·846· 智能系统学报 第14卷 证明因为平凡强滤子B有最小元0，所以 了集合P中。这一定理把难懂的Stone定理说得 只需对真强滤子进行证明。 简单明白而且说到本质。Stone定理之所以重要， 任给一个真强滤子F,对它建立一个假定：F 就是因为它把事物是非的“是”等同于隶属的“属”， 中不存在最小元。 这体现了概念内涵与外延的一致性，是任何逻辑体 任取pP1∈F,因它不是最小元，必有p2∈F,使 系都必须满足的，哪一个逻辑体系不满足Stone定 得p2<P1。因p2不是最小元，必有p3∈F,使有 理，哪一个逻辑体系就要被否决。因而，这个定理 P3<P2。如此继续下去形成一个B中的全序子 成了检验新逻辑系统的一块试金石。而Stone定理 链，其长度可以大于任意给定的整数。但是有限 的核心是表现论域。王国俊先生和他的学生们的 原始命题生成的公式不可能出现任意长的全序子 工作之所以杰出，就是因为他们都明确地使用和定 链，矛盾，可见假定错误。证毕。 义了各自的表现论域。 显而易见，若F有最小元，则它在相等的意 命题3表现论域的构造。设n元布尔代数 义下是唯一的。 B的原子公式集是S={p4,P2,…,P,则表现论域 定义2强滤子的最小元叫做它的滤尾。 的元素是一切可能出现的n字组： 命题2n元布尔代数中真强滤子是极大的 U={xA2A…Ax=P或一p0=1,2,…,m） 充分必要条件是：它的滤尾是B中的次小元。 证明给定a=xAxA…Axm若有公式q<xA 证明下面将提到的p与p分别是真滤子F A…Axm,则必有比a小的公式r,使有q=rAao 和F的滤尾。显然p与p都不是最小元0。 考虑，的析取范式，其中任何一项b都必须 F是极大真强滤子当且仅当不存在另一个真 是一个比a小的字组aAy2Ayw=P或 强滤子F包含F。这当且仅当(p<p→p=0), p)。若对所有j=1,2,…,k,都有x0=y0,则 亦即p是B中的次小元。证毕。 b≥a从而r≥a,不合要求。故必有j使x≠ 定义3记U为n元布尔代数B中次小元的 这时，n且y0=p0或者0=一P且yU0=P,必 集合，U叫做布尔代数B的表现论域。 有xA)=0,从而aAb=0。任意字组都如此， 表现论域是按照强滤子来定义的。强滤子所 便有aAT=0。对任意比a小的D都有aAr=0, 具有的尾敛性是拓扑学中邻域系的典型特征。在 则g=rAa=0,这说明a是次小元。 有限情形下，它保证了滤尾的存在，在无限情形 反之，设a是B的次小元，它的析取范式只 下保证了强滤子向一点的收缩。它始终保证强滤 能包含一个字组。在这个字组中若缺少一项，则 子像一颗炮弹，在有限情形下有弹尖（滤尾），在无 必能找到一个比它小的元，这个元只需对它的缺 限情形下有尖口（极限点）。非强滤子由于没有尾 项安上一个字。证毕 敛性，它就不是一个弹头而是多弹头的并。不难 例1设B是一元布尔代数，具有单字集 证明，B中全体滤子所成的集合中乃是强滤子所 S={以。由一个单字所构成的公式集在相等的意 成集合F的幂：=2F。 义下只包含4个公式： Stone拓扑表示定理说布尔代数B与中同构， B={0,P,p,1} 对有限布尔代数来说，就有下面的简化定理： B包含两个次小元p和一p,它们分别与两个 Stone简化定理任何一个n元布尔代数 极大强真滤子相对应：F,={p,1,F2={一p,1。 B=(B,V,八，)与集合代数P(U)=(2',U,∩，C)同构 所以，B的表现论域是U=(p,p)。2” 或、且、非的逻辑运算转化为集合的并、交、余运 pA(一p)=0p,ppV(p)=1。显然B与2"同构。 算。这里，U是B的表现论域。 例2设B是二元布尔代数具有双字集 证明命题2说明F与U是一一对应的。 S=p,q。由两个字所构成的公式集在相等的意 所以，根据Stone表示定理，2”与2、中、B之间也 义下包含16个公式： 都是一一对应的。B中公式的析取、合取、否定 B=(0.pq.p'q.pq'.p'g.pqv p'q=9, pqv pq'=p.pqv p'g',p'qv pq', 运算显然与U中集合的并、交、余运算同态。证毕。 p'qv p'q'=p.pq'vp'q=9, Stone简化定理把B的次小元集合U找出来， pqv p'qv p'q'=pqv p'. 用U中的元素当作变元x,用U的子集表示概念， pqvp'qv pq=qvpq', pqvp'qvp'q =pqvp'. 把B变成2“，实现了逻辑或、且、非与集合并、交、 pqv pq'v pq=pqv pqv pq', 余运算的统一。任何公式p都对应着一个集合P, p'qvpq'vp'q'=p'qvq. 叫做它的真集。谓词p(x)真当且仅当变元x进到 pqvp'qvp'q'v p'q'=1)证明 因为平凡强滤子 B 有最小元 0，所以 只需对真强滤子进行证明。 任给一个真强滤子 F ，对它建立一个假定： F 中不存在最小元。 p1 ∈ F p2 ∈ F p2 < p1 p2 p3 ∈ F p3 < p2 B 任取 ，因它不是最小元，必有 ，使 得 。因 不是最小元，必有 ，使有 。如此继续下去形成一个 中的全序子 链，其长度可以大于任意给定的整数。但是有限 原始命题生成的公式不可能出现任意长的全序子 链，矛盾，可见假定错误。证毕。 显而易见，若 F 有最小元，则它在相等的意 义下是唯一的。 定义 2 强滤子的最小元叫做它的滤尾。 n B 命题 2 元布尔代数中真强滤子是极大的 充分必要条件是：它的滤尾是 中的次小元。 p p ′ F F ′ p p ′ 证明 下面将提到的 与 分别是真滤子 和 的滤尾。显然 与 都不是最小元 0。 F F ′ F p ′ < p ⇒ p ′ = 0 p B 是极大真强滤子当且仅当不存在另一个真 强滤子 包含 。这当且仅当 ( )， 亦即 是 中的次小元。证毕。 U n B U B 定义 3 记 为 元布尔代数 中次小元的 集合， 叫做布尔代数 的表现论域。 B ϕ F ϕ=2 F 表现论域是按照强滤子来定义的。强滤子所 具有的尾敛性是拓扑学中邻域系的典型特征。在 有限情形下，它保证了滤尾的存在，在无限情形 下保证了强滤子向一点的收缩。它始终保证强滤 子像一颗炮弹，在有限情形下有弹尖 (滤尾)，在无 限情形下有尖口 (极限点)。非强滤子由于没有尾 敛性，它就不是一个弹头而是多弹头的并。不难 证明， 中全体滤子所成的集合 乃是强滤子所 成集合 的幂: 。 Stone 拓扑表示定理说布尔代数 B 与 ϕ 同构， 对有限布尔代数来说，就有下面的简化定理： n B = (B,∨,∧,¬) P(U) = (2U ,∪,∩,C) U B Stone 简化定理 任何一个 元布尔代数 与集合代数 同构， 或、且、非的逻辑运算转化为集合的并、交、余运 算。这里， 是 的表现论域。 F U 2 U 2 F ϕ B B U 证明 命题 2 说明 与 是一一对应的。 所以，根据 Stone 表示定理， 与 、 、 之间也 都是一一对应的。 中公式的析取、合取、否定 运算显然与 中集合的并、交、余运算同态。证毕。 B U U x U B 2 U p P p(x) x Stone 简化定理把 的次小元集合 找出来， 用 中的元素当作变元 ，用 的子集表示概念， 把 变成 ，实现了逻辑或、且、非与集合并、交、 余运算的统一。任何公式 都对应着一个集合 ， 叫做它的真集。谓词 真当且仅当变元 进到 了集合 P 中。这一定理把难懂的 Stone 定理说得 简单明白而且说到本质。Stone 定理之所以重要， 就是因为它把事物是非的“是”等同于隶属的“属”， 这体现了概念内涵与外延的一致性，是任何逻辑体 系都必须满足的，哪一个逻辑体系不满足 Stone 定 理，哪一个逻辑体系就要被否决。因而，这个定理 成了检验新逻辑系统的一块试金石。而 Stone 定理 的核心是表现论域。王国俊先生和他的学生们的 工作之所以杰出，就是因为他们都明确地使用和定 义了各自的表现论域。 n B S = {p1, p2,··· , pn} n 命题 3 表现论域的构造。设 元布尔代数 的原子公式集是 ，则表现论域 的元素是一切可能出现的 字组： U = { x1 ∧ x2 ∧ ··· ∧ xn   xj = pj或¬pj(j = 1,2,··· ,n) } a = x1 ∧ x2 ∧ ··· ∧ xn q < x1∧ x2 ∧ ··· ∧ xn a r q = r∧a 证明 给定 ，若有公式 ，则必有比 小的公式 ，使有 。 r b a y(1) ∧y(2) ∧ ··· y(k) y(j) = p(j) ¬p(j) j = 1,2,··· , k x(j) = y(j) b ⩾ a r ⩾ a j x(j) , y(j) n y(j) = ¬p(j) x(j) = ¬p(j) y(j) = p(j) x(j) ∧y(j) = 0 a∧b = 0 a∧r = 0 a D a∧r = 0 q = r∧a = 0 a 考虑 的析取范式，其中任何一项 都必须 是一个比 小的字组 ( 或 )。若对所有 ，都有 ， 则 从而 ，不合要求。故必有 使 ， 这时， 且 或者 且 ，必 有 ，从而 。任意字组都如此， 便有 。对任意比 小的 都有 ， 则 ，这说明 是次小元。 反之，设 a 是 B 的次小元，它的析取范式只 能包含一个字组。在这个字组中若缺少一项，则 必能找到一个比它小的元，这个元只需对它的缺 项安上一个字。证毕 B S = {p} 例 1 设 是一元布尔代数，具有单字集 。由一个单字所构成的公式集在相等的意 义下只包含 4 个公式： B = {0, p,¬p,1} p ¬p F1 = {p,1} F2 = {¬p,1} B 包含两个次小元 和 ，它们分别与两个 极大强真滤子相对应： ， 。 B U = (p,¬p) 2 U = {p∧(¬p) = 0, p,¬p, p∨(¬p) = 1} B 2 U 所以， 的表现论域是 。 l 。显然 与 同构。 B S = {p,q} 例 2 设 是二元布尔代数具有双字集 。由两个字所构成的公式集在相等的意 义下包含 16 个公式： B = {0, pq, p ′q, pq′ , p ′q ′ , pq∨ p ′q = q , pq∨ pq′ = p, pq∨ p ′q ′ , p ′q∨ pq′ , p ′q∨ p ′q ′ = p ′ , pq′ ∨ p ′q ′ = q ′ , pq∨ p ′q∨ p ′q ′ = pq∨ p ′ , pq∨ p ′q∨ pq′ = q∨ pq′ , pq∨ p ′q∨ p ′q ′ = pq∨ p ′ , pq∨ pq′ ∨ pq′ = pq∨ pq′ ∨ pq′ , p ′q∨ pq′ ∨ p ′q ′ = p ′q∨q ′ , pq∨ p ′q∨ p ′q ′ ∨ p ′q ′ = 1} ·846· 智 能 系 统 学 报 第 14 卷