·848· 智能系统学报 第14卷 L的假设公理是由两组公理给出。字姓 是p的真集，叫作p的有效真集。 公理「，强调字是因素的相，不同因素的字是不同 考虑推理句“若气温x高(P)则降雨量y大 姓的。字姓公理保证同姓字之间遵守布尔逻辑关 (Q)”,其中的x和y是两个不同的因素，它们的信 系。其中x秋Λ秋=0k≠)要求在每一字组中每 息空间记为X=I(x)和Y=Iy),P、Q分别是X、Y 家不许出两个以上的字，否则就出现矛盾。例 中的两个区间。要进行推理，必须对这两个区间 如，x=色红且色绿且质嫩且味鲜，就是一个矛盾 向二维空间XxY做柱体扩张，得到两个长条 式。相对于综合因素F而言，字是单因素的 P×Y和X×Q,记住实际有意义的论域是背景集 相，它是原始公式却不是最小相，字的合取 R,记P=(P×)nR和Q=(X×Q)nR。要想证明 x=心2…x才是最小相。例如，红、大、嫩、 “若p()则qy)”,必需有P二Q,这个包含关系 鲜分别是颜色、个子、质地、口感等4个因素的 一般是不会成立的，除非背景关系R把P^/Q(图1 相，它们都是字，都是原始公式，但都不代表因素 中带阴影的区域)完全排斥在其外部。 空间的原子内涵，它们的合取x=“红大嫩鲜”才 是一个原子内涵。 背景公理「2强调因素逻辑最重要的特征，这 PxO 就是背景关系。因素空间的背景是这样定义 R 的G:设(D,F={f,,…,f》是论域D上的因素空 间，对任意i=1,2,…,n,f:D→1f)={a,a2,…,ax, 这里指对象在第i因素下的第k种信息值 图1因素推理的直观模型 (相、属性或状态)k=1,2,…,),对最简因素布尔 Fig.1 Illustration of factorial reasoning 代数而言，K=2。一个因素不一定只有两相而可 非因素的布尔代数没有背景一说，所讨论的 能有多相，但无论是两相还是多相，a()都表示 背景R就是U本身。从因素空间的观点来看，因 逻辑真值，即u对a:的隶属度。f)叫作因素 素与因素之间是相互影响和制约的，这种关系就 的相域或信息空间。记 由背景集R来表示。如果所考虑的n个因素是独 I=Ifi)×I(f)×…×Ifn)= 立的它们的组态是完全自由的，则R=U;否则， aa,a12…,ar)a∈If0i=1,2,…,n）} 某些状态组合是不可能出现的，则R就不等于U 式中a叫作信息组态，若不存在d∈D,使 了。因素逻辑给逻辑带来的第一个礼物就是逻辑 f(d)=aoi=1,2,…,m),则称P=(P×)nR是一个 的背景。它使逻辑能够反映因素的相互影响，这 虚组态，否则称为一个原子信息。全体原子信息 种影响体现了逻辑运用的场景和环境。 的集合R形成I的一个子集，叫做因素空间的背 3结构一功能分析与语法-语用对接 景，它是诸因素信息空间的实际乘积空间。 为什么会有虚的信息组态呢？因为因素之间 布尔逻辑可以用电路来表现，每个字代表一 存在着相互联系与制约。譬如，气温与降雨量这 个电器开关。每一个n元公式都代表一个n开关 两个因素在平面的联合分布就形成一个背景集 的电路。等效的电路与布尔代数之间形成一种同 R,显示一种正变关系，极低气温不可能接受高降 构对应。这种对应叫作结构-功能对应。结构指 雨量。所以，（极低温，高降雨量）就是虚搭配，R 的是开关的线路结构，功能指的是逻辑的判别功 就不能容许虚搭配在其中出现，它只能包含像 能。等效的公式有很多，等效的线路也有很多， (低温，低降雨量)、（中温，中降雨量）、（高温，高降 经典的逻辑理论要研究最小化问题，就是根据一张 雨量)等这样一类信息组态。此时，R的几何形状 赋值表，从中找出一个公式使所对应的线路最 就被想象为一个泡胀了的上升曲线，反映气温与 简单。 降雨量之间呈一种正变的关系。 定义5若q→p=1则称q是p的蕴涵式。 背景关系R是背景公式r的真集。背景公理 若q是p的蕴涵式且在F(S)中不存在p的任何 强调，的特殊重要性：所有命题的真伪都只依赖 其他蕴涵式q>q,则称q是p的素蕴涵式。 于它在r的真集R之内的形象，与R外的形象无 命题4公式p的最小化是与它等效的一个 关。或者说，因素逻辑的公式集合是F,(S)= 析取范式，式中的每一项都是它的素蕴涵式。 {pArp∈F(S)。若P是公式p的真集，则PnR也 最小化理论将语法的结构和逻辑的语义功能Lf Γ Γ1 xik ∧ xik′ = 0(k , k ′ ) x = F x = xi(1)xi(2) ··· xn(n) x = 的假设公理 是由两组公理给出。字姓 公理 强调字是因素的相，不同因素的字是不同 姓的。字姓公理保证同姓字之间遵守布尔逻辑关 系。其中 要求在每一字组中每 家不许出两个以上的字，否则就出现矛盾。例 如， 色红且色绿且质嫩且味鲜，就是一个矛盾 式。相对于综合因素 而言，字是单因素的 相，它是原始公式却不是最小相，字的合取 才是最小相。例如，红、大、嫩、 鲜分别是颜色、个子、质地、口感等 4 个因素的 相，它们都是字，都是原始公式，但都不代表因素 空间的原子内涵，它们的合取 “红大嫩鲜”才 是一个原子内涵。 Γ2 (D,F = {f1, f2,··· , fn}) D i = 1,2,··· ,n fi : D → I(fi) ={ai1,ai2,··· ,aiK} aik i k (k = 1,2,··· ,K) K = 2 aik(u) u aik I(fi) fi 背景公理 强调因素逻辑最重要的特征，这 就是背景关系。因素空间的背景是这样定义 的 [16−18] ：设 是论域 上的因素空 间，对任意 ， ， 这里 指对象在第 因素下的第 种信息值 (相、属性或状态) ，对最简因素布尔 代数而言， 。一个因素不一定只有两相而可 能有多相，但无论是两相还是多相， 都表示 逻辑真值，即 对 的隶属度。 叫作因素 的相域或信息空间。记 I = I(f1)× I(f2)× ··· × I(fn) = { a1(1),a1(2),··· ,an(n)   aik ∈ I(fi)(i = 1,2,··· ,n) } a d ∈ D fi(d) = ai(i)(i = 1,2,··· ,n) P = (P×Y)∩R R I 式 中 叫作信息组态，若不存在 , 使 ，则称 是一个 虚组态，否则称为一个原子信息。全体原子信息 的集合 形成 的一个子集，叫做因素空间的背 景，它是诸因素信息空间的实际乘积空间。 R R R 为什么会有虚的信息组态呢？因为因素之间 存在着相互联系与制约。譬如，气温与降雨量这 两个因素在平面的联合分布就形成一个背景集 ，显示一种正变关系，极低气温不可能接受高降 雨量。所以，(极低温，高降雨量) 就是虚搭配， 就不能容许虚搭配在其中出现，它只能包含像 (低温，低降雨量)、(中温，中降雨量)、(高温，高降 雨量) 等这样一类信息组态。此时， 的几何形状 就被想象为一个泡胀了的上升曲线，反映气温与 降雨量之间呈一种正变的关系。 R r r r Fr (S ) = {p∧r|p ∈ F (S )} P p P∩R 背景关系 是背景公式 的真集。背景公理 强调 的特殊重要性：所有命题的真伪都只依赖 于它在 的真集 R 之内的形象，与 R 外的形象无 关。或者说，因素逻辑的公式集合是 。若 是公式 的真集，则 也 是 p 的真集，叫作 p 的有效真集。 x (P) y (Q) x y X = I(x) Y = I(y) P Q X Y X ×Y P×Y X × Q, R P = (P×Y)∩R Q ∧ = (X × Q)∩R p(x) q(y) P ∧ ⊆ Q ∧ R P ∧ /Q ∧ 考虑推理句“若气温 高 则降雨量 大 ”，其中的 和 是两个不同的因素，它们的信 息空间记为 和 ， 、 分别是 、 中的两个区间。要进行推理，必须对这两个区间 向二维空间 做柱体扩张，得到两个长条 和 记住实际有意义的论域是背景集 ，记 和 。要想证明 “若 则 ”，必需有 ，这个包含关系 一般是不会成立的，除非背景关系 把 (图 1 中带阴影的区域) 完全排斥在其外部。 X P Q Y P×Q R 图 1 因素推理的直观模型 Fig. 1 Illustration of factorial reasoning R U R n R = U R U 非因素的布尔代数没有背景一说，所讨论的 背景 就是 本身。从因素空间的观点来看，因 素与因素之间是相互影响和制约的，这种关系就 由背景集 来表示。如果所考虑的 个因素是独 立的它们的组态是完全自由的，则 ；否则， 某些状态组合是不可能出现的，则 就不等于 了。因素逻辑给逻辑带来的第一个礼物就是逻辑 的背景。它使逻辑能够反映因素的相互影响，这 种影响体现了逻辑运用的场景和环境。 3 结构−功能分析与语法−语用对接 n n 布尔逻辑可以用电路来表现，每个字代表一 个电器开关。每一个 元公式都代表一个 开关 的电路。等效的电路与布尔代数之间形成一种同 构对应。这种对应叫作结构−功能对应。结构指 的是开关的线路结构，功能指的是逻辑的判别功 能。等效的公式有很多，等效的线路也有很多， 经典的逻辑理论要研究最小化问题，就是根据一张 赋值表，从中找出一个公式使所对应的线路最 简单。 q → p = 1 q p q p F (S ) p q ′ > q q p 定义 5 若 则称 是 的蕴涵式。 若 是 的蕴涵式且在 中不存在 的任何 其他蕴涵式 ，则称 是 的素蕴涵式。 命题 4 公式 p 的最小化是与它等效的一个 析取范式，式中的每一项都是它的素蕴涵式。 最小化理论将语法的结构和逻辑的语义功能 ·848· 智 能 系 统 学 报 第 14 卷