微分流形上微分学—流形上的微分运算—Lie导数 谢锡麟 可有 ∑( 0 af ∈R 由此可有 )x(0() =Im-1+(Df)2 af af ∈R(m=1)×(m-1 X aXJ 另考虑法向量方程 DE)n=(Im-1 (Df) af II axm-l 计算曲面第二基本量 af aX 由此可得曲面的 Gauss曲率为 det 8i+ xiaxi af det 1+(ax)+…+(axn aX'aXJ微分流形上微分学 微分流形上微分学 —— 流形上的微分运算— Lie 导数 谢锡麟 可有 DΣ(   X1 . . . Xm−1   ) = ( ∂Σ ∂X1 · · · ∂Σ ∂Xm−1 ) =   1 · · · 0 . . . . . . 0 · · · 1 ∂f ∂X1 · · · ∂f ∂Xm−1   = ( Im−1 Df(X1 , · · · , Xm−1 ) ) ∈ R m×(m−1) . 由此可有 ( gij) (X) = ( I T m−1 (Df) T ) ( Im−1 Df ) = Im−1 + (Df) TDf = ( δij + ∂f ∂Xi ∂f ∂Xj ) ∈ R (m−1)×(m−1) , 另考虑法向量方程 (DΣ) Tn = ( Im−1 (Df) T )   n 1 . . . n m−1 n m   = 0 ∈ R m−1 , 可得 n = 1 √ 1 + ( ∂f ∂X1 )2 + · · · + ( ∂f ∂Xm−1 )2   − ∂f ∂X1 . . . − ∂f ∂Xm−1 1   ∈ R m. 计算曲面第二基本量 bij , ( ∂gj ∂Xi , n ) Rm = ∂ 2f ∂Xi∂Xj √ 1 + ( ∂f ∂X1 )2 + · · · + ( ∂f ∂Xm−1 )2 , 由此可得曲面的 Gauss 曲率为 KG = det ( bij) det ( gij) = 1 [ 1 + ( ∂f ∂X1 )2 + · · · + ( ∂f ∂Xm−1 )2 ] m−1 2 det ( δij + ∂f ∂Xi ∂f ∂Xj ) det ( ∂ 2f ∂Xi∂Xj ) . 20