正联系数为 µ ，则 ·868· 智 能 系 统 学 报 第 14 卷
第5期 杨红梅，等：偏联系数的计算与应用研究 ·869· μ=a(a+4)=[a*(a=8[a(aa+0b+j8c]=的系统在微观层次上的演化趋势是正向趋势；当 8a ±μ0时，表明四元联系数4 Fb+c+Fc+ad*ad+8e
∂ 3+ µ = ∂ + ( ∂ 2+ µ ) = ∂ + [ ∂ + (∂ + µ) ] = ∂ + [ ∂ + (∂ + a+i∂ + b+ j∂ + c) ] = ∂ + ( ∂ +a ∂ +a+∂ +b + ∂ +b ∂ +b+∂ +c i ) = ∂ +a ∂ +a+∂ +b ∂ +a ∂ +a+∂ +b + ∂ +b ∂ +b+∂ +c (27) ∂ +a = a a+b , ∂+b = b b+c , ∂+ c = c c+d 把 代入式 (27) 得 ∂ 3+ µ = a a+b a a+b + b b+c a a+b a a+b + b b+c + b b+c b b+c + c c+d (28) µ ∂ − 另一方面，记 的一阶偏负联系数为 µ ，则 ∂ − µ = i∂ − b+ j∂ − c+k∂ − d (29) ∂ −b = b a+b , ∂− c = c b+c , ∂−d = d c+d µ ∂ 2−µ 式中： 。记 的 二阶偏负联系数为 ，则 ∂ 2− µ =∂ − (∂ − µ) = ∂ − (i∂ − b+ j∂ − c+k∂ − d) = ∂ − c ∂ −b+∂ −c j+ ∂ −d ∂ −c+∂ −d k (30) µ ∂ 3− 记 的三阶偏负联系数为 µ ，则 ∂ 3− µ = ∂ − ( ∂ 2− µ ) = ∂ − [ ∂ − (∂ − µ) ] = ∂ − [ ∂ − (i∂ − b+ j∂ − c+k∂ − d) ] = ∂ − ( ∂ − c ∂ −b+∂ −c j+ ∂ −d ∂ −c+∂ −d k ) = ∂ −d ∂ −c+∂ −d k ∂ − c ∂ −b+∂ −c + ∂ −d ∂ −c+∂ −d (31) ∂ −b = b a+b , ∂− c = c b+c , ∂−d = d c+d 把 代入式 (31) 得 ∂ 3− µ = d c+d c b+c + d c+d k c b+c b a+b + c b+c + d c+d c b+c + d c+d (32) k = −1 µ ∂ 3±µ 注意到式 (32) 中的 ，于是得 的三阶全偏 联系数 为 ∂ 3± µ= a a+b a a+b + b b+c a a+b a a+b + b b+c + b b+c b b+c + c c+d − d c+d c b+c + d c+d c b+c b a+b + c b+c + d c+d c b+c + d c+d (33) i ∂ 3±µ > 0 µ 显然，式 (33) 是一个没有示性系数 的实数， 其物理意义是：当 时，表明四元联系数 ∂ 3±µ < 0 µ ∂ 3±µ = 0 µ 的系统在微观层次上的演化趋势是正向趋势；当 时，表明四元联系数 的系统在微观层次 上的演化趋势是负向趋势；当 时，表明四 元联系数 的系统在微观层次上的演化趋势处在 正负临界状态。 2.5 五元联系数的偏联系数 式 (4) 所示五元联系数的偏联系数计算原理 同四元联系数，但内容增多；为节约篇幅，以下直 接给出五元联系数中各阶偏联系数的定义 (见定 义 9)： µ = a+bi+c j+dk+ el,a ∈ [0,1],b ∈[0,1], c ∈[0,1],d ∈[0,1], e ∈[0,1] a+b c+d +e = 1 i ∈ [ 0.333,1 ] , j ∈ [ −0.333,0.333] k = [−1, 定 义 9 设五元联系数 , + , , −0.334], l=−1, 记 μ 的一阶偏正联系数为∂ + μ，则 ∂ + µ = ∂ + a+i∂ + b+ j∂ + c+k∂ + d (34) ∂ +a = a a+b ∂ +b = b b+c ∂ + c = c c+d ∂ +d = d d +e µ ∂ 2+µ 式中： ， ， ， 。 记 的二阶偏正联系数为 ，则 ∂ 2+ µ = ∂ + (∂ + a+i∂ + b+ j∂ + c+k∂ + d) = ∂ +a ∂ +a+∂ +b + ∂ +b ∂ +b+∂ +c + ∂ + c ∂ +c+∂ +d (35) µ ∂ 3+ 记 的三阶偏正联系数为 µ ，则 ∂ 3+ µ = ∂ + (∂ 2+ µ) = ∂ + [∂ + (∂ + a+i∂ + b+ j∂ + c+k∂ + d)] = ∂ + [ ∂ +a ∂ +a+∂ +b + i∂ +b ∂ +b+∂ +c + j∂ + c ∂ +c+∂ +d ] = ∂ +a ∂ +a+∂ +b ∂ +a ∂ +a+∂ +b + ∂ +b ∂ +b+∂ +c + ∂ +b ∂ +b+∂ +c i ∂ +b ∂ +b+∂ +c + ∂ + c ∂ +c+∂ +d (36) µ ∂ 4+ 记 的四阶偏正联系数为 µ ，则 ∂ 4+ µ = ∂ + ( ∂ 3+ µ ) = ∂ + ∂ +a ∂ +a+∂ +b ∂ +a ∂ +a+∂ +b + ∂ +b ∂ +b+∂ +c + ∂ +b ∂ +b+∂ +c i ∂ +b ∂ +b+∂ +c + ∂ + c ∂ +c+∂ +d = ∂ +a ∂ +a+∂ +b ∂ +a ∂ +a+∂ +b + ∂ +b ∂ +b+∂ +c ∂ +a ∂ +a+∂ +b ∂ +a ∂ +a+∂ +b + ∂ +b ∂ +b+∂ +c + ∂ +b ∂ +b+∂ +c ∂ +b ∂ +b+∂ +c + ∂ + c ∂ +c+∂ +d (37) µ ∂ − 另一方面，记 的一阶偏负联系数为 µ ，则 ∂ − µ = i∂ − b+ j∂ − c+k∂ − d +l∂ − e (38) µ ∂ 2− 记 的二阶偏负联系数为 µ ，则 ∂ 2− µ = ∂ − (∂ − µ) = ∂ − (i∂ − b + j∂ − c+k∂ − d + l∂ − e) = j∂ − c ∂ −b+∂ −c + k∂ −d ∂ −c+∂ −d + l∂ − e ∂ −d +∂ −e (39) 第 5 期 杨红梅，等：偏联系数的计算与应用研究 ·869·
·870· 智能系统学报 第14卷 记μ的三阶偏负联系数为μ，则 3反偏联系数 aμ=6(84)=8[8(d]= kod 定义10已知n元联系数μ的偏联系数为 8-b+ac*ac+od*ad+de a-1=μ，求这个n元联系数山称这个计算函数为 ko d loe (40) 反偏联系数，记为arc(m-*μ，计算时也可直接写 ad+a-c o-d+o-e 成arcm-l#μ。 o-d c de od id+oc*b+ic Fd+de+od+oc 显然，求一个n元联系数μ的偏联系数m-u 记μ的四阶偏负联系数为μ，则 与计算这个偏联系数的反偏联系数arc-l性μ是 一对互逆运算，不仅相互检验计算过程中是否存 aμ=a(a4= 在计算错误，更重要的是其中的物理意义：偏联 ko d lo-e 系数指示出当前的联系数系统在微观层次上的状 o-c+o-d od+oe d-c d-e 态（由联系分量所确定的状态）存在何方向多大 ob+dc*dc+od Fc+od+od+o-e 程度的演化趋势，反偏联系数则是在已知联系数 loe 系统在微观层次上存在何方向多大程度的演化趋 o-d+o-e a-d de 势条件下去反推该联系数所在宏观状态（由联系 c+od*ad+e 分量所确定的状态)，因此是一种“宏观状态和微 o-d e 观趋势”的互逆运算s7。 ac+ad d+oe ad+ad 但是反偏联系数运算arcr-l:μ比偏联系数 0b+&c0c+0-d oc+od*d+oe 运算-*μ复杂，需要作进一步研究。 (41) 注意到式(41)中的1=-1，所以得五元联系数 4偏联系数算法研究的若干新思路 μ=a+bi+cj+dk+el的四阶全偏联系数+μ，即 4.1加权偏联系数 μ=aμ+μ= 北京师范大学研究生易测吉在2018年第 da a+0+b 6期全国偏联系数专题高级讲研班上提出，联系 da 数中不同层次的联系分量之间的层次迁移，也可 a+ob b+o'c 能存在一个联系分量在一次层次迁移中，只有其 d'a 0*b 中的一部分参与层次迁移的情况。经我们研究， 8a+ab +b+c d'a rb+06 8'c 基于易测吉思路形成的偏联系数算法与第3章所 atab+ab+ac ab+oc+ac+ad (42) 定义的偏联系数算法有不同，由这种新算法得到 -8e 的偏联系数是否可以称为加权偏联系数，待进一 0-d+d-e d 步研究。 actad*ad+oe 4.2基于相互作用的全偏联系数 o-d oe 赵克勤在2018年第6期全国偏联系数专题 0-c+0-d od+oe 高级讲研班上还讲到联系数中相邻联系分量以乘 b+8c+8c+ad ac+od*ad+de 积形式表示的相互作用联系数，基此情况，给定 把a= atb ob=, a b d ctd od-de 一个n(n≥2)元联系数，可以衍生出k(k≥1)个 一、c= Γb+c b e代入 n+k元联系数；n+k元联系数的n+k-1阶全偏联 db=bb0rc=b+cdd《 -c+d e=dte 系数，显然是n(n≥2)元联系数的n-1阶全偏联 式(42)就得到具体数值。也就是说，式(42)是一 系数的细化，但其计算过程也较复杂，需要进一 个没有不确定示性系数的实数，其物理意义是： 步研究。 当μ>0时，表明五元联系数μ的系统在微观 最近，金菊良等S劉又提出效应全偏联系数， 层次上的演化趋势是正向趋势；当μ<0时，表 并把其用于水资源评价，也需进一步研究。 明五元联系数μ的系统在微观层次上的演化趋势 5应用举例 是负向趋势；当μ=0时，表明五元联系数μ的 系统在微观层次上的演化趋势处在正负临界 例3随机抽取某广播电视大学2016级行政 状态。 管理专业30名学生7门课程成绩（见表1），试用
µ ∂ 3− 记 的三阶偏负联系数为 µ ，则 ∂ 3− µ = ∂ − ( ∂ 2− µ ) = ∂ − [ ∂ − (∂ − µ) ] = ∂ − ( j∂ − c ∂ −b+∂ −c + k∂ −d ∂ −c+∂ −d + l∂ − e ∂ −d +∂ −e ) = k∂ −d ∂ −d +∂ −c ∂ −d ∂ −d +∂ −c + ∂ − c ∂ −b+∂ −c + l∂ − e ∂ −d +∂ −e ∂ − e ∂ −d +∂ −e + ∂ −d ∂ −d +∂ −c (40) µ ∂ 4− 记 的四阶偏负联系数为 µ ，则 ∂ 4− µ = ∂ − ( ∂ 3− µ ) = ∂ − k∂ −d ∂ −c+∂ −d ∂ − c ∂ −b+∂ −c + ∂ −d ∂ −c+∂ −d + l∂ − e ∂ −d +∂ −e ∂ −d ∂ −c+∂ −d + ∂ − e ∂ −d +∂ −e = l∂ − e ∂ −d +∂ −e ∂ −d ∂ −c+∂ −d + ∂ − e ∂ −d +∂ −e ∂ −d ∂ −c+∂ −d ∂ − c ∂ −b+∂ −c + ∂ −d ∂ −c+∂ −d + ∂ − e ∂ −d +∂ −e ∂ −d ∂ −c+∂ −d + ∂ − e ∂ −d +∂ −e (41) l = −1 µ = a+bi+c j+dk+el ∂ 4±µ 注意到式 (41) 中的 ，所以得五元联系数 的四阶全偏联系数 ，即 ∂ 4± µ = ∂ 4+ µ+∂ 4− µ = ∂ +a ∂ +a+∂ +b ∂ +a ∂ +a+∂ +b + ∂ +b ∂ +b+∂ +c ∂ +a ∂ +a+∂ +b ∂ +a ∂ +a+∂ +b + ∂ +b ∂ +b+∂ +c + ∂ +b ∂ +b+∂ +c ∂ +b ∂ +b+∂ +c + ∂ + c ∂ +c+∂ +d + −∂ − e ∂ −d +∂ −e ∂ −d ∂ −c+∂ −d + ∂ − e ∂ −d +∂ −e ∂ −d ∂ −c+∂ −d ∂ − c ∂ −b+∂ −c + ∂ −d ∂ −c+∂ −d + ∂ − e ∂ −d +∂ −e ∂ −d ∂ −c+∂ −d + ∂ − e ∂ −d +∂ −e (42) ∂ +a = a a+b 、∂ +b = b b+c 、∂ + c = c c+d ∂ +d = d d +e ∂ −b = b a+b 、∂ − c = c b+c ∂ −d = d c+d 、∂ − e = e d +e ∂ 4± µ > 0 µ ∂ 4± µ < 0 µ ∂ 4± µ = 0 µ 把 、 、 、 代入 式 (42) 就得到具体数值。也就是说，式 (42) 是一 个没有不确定示性系数的实数，其物理意义是： 当 时，表明五元联系数 的系统在微观 层次上的演化趋势是正向趋势；当 时，表 明五元联系数 的系统在微观层次上的演化趋势 是负向趋势；当 时，表明五元联系数 的 系统在微观层次上的演化趋势处在正负临界 状态。 3 反偏联系数 n µ ∂ (n−1)±µ n µ arc ( ∂ (n−1)±µ ) arc∂ (n−1)±µ 定义 10 已知 元联系数 的偏联系数为 ，求这个 元联系数 ，称这个计算函数为 反偏联系数，记为 ，计算时也可直接写 成 。 n µ ∂ (n−1)±µ arc∂ (n−1)±µ 显然，求一个 元联系数 的偏联系数 与计算这个偏联系数的反偏联系数 是 一对互逆运算，不仅相互检验计算过程中是否存 在计算错误，更重要的是其中的物理意义：偏联 系数指示出当前的联系数系统在微观层次上的状 态 (由联系分量所确定的状态) 存在何方向多大 程度的演化趋势，反偏联系数则是在已知联系数 系统在微观层次上存在何方向多大程度的演化趋 势条件下去反推该联系数所在宏观状态 (由联系 分量所确定的状态)，因此是一种“宏观状态和微 观趋势”的互逆运算[57]。 arc∂ (n−1)±µ ∂ (n−1)±µ 但是反偏联系数运算 比偏联系数 运算 复杂，需要作进一步研究。 4 偏联系数算法研究的若干新思路 4.1 加权偏联系数 北京师范大学研究生易测吉在 2018 年第 6 期全国偏联系数专题高级讲研班上提出，联系 数中不同层次的联系分量之间的层次迁移，也可 能存在一个联系分量在一次层次迁移中，只有其 中的一部分参与层次迁移的情况。经我们研究， 基于易测吉思路形成的偏联系数算法与第 3 章所 定义的偏联系数算法有不同，由这种新算法得到 的偏联系数是否可以称为加权偏联系数，待进一 步研究。 4.2 基于相互作用的全偏联系数 n(n ⩾ 2) k (k ⩾ 1) n+k n+k n+k−1 n(n ⩾ 2) n−1 赵克勤在 2018 年第 6 期全国偏联系数专题 高级讲研班上还讲到联系数中相邻联系分量以乘 积形式表示的相互作用联系数，基此情况，给定 一个 元联系数，可以衍生出 个 元联系数； 元联系数的 阶全偏联 系数，显然是 元联系数的 阶全偏联 系数的细化，但其计算过程也较复杂，需要进一 步研究。 最近，金菊良等[58] 又提出效应全偏联系数， 并把其用于水资源评价，也需进一步研究。 5 应用举例 例 3 随机抽取某广播电视大学 2016 级行政 管理专业 30 名学生 7 门课程成绩 (见表 1)，试用 ·870· 智 能 系 统 学 报 第 14 卷
第5期 杨红梅，等：偏联系数的计算与应用研究 ·871· 偏联系数计算这7门成绩的提高趋势，其中：为 差的成绩记入E,据此得到7门课程成绩的五元 应用写作，2为英语，3为管理学基础，x4为中国 联系数： 特色社会主义理论，x为开放教育入学指南，6 u(x)=19+8i+0j+3k+0l 为西方行政制度，x?为地域文化。 u(x2)=3+15i+7j+5k+0l u()=2+22i+5j+1k+0l 表130位学员x1~课程成绩 u(x4)=0+29i+1ji+0k+0l Table 1 30 students'x1~X course results u(xs)=28+1i+0j+0k+11 序号 4 X6 X7 u(x6)=0+5i+19j+4k+21 u()=21+6i+1j+0k+2l 刘 9365 84 100 8195 2)把上述五元联系数归一化处理，得： 宋 96 89 86 88 100 作 94 μ(x)=0.6333+0.2667i+0j+0.1k+01 张 96 87 100 66 86 μ(x)=0.1+0.5i+0.2333j+0.1667k+01 4 刘 88 77 90 89 97 72 95 μ(x)=0.0667+0.7333i+0.1667j+0.0333k+01 μ(x4)=0+0.9667i+0.0333j+0k+01 5 马 90 88 100 81 94 μ(x)=0.9333+0.0333i+0j+0k+0.03331 郑 99 方 94 μ(x6)=0+0.1667i+0.6333j+0.1333k+0.0667l 100 之 μ()=0.7+0.2i+0.0333j+0k+0.06671 99 79 79 3)按式(42)计算全偏联系数，并对全偏联系 数的大小作出排序，得 100 76 95 8μ(x1)=0.2262 100 75 86 8±μ(x2)=0.3102 95 96 μ()=0.3232 98 77 o μ(x4)=0 任 87 76 9 8μ(xs)=0.2478 100 74 93 8μ(6)=-0.7754 8μ()=-0.3835 15 99 95 由此可知，课程3的成绩提高趋势最好（上 100 95 升)，其次是课程（上升），第3是课程x(上升)， 100 方 81 第4是课程x(上升)，第5是课程x(临界)，第 18 89 99 94 6是课程（下降），第7是课程x6(下降)。 19 89 100 79 95 20 89 100 78 95 6讨论 21 郭 84 20 33 0 1)关于事物微观运动的数学刻画。众所周 22 沈 87 100 78 95 知，客观事物处于相互联系和运动变化之中，如 23 87 100 76 93 何定量刻画事物的相互联系和运动变化，是包括 86 99 82 94 人工智能学者在内的众多科技人员的研究课题。 25 7 86 100 8195 文献[1-60]和本文的工作表明，基于集对分析理 26 王 02 87 86 98 3 8 论的联系数及其偏联系数是定量刻画事物相互联 27 杨 73 80 85 98 68 86 系和运动的一个新数学工具，其理由：首先，偏联 28 刘 96 81 83 87 100 68 94 系数把联系数中的各个联系分量不再看作相互独 29 张 70 63 79 98 8094 立的量，而是假设成一定条件下相互生成的量， 理论上，这种假设成立；其次，借助偏联系数的算 30 李707584 88 96 00 法，揭示联系数中联系分量的相互生成是在微观 解1)设置并定性A(同)、B(偏同)、C(中)、 层次上的一对矛盾运动，这也可以接受；因为哲 D(偏反)、E(反)，联系分量，为此令91~100为优 学、物理学和无数事实告诉我们，矛盾普遍存在， (同)，81~90为良（偏同），71~80为中（中）， 运动成对进行，“作用力与反作用力大小相等，方 60~70为一般（偏反），60以下为差（反），也就是 向相反，作用在2个不同的物体上”已是一种科学 把属于优的成绩记人A,属于良的成绩记入B,属 常识；再次，偏联系数着眼于事物的运动在微观 于中的成绩记入C,属于一般的成绩记入D,属于 层次上的定量刻画。科学史表明，牛顿的微积分
x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7 偏联系数计算这 7 门成绩的提高趋势，其中 为 应用写作， 为英语， 为管理学基础， 为中国 特色社会主义理论， 为开放教育入学指南， 为西方行政制度， 为地域文化。 表 1 30 位学员 x1～x7 课程成绩 Table 1 30 students’ x1～x7 course results 序号 姓 x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7 1 刘 93 65 84 81 100 81 95 2 宋 96 89 86 88 100 73 94 3 张 96 90 81 87 100 66 86 4 刘 88 77 90 89 97 72 95 5 马 94 94 90 88 100 81 94 6 郑 90 76 80 88 99 75 94 7 王 96 87 85 88 100 72 86 8 陈 96 68 84 82 99 79 79 9 李 95 86 84 87 100 76 95 10 张 93 86 78 87 100 75 86 11 张 91 78 72 84 95 74 96 12 阎 91 84 80 83 98 77 96 13 任 98 62 82 87 87 76 82 14 毛 89 81 79 86 100 74 93 15 李 85 88 82 86 99 82 95 16 李 96 84 83 86 100 65 95 17 王 94 73 89 86 100 75 81 18 刘 96 72 89 89 99 78 94 19 张 95 89 92 89 100 79 95 20 冯 97 94 92 89 100 78 95 21 郭 70 62 70 84 20 33 0 22 沈 96 88 86 87 100 78 95 23 张 93 86 81 87 100 76 93 24 杨 82 88 83 86 99 82 94 25 赵 85 87 87 86 100 81 95 26 王 85 93 87 86 98 73 95 27 杨 85 73 80 85 98 68 86 28 刘 96 81 83 87 100 68 94 29 张 70 63 84 79 98 80 94 30 李 70 75 84 88 96 0 0 A B C D E 60 A B C D 解 1) 设置并定性 (同)、 (偏同)、 (中)、 (偏反)、 (反)，联系分量，为此令 91～100 为优 (同)， 81～90 为良 (偏同)， 71～80 为中 (中)， 60～70 为一般 (偏反)， 以下为差 (反)，也就是 把属于优的成绩记入 ，属于良的成绩记入 ，属 于中的成绩记入 ，属于一般的成绩记入 ，属于 差的成绩记入 E ，据此得到 7 门课程成绩的五元 联系数： u(x1) = 19+8i+0 j+3k+0l u(x2) = 3+15i+7 j+5k+0l u(x3) = 2+22i+5 j+1k+0l u(x4) = 0+29i+1 j+0k+0l u(x5) = 28+1i+0 j+0k+1l u(x6) = 0+5i+19 j+4k+2l u(x7) = 21+6i+1 j+0k+2l 2) 把上述五元联系数归一化处理，得： µ(x1) = 0.6333+0.2667i+0 j+0.1k+0l µ(x2) = 0.1+0.5i+0.2333 j+0.1667k+0l µ(x3) = 0.0667+0.7333i+0.1667 j+0.0333k+0l µ(x4) = 0+0.9667i+0.0333 j+0k+0l µ(x5) = 0.9333+0.0333i+0 j+0k+0.0333l µ(x6) = 0+0.1667i+0.6333 j+0.1333k+0.0667l µ(x7) = 0.7+0.2i+0.0333 j+0k+0.0667l 3) 按式 (42) 计算全偏联系数，并对全偏联系 数的大小作出排序，得 ∂ 4± µ(x1) = 0.226 2 ∂ 4± µ(x2) = 0.310 2 ∂ 4± µ(x3) = 0.323 2 ∂ 4± µ(x4) = 0 ∂ 4± µ(x5) = 0.247 8 ∂ 4± µ(x6) = −0.775 4 ∂ 4± µ(x7) = −0.383 5 x3 x2 x5 x1 x4 x7 x6 由此可知，课程 的成绩提高趋势最好 (上 升)，其次是课程 (上升)，第 3 是课程 (上升)， 第 4 是课程 (上升)，第 5 是课程 (临界)，第 6 是课程 (下降)，第 7 是课程 (下降)。 6 讨论 1) 关于事物微观运动的数学刻画。众所周 知，客观事物处于相互联系和运动变化之中，如 何定量刻画事物的相互联系和运动变化，是包括 人工智能学者在内的众多科技人员的研究课题。 文献 [1–60] 和本文的工作表明，基于集对分析理 论的联系数及其偏联系数是定量刻画事物相互联 系和运动的一个新数学工具，其理由：首先，偏联 系数把联系数中的各个联系分量不再看作相互独 立的量，而是假设成一定条件下相互生成的量， 理论上，这种假设成立；其次，借助偏联系数的算 法，揭示联系数中联系分量的相互生成是在微观 层次上的一对矛盾运动，这也可以接受；因为哲 学、物理学和无数事实告诉我们，矛盾普遍存在， 运动成对进行，“作用力与反作用力大小相等，方 向相反，作用在 2 个不同的物体上”已是一种科学 常识；再次，偏联系数着眼于事物的运动在微观 层次上的定量刻画。科学史表明，牛顿的微积分 第 5 期 杨红梅，等：偏联系数的计算与应用研究 ·871·
·872· 智能系统学报 第14卷 在刻画事物宏观层次上的运动已取得巨大成 论，分子中的b带有表示不确定取值的示性系数 功，但人们对事物在微观层次上的运动观测和测 i,而分母中的b则与c处在同一层次且属于过去 量则受制于海森堡的“测不准原理”；正是在这一 进行时状态，所以不带i。 点上，集对分析借助联系数对不确定性“客观承 用同样的道理可以合理地处置例3中五元联 认、系统描述、定量刻画、具体分析9，使得基于 系数的偏联系数计算过程中遇到的0"如何运算 联系数的偏联系数算法能够刻画出事物在微观层 的问题，例如μ(xa)=0+0.9667i+0.0333j+0k+01, 次上的矛盾运动。当然，微观与宏观是一个相对 按式(34)，其一阶偏正联系数为8μ=a+b+ 的划分，文献[19]中指出，“在生物学中，全体是 宏观，个体就是微观；个体是宏观，细胞就是微 8*c+k8*d,其中8a=a 60bs、b .0c=c b+c' c+d' 观：细胞是宏观，基因就是微观；在物理化学中， 44e,由于ux)中的d=0.e=0,代入 肉眼直接见到的是宏观，要在显微镜下看到的是 o'd= 微观；在低倍显微镜下看到的是宏观，在高倍显 得0d=00这个00式子在初等数 学中被认为是一个无意义的式子（零不能作除 微镜下看到的是微观；在时间序列中，世纪是宏 数)，在高等数学中被认为是一个不确定式，但按 观，年度就是微观；年度是宏观，月度是微观，小 前面的讨论可知，分子0是代表0k的0，这个0 时是宏观，分钟就是微观；分钟是宏观，秒是微 是当前状态的0，是确定的：分母中代表01的0也 观，如此等等”。 是确定的0，分母中代表0k的0虽然与代表01的 正是宏观与微观划分的相对性，导致事物在 0处在同一个层次，却是一个在变化着的0，按微 宏观层次上相对静止的同时，在微观层次上依然 积分思想，这个在变化着的0，本质上是一个以零 发生着细微尺度上的变化和运动，如实刻画事物 为极限的无穷小量ε，由此可知分母实质上是 宏观状态的联系数因而能借助偏联系数的计算刻 画事物在微观层次上的运动规律。 E+0=&,由此得到。0-00」 0+0=e+0=三0，也就是 2)关于全偏联系数。由第2章可知，计算一 d=0。这一结果从问题本身的角度也说得通， 个给定nn≥2)元联系数的偏联系数时，需要同时 因为μ(x)说明当前状态下，确实没有出现 计算其n-1阶偏正联系数和n-1阶偏负联系数 60~70分之间的成绩。同理，可以处置在计算 及其代数和，才能如实反映该n元联系数的n个 μx)的一阶偏负联系数时出现0的情况。 0+0 联系分量在微观层次上的矛盾运动及其结果，这 4)不难推知，第4章中有关加权偏联系数和 里说的代数和就是给定n元联系数的全偏联系 效应全偏联系数的算法，以及基于相互作用的偏 数，概念清晰，意义明确。文献[52]把ac=c/(a+c) 联系数算法，要比第2章中介绍的偏联系数基本 看成“的全偏联系数，错误地理解全偏联系数， 算法复杂，由此推知反加权偏联系数、反效应全 诱导出错误的结论，这说明对基本概念的正确理 偏联系数、反相互作用偏联系数的算法更复杂， 解极为重要。 限于篇幅，本文没有展开介绍，特此说明。 3)关于偏联系数的生成机制和时态。在偏联 5)偏联系数算法是一种新的智能算法。首 系数计算过程中，需要注意各阶偏联系数中各联 先，从信息利用的角度看，偏联系数算法有效地 系分量的生成机制和时态。一般地说，用分式表 挖掘了联系数中联系分量的动态信息，这种动态 示的某阶偏正（负）联系数中的联系分量，其分子 信息反映出联系数所刻画的研究对象的本质。因 的状态指过程完成时所处的状态，分母的状态则 为客观事物总是处于动态变化之中，某一时刻相 是过去进行时的状态，例如三元联系数 对静止的宏观状态与这种状态在微观层次上的变 μ=a+bi+cj,其一阶偏正联系数为 化趋势共存在一个系统中是所有研究对象的共同 a b aμ=8a+i0*b= a+b+b+ci 属性，借助联系数的偏联系数计算，能够看到系 a+6分子a 式中：第一个用分式表示的联系分量 统在宏观静态下的微观动态，显然是一种智能； 其次，从系统的角度看，偏联系数算法揭示了对 的状态是过程完成时所处的状态，即当前状态， 象系统线性与非线性的关系，因为从形式上看， 分母中的a则属于过去进行时状态；同理，第二 联系数中的各个联系分量可以有序地放置在一根 个用分式表示的联系分量 ci中的分子6i是过 b 水平轴上，具有明显的线性特征，但式(6)~ 程完成时所处的状态，即当前状态，由于这个当 式(42)表明，偏联系数所展示的图象是一幅非线 前状态是具有不确定性的状态，故按集对分析理 性图象：再次，从人工智能技术创新的角度看，基
在刻画事物宏观层次上的运动已取得巨大成 功,但人们对事物在微观层次上的运动观测和测 量则受制于海森堡的“测不准原理”；正是在这一 点上，集对分析借助联系数对不确定性“客观承 认、系统描述、定量刻画、具体分析” [59] ，使得基于 联系数的偏联系数算法能够刻画出事物在微观层 次上的矛盾运动。当然，微观与宏观是一个相对 的划分，文献 [19] 中指出，“在生物学中，全体是 宏观，个体就是微观；个体是宏观，细胞就是微 观；细胞是宏观，基因就是微观；在物理化学中， 肉眼直接见到的是宏观，要在显微镜下看到的是 微观；在低倍显微镜下看到的是宏观，在高倍显 微镜下看到的是微观；在时间序列中，世纪是宏 观，年度就是微观；年度是宏观，月度是微观，小 时是宏观，分钟就是微观；分钟是宏观，秒是微 观，如此等等”。 正是宏观与微观划分的相对性，导致事物在 宏观层次上相对静止的同时，在微观层次上依然 发生着细微尺度上的变化和运动，如实刻画事物 宏观状态的联系数因而能借助偏联系数的计算刻 画事物在微观层次上的运动规律。 n(n ⩾ 2) n−1 n−1 n n n ∂c = c/ (a+c) µ 2) 关于全偏联系数。由第 2 章可知，计算一 个给定 元联系数的偏联系数时，需要同时 计算其 阶偏正联系数和 阶偏负联系数 及其代数和，才能如实反映该 元联系数的 个 联系分量在微观层次上的矛盾运动及其结果，这 里说的代数和就是给定 元联系数的全偏联系 数，概念清晰，意义明确。文献 [52] 把 看成 的全偏联系数，错误地理解全偏联系数， 诱导出错误的结论，这说明对基本概念的正确理 解极为重要。 µ = a+bi+c j 3) 关于偏联系数的生成机制和时态。在偏联 系数计算过程中，需要注意各阶偏联系数中各联 系分量的生成机制和时态。一般地说，用分式表 示的某阶偏正 (负) 联系数中的联系分量，其分子 的状态指过程完成时所处的状态，分母的状态则 是过去进行时的状态，例如三元联系数 ，其一阶偏正联系数为 ∂ + µ = ∂ + a+i∂ + b = a a+b + b b+c i a a+b a a b b+c i bi 式中：第一个用分式表示的联系分量 ，分子 的状态是过程完成时所处的状态，即当前状态， 分母中的 则属于过去进行时状态；同理，第二 个用分式表示的联系分量 中的分子 是过 程完成时所处的状态，即当前状态，由于这个当 前状态是具有不确定性的状态，故按集对分析理 b i b c i 论，分子中的 带有表示不确定取值的示性系数 ，而分母中的 则与 处在同一层次且属于过去 进行时状态，所以不带 。 0 0 µ(x4) = 0+0.966 7i+0.033 3 j+0k+0l ∂ +µ = ∂ +a+i∂ +b+ j∂ + c+k∂ +d ∂ +a = a a+b , ∂+b = b b+c , ∂+ c = c c+d ∂ +d = d d +e µ(x4) d = 0, e = 0 ∂ +d = d d +e ∂ +d = 0 0+0 0 0+0 0 0k 0 0 0 0l 0 0 0k 0 0l 0 0 ε ε+0 = ε 0 0+0 = 0 ε+0 = 0 ε = 0 ∂ +d = 0 µ(x4) µ(x4) 0 0+0 用同样的道理可以合理地处置例 3 中五元联 系数的偏联系数计算过程中遇到的“ ”如何运算 的问题，例如 ， 按式 (34)，其一阶偏正联系数为 ，其中 ， ，由于 中 的 ，代入 得 ，这个 式子在初等数 学中被认为是一个无意义的式子 (零不能作除 数)，在高等数学中被认为是一个不确定式，但按 前面的讨论可知，分子 是代表 的 ，这个 是当前状态的 ，是确定的；分母中代表 的 也 是确定的 ，分母中代表 的 虽然与代表 的 处在同一个层次，却是一个在变化着的 ，按微 积分思想，这个在变化着的 0，本质上是一个以零 为极限的无穷小量 ，由此可知分母实质上是 ，由此得到 ，也就是 。这一结果从问题本身的角度也说得通， 因 为 说明当前状态下，确实没有出 现 60～70 分之间的成绩。同理，可以处置在计算 的一阶偏负联系数时出现 的情况。 4) 不难推知，第 4 章中有关加权偏联系数和 效应全偏联系数的算法，以及基于相互作用的偏 联系数算法，要比第 2 章中介绍的偏联系数基本 算法复杂，由此推知反加权偏联系数、反效应全 偏联系数、反相互作用偏联系数的算法更复杂， 限于篇幅，本文没有展开介绍，特此说明。 5) 偏联系数算法是一种新的智能算法。首 先，从信息利用的角度看，偏联系数算法有效地 挖掘了联系数中联系分量的动态信息，这种动态 信息反映出联系数所刻画的研究对象的本质。因 为客观事物总是处于动态变化之中，某一时刻相 对静止的宏观状态与这种状态在微观层次上的变 化趋势共存在一个系统中是所有研究对象的共同 属性，借助联系数的偏联系数计算，能够看到系 统在宏观静态下的微观动态，显然是一种智能； 其次，从系统的角度看，偏联系数算法揭示了对 象系统线性与非线性的关系，因为从形式上看， 联系数中的各个联系分量可以有序地放置在一根 水平轴上，具有明显的线性特征，但 式 (6)～ 式 (42) 表明，偏联系数所展示的图象是一幅非线 性图象；再次，从人工智能技术创新的角度看，基 ·872· 智 能 系 统 学 报 第 14 卷
第5期 杨红梅，等：偏联系数的计算与应用研究 ·873· 于偏联系数的聚类、模式识别、系统综合评价决 [2]赵克勤.集对分析及其初步应用M.杭州：浙江科学技 策与风险防控以及社交网络中的隐私保护研究！ 术出版社，2000. 也在一定意义上属于智能技术的范畴，偏联系数 [3]王文圣，李跃清，金菊良，等.水文水资源集对分析[M 算法因而是一种新的智能算法，需要作深人系统 北京：科学出版社，2010. 研究。 [4]杨红梅.基于联系数的梯形直觉与非直觉模糊决策算法 6)运动需要能量，无论这种运动处在宏观层 与应用.中北大学学报（自然科学版），2012,33(6) 次还是微观层次。偏联系数及其算法既然刻画了 688-694 YANG Hongmei.Operation and application of trapezoidal 联系数中联系分量之间的矛盾运动，人们自然会 intuitionistic fuzzy number and unintuitionistic fuzzy de- 问，驱使这种运动的能量又是什么性质的能量？ cision method based on correlate[J].Journal of North Uni- 回答是“信息能”。“信息能”是赵克勤在2015年 versity of China(Natural Science Edition),2012,33(6): 7月在杭州举办的第3期非传统安全集对分析研 688-694 学班上提出的一个概念，认为信息是物质和能量 [5]杨红梅.集对分析在我国经济增长模糊规则提取中的应 相互作用的产物，信息具有能量，称为信息能0。 用[J.运筹与管理，2013,22(3)：194-200 联系数是刻画研究对象某个特定状态的一个信息 YANG Hongmei.The application of set pair analysis in 系统，本身蕴含着一定的信息能，且具体蕴含在 fuzzy rule extraction of domestic economy growth[J].Op- 联系数中联系分量所在不同层次的系统结构中； erations research and management science,2013,22(3): 偏联系数及其算法在一定程度上开发了这种“信 194200 息能”，得到的结果让人们从系统的一组宏观状态 [6]杨红梅.基于二元联系数的三角模糊数直觉模糊集多属 参数中认识和掌握这种状态在微观层次上的演化 性决策[J.山西师范大学学报（自然科学版），2015， 趋势，从而把联系数中的“信息能”在一定程度上 29(2):13-19 转化成“智能”；但更多关于“信息能”转化成“智 YANG Hongmei.Multiple attribute decision making of tri- 能”的问题待深人研究。 angular fuzzy number intuitionistic fuzzy set based on two- element connection number[J].Journal of Shanxi Normal 7结束语 University (Natural Science Edition),2015,29(2):13-19. [7]赵克勤，赵森烽.奇妙的联系数M.北京：知识产权出版 联系数是一种结构函数，也是集对的特征函 社，2014. 数，具有系统和数的双重特性。偏联系数是联系 [8]刘秀梅，赵克勤.区间数决策集对分析M个.北京：科学出 数的一种伴随函数，其计算过程和计算结果刻画 版社，2014. 了联系数中全体联系分量在微观层次上的相互联 [9]蒋云良，赵克勤，刘以安，等.信息处理集对分析M.北 系、相互制约和相互生成的矛盾运动，具有丰富 京：清华大学出版社，2015. 的系统信息。本文从应用的角度梳理了二元到五 [10们]王万军，晏燕.不确定信息处理的集对分析研究与应用 元联系数的偏联系数计算，指出规范地计算一个 M.兰州：兰州大学出版社，2015 联系数的偏联系数是得出正确结果的一个前提， [11]汪明武，金菊良，周玉良.集对分析耦合方法与应用 文中给出的算法可以推广到n(n>5)元联系数的 M.北京：科学出版社，2014 [12]潘争伟，吴成国，金菊良.水资源系统评价与预测的集 偏联系数计算。此外，也简要地介绍了近期有关 对分析方法[M0.北京：科学出版社，2016 偏联系数的若干创新思路和创新算法。 [13]刘保相.粗糙集对分析理论与决策模型M).北京：科学 数学是人工智能的基础。偏联系数是一个新 出版社，2010 的数学概念，由于人工智能面临的实际问题众 [14]汪明武，金菊良.联系数理论与应用M.北京：科学出 多，偏联系数计算又是一种新的信息处理算法， 版社，2017 因而有许多问题需要作进一步的系统深入研究。 [15]蒋云良，赵克勤.人工智能集对分析M).北京：科学出 参考文献： 版社，2017 [16]赵克勤，米红.非传统安全与集对分析M.北京：知识 [1]赵克勤.集对分析对不确定性的描述和处理[】.信息与 产权出版社.2010 控制，1995,243)：162-166. [17刀蒋云良，徐从富.集对分析理论及其应用研究进展 ZHAO Keqin.Disposal and description of uncertainties 计算机科学，2006,33(1)：205-209 based on the set pair analysis[J].Information and control, JIANG Yunliang,XU Congfu.Advances in set pair ana- 1995,24(3):162-166. lysis theory and its applications.Computer science
于偏联系数的聚类、模式识别、系统综合评价决 策与风险防控以及社交网络中的隐私保护研究， 也在一定意义上属于智能技术的范畴，偏联系数 算法因而是一种新的智能算法，需要作深入系统 研究。 6) 运动需要能量，无论这种运动处在宏观层 次还是微观层次。偏联系数及其算法既然刻画了 联系数中联系分量之间的矛盾运动，人们自然会 问，驱使这种运动的能量又是什么性质的能量？ 回答是“信息能”。“信息能”是赵克勤在 2015 年 7 月在杭州举办的第 3 期非传统安全集对分析研 学班上提出的一个概念，认为信息是物质和能量 相互作用的产物，信息具有能量，称为信息能[15, 60]。 联系数是刻画研究对象某个特定状态的一个信息 系统，本身蕴含着一定的信息能，且具体蕴含在 联系数中联系分量所在不同层次的系统结构中； 偏联系数及其算法在一定程度上开发了这种“信 息能”，得到的结果让人们从系统的一组宏观状态 参数中认识和掌握这种状态在微观层次上的演化 趋势，从而把联系数中的“信息能”在一定程度上 转化成“智能”；但更多关于“信息能”转化成“智 能”的问题待深入研究。 7 结束语 n(n > 5) 联系数是一种结构函数，也是集对的特征函 数，具有系统和数的双重特性。偏联系数是联系 数的一种伴随函数，其计算过程和计算结果刻画 了联系数中全体联系分量在微观层次上的相互联 系、相互制约和相互生成的矛盾运动，具有丰富 的系统信息。本文从应用的角度梳理了二元到五 元联系数的偏联系数计算，指出规范地计算一个 联系数的偏联系数是得出正确结果的一个前提， 文中给出的算法可以推广到 元联系数的 偏联系数计算。此外，也简要地介绍了近期有关 偏联系数的若干创新思路和创新算法。 数学是人工智能的基础。偏联系数是一个新 的数学概念，由于人工智能面临的实际问题众 多，偏联系数计算又是一种新的信息处理算法， 因而有许多问题需要作进一步的系统深入研究。 参考文献： 赵克勤. 集对分析对不确定性的描述和处理 [J]. 信息与 控制, 1995, 24(3): 162–166. ZHAO Keqin. Disposal and description of uncertainties based on the set pair analysis[J]. Information and control, 1995, 24(3): 162–166. [1] 赵克勤. 集对分析及其初步应用 [M]. 杭州: 浙江科学技 术出版社, 2000. [2] 王文圣, 李跃清, 金菊良, 等. 水文水资源集对分析 [M]. 北京: 科学出版社, 2010. [3] 杨红梅. 基于联系数的梯形直觉与非直觉模糊决策算法 与应用 [J]. 中北大学学报(自然科学版), 2012, 33(6): 688–694. YANG Hongmei. Operation and application of trapezoidal intuitionistic fuzzy number and unintuitionistic fuzzy decision method based on correlate[J]. Journal of North University of China (Natural Science Edition), 2012, 33(6): 688–694. [4] 杨红梅. 集对分析在我国经济增长模糊规则提取中的应 用 [J]. 运筹与管理, 2013, 22(3): 194–200. YANG Hongmei. The application of set pair analysis in fuzzy rule extraction of domestic economy growth[J]. Operations research and management science, 2013, 22(3): 194–200. [5] 杨红梅. 基于二元联系数的三角模糊数直觉模糊集多属 性决策 [J]. 山西师范大学学报(自然科学版), 2015, 29(2): 13–19. YANG Hongmei. Multiple attribute decision making of triangular fuzzy number intuitionistic fuzzy set based on twoelement connection number[J]. Journal of Shanxi Normal University (Natural Science Edition), 2015, 29(2): 13–19. [6] 赵克勤, 赵森烽. 奇妙的联系数 [M]. 北京: 知识产权出版 社, 2014. [7] 刘秀梅, 赵克勤. 区间数决策集对分析 [M]. 北京: 科学出 版社, 2014. [8] 蒋云良, 赵克勤, 刘以安, 等. 信息处理集对分析 [M]. 北 京: 清华大学出版社, 2015. [9] 王万军, 晏燕. 不确定信息处理的集对分析研究与应用 [M]. 兰州: 兰州大学出版社, 2015. [10] 汪明武, 金菊良, 周玉良. 集对分析耦合方法与应用 [M]. 北京: 科学出版社, 2014. [11] 潘争伟, 吴成国, 金菊良. 水资源系统评价与预测的集 对分析方法 [M]. 北京: 科学出版社, 2016. [12] 刘保相. 粗糙集对分析理论与决策模型 [M]. 北京: 科学 出版社, 2010. [13] 汪明武, 金菊良. 联系数理论与应用 [M]. 北京: 科学出 版社, 2017. [14] 蒋云良, 赵克勤. 人工智能集对分析 [M]. 北京: 科学出 版社, 2017. [15] 赵克勤, 米红. 非传统安全与集对分析 [M]. 北京: 知识 产权出版社, 2010. [16] 蒋云良, 徐从富. 集对分析理论及其应用研究进展 [J]. 计算机科学, 2006, 33(1): 205–209. JIANG Yunliang, XU Congfu. Advances in set pair analysis theory and its applications[J]. Computer science, [17] 第 5 期 杨红梅，等：偏联系数的计算与应用研究 ·873·
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