于是当x→0时与x"(m>0不是同阶无穷小量 lim f(x) =lm=(设x= =y= lim (由(54)) 为→+p片 于是e当x→0时与x"(n>0)不是同阶无穷小量 注本例说明:并非每个x→0时的无穷小量都与某个x"是同阶无穷小量 例4若x→x时,f(x),g(x),h(x)都是无穷小量,且 f(x)=o(g(x)),g(x)h(x), 则g(x)~[h(x)+f(x)](x→x0) 证因为f(x)=o(g(x),g(x)~h(x),于是 h(x) 这样 h(x)+f(x) h(x) f(x)1+( g(x) g(x) 即 g(x)-h(x)+f(x(x-xo 注等价的两个无穷小量中某个量加上比它们高阶的无穷小量,仍不改变其等价性,这 性质在无穷小量运算或比较时是有用的 例5证明双曲线工y2 a2hx=1,(ab>0)有两条斜渐近线y=±=x 证由双曲线方程可解得x>0时的两个分支 y=f1(x)==√x2-a2,y=f2(x)= 由(55)可求得 b b x2于是 Inx 1 当 → + x 0 时与 x (n  0) n 不是同阶无穷小量. （2） n N+ ， ) 1 lim ( ( ) lim 2 1 0 0 y x x e x f x n x x n x = = − → → 设 = lim ( ) lim 0 1 1 2 2 1 1 2 = = = → →+ y n y y n y e y y y e y 设 ， （由（5.4）） 于是 2 1 x e − 当 x → 0 时与 x (n  0) n 不是同阶无穷小量. 注 本例说明：并非每个 x → 0 时的无穷小量都与某个 n x 是同阶无穷小量. 例 4 若 x → x 时， f (x), g(x),h(x) 都是无穷小量，且 f (x) = o(g(x)), g(x) ~ h(x) ， 则 ( ) ~ [ ( ) ( )] ( ) 0 g x h x + f x x → x 证 因为 f (x) = o(g(x)), g(x) ~ h(x) ，于是 0 ( ) ( ) lim 0 = → g x f x x x ， 1 ( ) ( ) lim 0 = → g x h x x x ， 这样 = + → ( ) ( ) ( ) lim 0 g x h x f x x x + → ( ) ( ) lim 0 g x h x x x 1 0 1 ( ) ( ) lim 0 = + = → g x f x x x . 即 ( ) ~ [ ( ) ( )] ( ) 0 g x h x + f x x → x 注 等价的两个无穷小量中某个量加上比它们高阶的无穷小量，仍不改变其等价性，这 性质在无穷小量运算或比较时是有用的. 例 5 证明双曲线 1 2 2 2 2 − = b y a x ，（a,b>0）有两条斜渐近线 x a b y =  . 证 由双曲线方程可解得 x>0 时的两个分支： 2 2 1 ( ) x a a b y = f x = − ， 2 2 2 ( ) x a a b y = f x = − − 由（5.5）可求得 x x a a b k x 2 2 1 lim − = →+ = a b x a a b x  =      − →+ 2 lim 1 ， x x a a b k x 2 2 2 lim − − = →+ = a b = −