量组4,2，.，a,与，.yn等价 定义1如果向量组，“，a,(心之2)中有一向量可以经其余的向量线性表出，那么向量组 4,凸，.，a称为线性相关的 显然，向量组a，4线性相关就表示a,=k，或者=k，（这两个式子不一定能同时成立在三维的 情形，这就表示向量%，与4，共线三个向量a,一，%，线性相关的几何意义说是它们共面. 因为零向量可以被任一个向量组线性表出，所以任意一个包含零向量的向量组必线性相关 定义1向量组a,()称为线性相关，如果有数域P中不全为零的数k,k,.,k 使kg+kg2+.+k,g,=0 现在我们来证明这两个定义在5之2的时候是一致的 如果向量组4,42，.，4，按定义1是线性相关的，那么其中有一个向量是其余向量的线性相关组 合，譬如说a,=ka+ka,+.+kg,.把它改写一下，就有 ka%+k3a2+.+k-a-1+(-l)a,=0 因为数k,k2,k,-1不全为0（至少-1≠0），所以按定义11'，这个向量组线性相关 反过来如果向量组☑，心，.，C,按定义1'线性相关即有不全为零的数k,k,.,k,使 k%1+k42+.+k,&,=0 因为k,k,.,人，不全为零，不妨设k,≠0，于是上式可以改写为 这就是说向量α，可以被其余的向量线性表出，所以此向量组按定义11也线性相关 定义12向量组a,42,C,不线性相关，即没有不全为零的数k,k2,.,k,使 k%+k2++k,g,=0 就称为线性无关，或者说，一向量组,2.，称为线性无关，如果由 kg+k2a%++k,g,=0量组 1 2 , , ,   t 与 1 2 , , p    等价. 定义 11 如果向量组 1 2 , , ,   t ( 2) s  中有一向量可以经其余的向量线性表出,那么向量组 1 2 , , ,   t 称为线性相关的. 显然,向量组 1 2  , 线性相关就表示 1 2   = k 或者 2 1   = k (这两个式子不一定能同时成立在三维的 情形,这就表示向量 1 与 2 共线.三个向量 1 2 3    , , 线性相关的几何意义说是它们共面. 因为零向量可以被任一个向量组线性表出,所以任意一个包含零向量的向量组必线性相关. 定义 11 向量组 1 2 , , ,   s ( 1) s  称为线性相关,如果有数域 P 中不全为零的数 1 2 , , , s k k k , 使 1 1 2 2 0 s s k k k    + + + = 现在我们来证明这两个定义在 s  2 的时候是一致的. 如果向量组 1 2 , , ,   s 按定义 11 是线性相关的,那么其中有一个向量是其余向量的线性相关组 合,譬如说 s s s 1 1 2 2 1 1     k k k = + + + − − .把它改写一下,就有 1 1 2 2 1 1 ( 1) 0 s s s k k k     + + + + − = − − . 因为数 1 2 1 , , , , 1 s k k k − − 不全为 0 (至少 − 1 0 ),所以按定义 11 ,这个向量组线性相关. 反过来,如果向量组 1 2 , , ,   s 按定义 11 线性相关,即有不全为零的数 1 2 , , , s k k k 使 1 1 2 2 0 s s k k k    + + + = 因为 1 2 , , , s k k k 不全为零,不妨设 0 s k  ,于是上式可以改写为 1 2 1 1 2 1 s s s s s s k k k k k k     − = − − − − − . 这就是说,向量  s 可以被其余的向量线性表出,所以此向量组按定义 11 也线性相关. 定义 12 向量组 1 2 , , ,   s 不线性相关,即没有不全为零的数 1 2 , , , s k k k 使 1 1 2 2 0 s s k k k    + + + = 就称为线性无关;或者说,一向量组 1 2 , , ,   s 称为线性无关,如果由 1 1 2 2 0 s s k k k    + + + =