微分流形上微分学—流形上的微分运算—Lie导数 谢锡麟 故有 [L,L叫](j91⑧g)=(Lu,u]y)9;893+少[Lu,L](9189) 计算 Lu.(9i0g'=Lu(Lu9i)0g+:8(Lug (LuoL9)∞g+(Ln9;)③(Lag)+(Lu9;)⑧(L93)+918( Lu o lug3), 故有 [Lx,L](g1⑧93)=(LoL-LoLx)(91893) ([Lu,Ll9)8g3+918(Lu,Ll9) =(Lx9)8g3+918(Lx9)=Lu可(91②g) 综上,可有 [Lu,L叫l(9189)=(Lm)91②g3+,L(918g) fu, u(52 /g;⑧97) 进一步,有 [Lu,L],L=[Ln,L叫](L更)-Lo([L,L重) go Lw- Lw o Lu,u) {,,Ll=Llul,m更 故有 +[L,L叫],L} =(Ix,+,m,]+L,xl,)更=(Lu,可,+[,m]+[,,)厘=0 2应用事例 2.1同态扩张 作为事例,以下研究 Gauss映照的拉回作用.考虑Rm中m-1维曲面的局部 Monge型向 量值映照表示 X x R",微分流形上微分学 微分流形上微分学 —— 流形上的微分运算— Lie 导数 谢锡麟 故有 [Lu, Lv](Φ i ·jgi ⊗ g j ) = ([Lu, Lv]Φ i ·j )gi ⊗ g j + Φ i ·j [Lu, Lv](gi ⊗ g j ). 计算 Lu ◦ Lv(gi ⊗ g j ) = Lu [ (Lvgi ) ⊗ g j + gi ⊗ (Lvg j ) ] = (Lu ◦ Lvgi ) ⊗ g j + (Lvgi ) ⊗ (Lug j ) + (Lugi ) ⊗ (Lvg j ) + gi ⊗ (Lu ◦ Lvg j ), 故有 [Lu, Lv](gi ⊗ g j ) = (Lu ◦ Lv − Lv ◦ Lu)(gi ⊗ g j ) = ([Lu, Lv]gi ) ⊗ g j + gi ⊗ ([Lu, Lv]g j ) = (L[u,v]gi ) ⊗ g j + gi ⊗ (L[u,v]g j ) = L[u,v] (gi ⊗ g j ). 综上, 可有 [Lu, Lv](Φ i ·jgi ⊗ g j ) = (L[u,v]Φ i ·j )gi ⊗ g j + Φ i ·jL[u,v] (gi ⊗ g j ) = L[u,v] (Φ i ·jgi ⊗ g j ). 进一步, 有 [[Lu, Lv], Lw]Φ = [Lu, Lv](LwΦ) − Lw ◦ ([Lu, Lv]Φ) = L[u,v] (LwΦ) − Lw(L[u,v]Φ) = (L[u,v] ◦ Lw − Lw ◦ L[u,v] )Φ = [L[u,v] , Lw]Φ = L[[u,v],w]Φ. 故有 [[Lu, Lv], Lw]Φ + [[Lv, Lw], Lu]Φ + [[Lw, Lu], Lv]Φ = (L[[u,v],w] + L[[v,w],u] + L[[w,u],v] )Φ = (L[[u,v],w]+[[v,w],u]+[[w,u],v] )Φ = 0. 2 应用事例 2.1 同态扩张 作为事例, 以下研究 Gauss 映照的拉回作用. 考虑 R m 中 m − 1 维曲面的局部 Monge 型向 量值映照表示: Σ(   X1 . . . Xm−1   ) : Bλ(   X1 0 . . . X m−1 0   ) ∋   X1 . . . Xm−1   7→ Σ(   X1 . . . Xm−1   ) =   X1 . . . Xm−1 f(X1 , · · · , Xm−1 )   ∈ R m, 19