第5期 汪培庄，等：因素表示的信息空间与广义概率逻辑 ·847· 这里，pq表示pA9,pq表示(p)A9,B含有4个 同一对象的原则。只有不同因素之间才可能产生 次小元p9、pq、P叫、Pg,它们分别对应于4个极 推理，因为它们可以附着在同一个对象上。不用 大真强滤子：F1={pq,P,4,1),F2={p4p,41, 因素句无法进行多变量的谓词演算。 F3=(pg,p,q,1,F4={pq,p',q,1。 我们希望搞辩证逻辑，辩证法的核心是要具 所以，B的表现论域是U={pq,pqpg,pq1, 体问题具体分析，什么是具体分析呢？就是要对 2"会生成与上面相同的16个公式显然。B与2 问题的内在和外在的因素进行分析。在谓词逻辑 同构。 中把变元进一步写成因素是逻辑发展的新机。 一般地说，若B是由n字集S={p1,P2,…,P} 逻辑是对事物的性质进行是非判断的科学， 所构成的布尔代数，则有2"个B的次小元构成表 它要离开具体事物的性质而抽象出是非判断的一 现论域U,此时，B包含2的2”次方个公式，与2” 般规律，但抽象离不开现实，要想使逻辑更加有 同构。 效地解决实际问题，需要开辟逻辑返回世界的接 从二值逻辑到多值逻辑，所有新的理论都要 口。表现论域U就是这个接口，它是变元活动的 推广Stone拓扑表现定理，这是考验新逻辑理论 空间。若把变元看作因素，U就是因素空间，以 的一块试金石。我们需要做什么工作呢？首先， 因素空间做表现论域的逻辑就是因素逻辑。 要去掉有限布尔代数的限制，使Stone简化定理 给定一个因素空间1F=(D,F={f,f,…,f),对 的面扩大，然后，要证明一个普适性的广义 于不同的因素f,其相值要采用彼此相区别的 Stone简化定理。若有一个能够一劳永逸地解决 符号。 Stone简化定理推广的理论，就可以加速新理论的 定义4在1上的二值因素逻辑系统L是 发展。比如，抓住U=S",当W={0,1)时Stone简 这样来规定的： 化定理成立，要证对任意W(三值、多值、连续 1)它的符号集是字集S=If)UIf)UI(f) 值)Stone简化定理都成立。对于模态逻辑，量词 加上符号1,0以及括号： 逻辑类似。 2)它的公式集F(S)是由S所生成的布尔代 23谓词演算中的变元争议与因素逻辑 数(F(S),V,A,),所有的字叫作原始公式； 在命题演算中我们曾经强调过，由我是中国 3)它的公理集是布尔逻辑的公理集再补充以 人推不出安倍是亚洲人。推理句中的前后两个命 下假设公理T: 题必须是同一个对象。在谓词逻辑中也应该坚持 「1字姓公理：称I(f)={1,x2,…,xx}中的字 同对象推理的原则，毫无联系的两个对象之间是 为第i家字。有 不能推理的。 xn VxV...ViK =1;=0();(negxak V 常会遇见下面的推理句：若气温高则降雨 {xxlk≠k}: 量大 「2背景公理：存在一个公式r∈F(S)叫作背 高→大例 景式，有p→pAr且pAr→pNp∈F(S),若系统 这里x与y分别表示气温和降雨量这两个不 Ly不指明r,则意味着r=1。 同的因素，是否违背推理的对象必须相同的原则 4)真值集是二值布尔代数W2:W2={0,1}= 呢？那要看这两个因素是否作用在同一对象上。 {0,1},V,A,}o 气温与降雨量必须是同一地区的。广州的气温高 5)推理规则：MP:{p,p→q-qo 不能推出黑龙江的降雨量大，x与y必须附着在 这个定义的意思是这样：任何逻辑系统都包 同一个地区。这里，x=x(d,y=y(d),只要归结到 含5个要素，即符号集S、公式集F(S)、公理集 相同的对象，变元都是d的函数，仍然符合同对 ∑、真值集W和推理规则（集）。逻辑系统可通过 象推理的原则。 附加一组公理，叫作假设公理集下而衍生出一个 变元x和y是这样的函数，它们都把对象映 子系统，在原系统中的定理都是子系统的定理， 射成属性或状态，这样的映射就是因素。因素在 而某些在原系统中不是定理的推理句中却可能变 数学上被定义成把对象映成属性的映射。所以， 成子系统的新定理，如果U中。这个子系统中 多变元推理中的变元必须是因素。 的定理叫作「-定理，如果满足强完满定理： 若对象是张三，如果他的智商x高，学习态度 y努力，则他的学习成绩z优异。这些不同变元 Tk中if=b 之间的推理，都是因素之间的因果推理，都符合 则这个子系统中的定理叫做强「-定理。pq p∧q p ′q (¬p)∧q,···B pq p ′q pq′ p ′q ′ F1 = {pq, p,q,1} F2 = {p ′q, p ′ ,q,1} F3 = {pq′ , p,q ′ ,1} F4 = {p ′q ′ , p ′ ,q ′ ,1} 这里， 表示 ， 表示 含有 4 个 次小元 、 、 、 ，它们分别对应于 4 个极 大真强滤子： , , , 。 U = {pq, p ′q, pq′ , p ′q ′ } 2 U 2 U 所以， B 的表现论域是 ， 会生成与上面相同的 16 个公式显然。B 与 同构。 B n S = {p1, p2,··· , pn} 2 n B U B 2 U 一般地说，若 是由 字集 所构成的布尔代数，则有 个 的次小元构成表 现论域 ，此时， 包含 2 的 2n 次方个公式，与 同构。 U = S W W = {0,1} W 从二值逻辑到多值逻辑，所有新的理论都要 推广 Stone 拓扑表现定理，这是考验新逻辑理论 的一块试金石。我们需要做什么工作呢？首先, 要去掉有限布尔代数的限制，使 Stone 简化定理 的面扩大，然后，要证明一个普适性的广 义 Stone 简化定理。若有一个能够一劳永逸地解决 Stone 简化定理推广的理论，就可以加速新理论的 发展。比如，抓住 ，当 时 Stone 简 化定理成立，要证对任意 (三值、多值、连续 值)Stone 简化定理都成立。对于模态逻辑，量词 逻辑类似。 2.3 谓词演算中的变元争议与因素逻辑 在命题演算中我们曾经强调过，由我是中国 人推不出安倍是亚洲人。推理句中的前后两个命 题必须是同一个对象。在谓词逻辑中也应该坚持 同对象推理的原则，毫无联系的两个对象之间是 不能推理的。 常会遇见下面的推理句：若气温高则降雨 量大 高 (x) → 大 (y) x y x y x = x(d) y = y(d) d 这里 与 分别表示气温和降雨量这两个不 同的因素，是否违背推理的对象必须相同的原则 呢？那要看这两个因素是否作用在同一对象上。 气温与降雨量必须是同一地区的。广州的气温高 不能推出黑龙江的降雨量大， 与 必须附着在 同一个地区。这里， ， ，只要归结到 相同的对象，变元都是 的函数，仍然符合同对 象推理的原则。 变元 x 和 y 是这样的函数，它们都把对象映 射成属性或状态，这样的映射就是因素。因素在 数学上被定义成把对象映成属性的映射。所以， 多变元推理中的变元必须是因素。 x y z 若对象是张三，如果他的智商 高，学习态度 努力，则他的学习成绩 优异。这些不同变元 之间的推理，都是因素之间的因果推理，都符合 同一对象的原则。只有不同因素之间才可能产生 推理，因为它们可以附着在同一个对象上。不用 因素句无法进行多变量的谓词演算。 我们希望搞辩证逻辑，辩证法的核心是要具 体问题具体分析，什么是具体分析呢？就是要对 问题的内在和外在的因素进行分析。在谓词逻辑 中把变元进一步写成因素是逻辑发展的新机。 U U 逻辑是对事物的性质进行是非判断的科学， 它要离开具体事物的性质而抽象出是非判断的一 般规律，但抽象离不开现实，要想使逻辑更加有 效地解决实际问题，需要开辟逻辑返回世界的接 口。表现论域 就是这个接口, 它是变元活动的 空间。若把变元看作因素， 就是因素空间，以 因素空间做表现论域的逻辑就是因素逻辑。 IF = (D,F = {f1, f2,··· , fn}) fj 给定一个因素空间 ，对 于不同的因素 ，其相值要采用彼此相区别的 符号。 定义 4 在 IF 上的二值因素逻辑系统 Lf 是 这样来规定的： 1）它的符号集是字集 S = I(f1)∪ I(f2)··· ∪ I(fn) 加上符号 1,0 以及括号； F(S ) S (F(S ),∨,∧,¬) 2) 它的公式集 是由 所生成的布尔代 数 ，所有的字叫作原始公式； Γ 3) 它的公理集是布尔逻辑的公理集再补充以 下假设公理 ： Γ1 I(fi) = {xi1, xi2,··· , xiK} i 字姓公理：称 中的字 为第 家字。有 xi1∨xi2∨···∨xiK = 1 xik∧xik′ = 0 (k , k ′ ) { negxik = ∨ { xik′   k ′ , k } } ； ； ； Γ2 r ∈ F(S ) p → p∧r 且 p∧r → p (∀p ∈ F(S )) Lf r r = 1 背景公理：存在一个公式 叫作背 景式，有 ，若系统 不指明 ，则意味着 。 W2 = {0,1} = {{0,1},∨,∧,¬} 4) 真值集是二值布尔代数 W2： 。 MP : {p, p → q}    5) 推理规则： −q。 S F(S ) ∑ W Γ ϕ Σ∪Γ⊢ϕ Γ− 这个定义的意思是这样：任何逻辑系统都包 含 5 个要素，即符号集 、公式集 、公理集 、真值集 和推理规则 (集)。逻辑系统可通过 附加一组公理，叫作假设公理集 而衍生出一个 子系统，在原系统中的定理都是子系统的定理， 而某些在原系统中不是定理的推理句 却可能变 成子系统的新定理，如果 。这个子系统中 的定理叫作 定理，如果满足强完满定理： Γ ⊢ ϕ iff Γ| = ϕ 则这个子系统中的定理叫做强 Γ− 定理。 第 5 期 汪培庄，等：因素表示的信息空间与广义概率逻辑 ·847·