上式左边是一次多项式是故式中中括阵为分必须是零次的是即为数字矩阵.设为 R(AI-A)=(I-B)P=(R-P)A=RA-BP 再比理次数得R=P,RA=BP.只须证P为可逆阵即可是由设 P=N()-Q()(AI-A PN()+Q(从)(A-A)N(入)=I 而(-A)N(入)=M-1((M-B),所以PN(+Q(AM-1(M-B)=L 由引引是可设N(=S(λ)(M-B)+T,性入上式整引证是得 IPS()+Q()M(A)J(I-B)+PT=I 比理次数是即知方括阵内矩阵必须为零是故PT=Ⅰ,即P非零.口 注3由证明过程可知是若有P,Q,使M-A=P(A-B)Q,则A,B相似 例5设∫(入),g()是互素的多项式是证明下列入一矩阵相抵 f(X)0 (入)0 1 0 09() 0f())(0f()9( 证明由足设是存在多项式(入),(入),使f(入()+9(A()=1,所以 f(入)0 f(入) f() 09(A) f()a(入)g(A) f()(入)+9()(入)g(A) f()0 f(A)-f(入)g(入) 0-f()9(入) 19(入) 0f(g(入) 0 0f()g(入) 同引可得另明论 作业:P2351.2. 补充1:若f(,9(x互素是证明(00、)相抵于(0f(() 0f() 补充2:若A(入相抵于C(入,B(入)相抵于D(),证明 0B(X) 抵于(C)n0 0D(w}K ￾&/}￾:}GGZ>6 ￾b$￾GIV>
x P, G R(λI − A) = (λI − B)P =⇒ (R − P)λ = RA − BP. 9Q# R = P, RA = BP. E A P Ym>GY￾/x P = N −1 (λ) − Q(λ)(λI − A) P N(λ) + Q(λ)(λI − A)N(λ) = I 0 (λI − A)N(λ) = M−1 (λ)(λI − B), ( P N(λ) + Q(λ)M−1 (λI − B) = I. /,\￾Yx N(λ) = S(λ)(λI − B) + T, tw}\A￾# [P S(λ) + Q(λ)M−1 (λ)](λI − B) + P T = I. Q￾GB4Z>kV> b￾: P T = I, G P 5b
2 a 3 /Ah=YB￾u0 P, Q, | λI − A = P(λI − B)Q, ; A, B 
R 5 x f(λ), g(λ) ￾B$/}￾Aha λ− V>'
 f(λ) 0 0 g(λ)  ,  g(λ) 0 0 f(λ)  ,  1 0 0 f(λ)g(λ)  . `S /Jx￾:/} u(λ), v(λ), | f(λ)u(λ) + g(λ)v(λ) = 1, (  f(λ) 0 0 g(λ)  −→  f(λ) 0 f(λ)u(λ) g(λ)  −→  f(λ) 0 f(λ)u(λ) + g(λ)v(λ) g(λ)  =  f(λ) 0 1 g(λ)  −→  f(λ) −f(λ)g(λ) 0 0  −→  0 −f(λ)g(λ) 1 0  −→  0 f(λ)g(λ) 1 0  −→  1 0 0 f(λ)g(λ)  . \Y# &Se
L% P235 1. 2. Æ 1: u f(λ), g(λ) B￾Ah  g(λ) 0 0 f(λ)  '3  1 0 0 f(λ)g(λ)  . Æ 2: u A(λ) '3 C(λ), B(λ) '3 D(λ), Ah  A(λ) 0 0 B(λ)   '3  C(λ) 0 0 D(λ)  . 6