证明将M()写为 M()=MmAm+Mm-1Am-I+.+MiA+Mo, 其中Mm≠0,对m用归纳法.若m=0,取Q(A)=0,已适合要求.假设对小于 m次的矩阵多项式(1)式成立,令Q1(A)=Mmm-1,则 M()-(AⅠ-B)Q1(A)=(BMn+Mm-1)Mm-1+…+M0 为一个次数小于m的矩阵多项式,由归纳假设,得 M(入)-(M-B)Q1()=(M-B)Q2())+R. 所以M(=(M-B)(Q1()+Q2()+R 令Q(川=Q1()+Q2()即得.同理可证(2)式成立 五.数字矩阵的相似与特征矩阵的相抵 定理3设A,B是数域K上的矩阵,则A与B相似的充分必要条件是入一矩 阵M-A与一B相抵 证明必要性.若A与B相似,则存在K上可逆矩阵P,使B=P-1AP P(AI-A)P=AI-P-AP=AI-B 把P看成是一常数入一矩阵,上式表明M-A与M一B相抵 充分性.若MⅠ-A与M-B相抵,则存在M(及N(入,使 M(入)(M-A)N(=A-B 其中M(入),N(λ)为有限个初等矩阵之积,是可逆矩阵,可将上式改写为 M()(M-A)=(-B)N-(入) 由引理可设M(=(M-B)Q(入)+R,代入上式,整理得 R(AI-A)=(A-B)IN(A)-Q()(AI-A)]`S N M(λ)  M(λ) = Mmλ m + Mm−1λ m−1 + · · · + M1λ + M0, nG Mm 6= 0, . m .<j2
u m = 0, q Q(λ) = 0, '
#p
Jx.3 m $V>/} (1) }℄￾d Q1(λ) = Mmλ m−1 , ; M(λ) − (λI − B)Q1(λ) = (BMm + Mm−1)λ m−1 + · · · + M0 &93 m $V>/}￾/<jJx￾# M(λ) − (λI − B)Q1(λ) = (λI − B)Q2(λ) + R. ( M(λ) = (λI − B)(Q1(λ) + Q2(λ)) + R. d Q(λ) = Q1(λ) + Q2(λ) G#
\YA (2) }℄
2 
IV>$5?V>$' NQ 3 x A, B ￾6 K w$V>￾; A 5 B $6 #M￾ λ− V > λI − A 5 λI − B '
`S #
u A 5 B ￾;: K wYmV> P, | B = P −1AP. P −1 (λI − A)P = λI − P −1AP = λI − B  P X￾& λ− V>￾w}h λI − A 5 λI − B '
6
u λI − A 5 λI − B '￾;: M(λ) F N(λ), | M(λ)(λI − A)N(λ) = λI − B, nG M(λ), N(λ) 09%V>CE￾￾YmV>￾YNw}7 M(λ)(λI − A) = (λI − B)N −1 (λ), /,\Yx M(λ) = (λI − B)Q(λ) + R, tw}￾\# R(λI − A) = (λ − B)[N −1 (λ) − Q(λ)(λI − A)]. 5