微分流形上微分学—流形上的微分运算一Le导数 谢锡麟 考虑单位球面的向量值映照表示 1)2 可有 DS( Y 0 √1-(Y)2 2√1-(Y)2 所以 ()=(+ Yiyi 1)2..(ym-1/e(m-1)x(m-1) Gauss映照在参数域间的表示为 Xm-I Xn OxI 1+ aX 单位球面上体积形式在其参数域上的表示为√9YdY1A…AdYm-2,其中 YYJ -(y1)2-..-7 计算 v(√9(Y)dY1A…∧dYm-)=√(Y(x) ( O(x,…,xm-)(x)Ax2A…Adxm-1,微分流形上微分学 微分流形上微分学 —— 流形上的微分运算— Lie 导数 谢锡麟 考虑单位球面的向量值映照表示 S(   Y 1 . . . Y m−1   ) :   Y 1 . . . Y m−1   7→ S(   Y 1 . . . Y m−1   ) =   Y 1 . . . Y m−1 √ 1 − (Y 1) 2 − · · · − (Y m−1) 2   ∈ R m, 可有 DS(   Y 1 . . . Y m−1   ) = ( ∂S ∂Y 1 · · · ∂S ∂Y m−1 ) =   1 · · · 0 . . . . . . 0 · · · 1 −Y 1 √ 1 − (Y 1) 2 − · · · − (Y m−1) 2 · · · −Y m−1 √ 1 − (Y 1) 2 − · · · − (Y m−1) 2   , 所以 ( gij) (Y ) = ( δij + Y iY j √ 1 − (Y 1) 2 − · · · − (Y m−1) 2 ) ∈ R (m−1)×(m−1) . Gauss 映照在参数域间的表示为 ψ(   X1 . . . Xm−1   ) : Bλ(   X1 0 . . . X m−1 0   ) ∋   X1 . . . Xm−1   7→ ψ(   X1 . . . Xm−1   ) = 1 √ 1 + ( ∂f ∂X1 )2 + · · · + ( ∂f ∂Xm−1 )2   − ∂f ∂X1 . . . − ∂f ∂Xm−1   (   X1 . . . Xm−1   ), 单位球面上体积形式在其参数域上的表示为 √g(Y )dY 1 ∧ · · · ∧ dY m−1 , 其中 √ g(Y ) = √ det ( δij + Y iY j √ 1 − (Y 1) 2 − · · · − (Y m−1) 2 ) . 计算 ψ ∗ ( √ g(Y )dY 1 ∧ · · · ∧ dY m−1 ) = √ g(Y (x)) ∂(Y 1 , · · · , Y m−1 ) ∂(X1, · · · , Xm−1) (X)dX1 ∧ · · · ∧ dXm−1 , 21