lim e 令z=e-1)=elm 0ln(1+) 由此可见a=1 说明解题中应用了复合求极限法 lim In(1+y)=lim Inu=1 例2试确定a的值,使下列函数与当x→∞时为同阶无穷小量 x (1)x+1 (2) (3)=sin 解(1)由 +ar5+I lim 可知a=3 (2)因为√x+1-√x= ,于是 2(√x+1-√x)=imx 这样a (3)由于 sIn sin -=lim-- 因此a= 例3证明当x→0时,以下无穷小量 (1)f(x)=,(2)f(x)=e 对任何n都不与x”(n>0)是同阶无穷小量 证(1)Vn∈N., lim f(x) (设x lim y (由(54))= ( 1) 1 lim 0 = − −  → y y y z e y e e 令 = (1 ) lim 0 In z z e z +  → = e In z e z z = +  → 1 0 (1 ) 1 lim ， 由此可见α=1. 说明 解题中应用了复合求极限法 lim (1 ) lim 1 1 0 + = = → → In y Inu u e y y . 例 2 试确定α的值，使下列函数与        x 1 当 x→ 时为同阶无穷小量： （1） 1 1 4 + + x x ； （2） x +1 − x ； （3） x x 1 sin 1 解 （1）由 1 1 1 lim 4 3 = + +  → x x x x ， 可知α=3. （2）因为 x +1 − x = x +1 + x 1 ，于是 2 1 1 1 lim ( 1 ) lim 2 1 2 1 = + + + − = →+ →+ x x x x x x x x ， 这样 2 1  = . （3）由于 1 1 1 sin lim 1 sin 1 lim 2  = = → → x x x x x x x ， 因此  = 2. 例 3 证明当 x → 0 时，以下无穷小量 （1） Inx f x 1 ( ) = ， （2） 2 1 ( ) x f x e − = ， 对任何 n 都不与 n x （n>0）是同阶无穷小量. 证（1） n N+ ， ) 1 ( 1 lim ( ) lim 0 0 y x x x Inx f x n x n x = = → + → + 设 = − = − = − →+ →+ n y n y y Iny Iny y 1 lim lim （由（5.4））