可以推出k=k=.=k,=0 由定义立即得出，如果一向量组的一部分线性相关，那么这个向量组就线性相关设向量组为 4,乌2，.，g,.a(心≤r）,其中一部分，譬如说4，C2,.,g,线性相关，即有不全为0的数k,k2,.,k 使ka+ka2+.+k,a,=0.由此式显然有 k4+ka2+.+k,a,+0a1+.+0a,=0. 因为k,k,.,k,不全为0，所以k,k,k,0,.,0也不全为0，因而%，%2，·，g,.C,线性相关 换个说法如果一向量组线性无关，那么它的任何一个非空的部分组也线性无关特别地，由于两个 成比例的向量是线性相关的，所以，线性无关的向量组中 不能包含两个成比例的向量 定义11'包含了由一个向量构成的向量组的情形按定义，向量组α线性相关就表示有k≠0（因为 只有一个数，所以不全为零就是它不等于零)使kα=0. 由数乘的性质推知α=0.因此，向量组a:线性相关就表示α=0. 不难看出，由n维单位向量G,G,￡组成的向量组是线性无关的事实上，由 k6+k62+.+k6n=0 也就是由 k(,0,.,0)+k(0,1.,0)+.+k(0,0,.,)=(k,k,.,k）=(0,0,.,0) 可以推出k=k=.=k=0,这就是说,62，.n线性无关 具体判断一个向量组是线性相关还是线性无关的问题可以归结为解方程组的问题我们考察已经 碰到过的例子，判断向量组4=(2，-1,3,1)，a2=(4,-2,5,4),43=(2,-1,4,-)是否线性相关 可取x,3为未知数，建立下列方程式 x41+x,%3+x,43=0. 看它是否有x,5,x的不全为零的解这是向量等式按各个分量分别写出方程就成为下列方程组 [2x+4x+2x=0 -x-2x2-x=0, 3x+5x2+4x=0, (+4x-3=0 前面的含向量的方程有无非零解等价于这个方程组有无非零解可以用消元法解这个方程组它有 无限多解，当然有非零解.故a,2,线性相关特别的一组解，可取为(：，x2,x)=(3,-L,-)即 3a-42-a=0或4=3a-a42.这是前面已指出过的结果 可以推出 1 2 0 s k k k = = = = . 由定义立即得出，如果一向量组的一部分线性相关，那么这个向量组就线性相关.设向量组为 1 2 , , , , ( ) s r     s r  ,其中一部分,譬如说 1 2 , , ,   s 线性相关,即有不全为 0 的数 1 2 , , , s k k k 使 1 1 2 2 0 s s k k k    + + + = .由此式显然有 1 1 2 2 1 0 0 0 s s s r k k k      + + + + + + = + . 因为 1 2 , , , s k k k 不全为 0 ,所以 1 2 , , , ,0, ,0 s k k k 也不全为 0 ,因而 1 2 , , , ,     s r 线性相关. 换个说法,如果一向量组线性无关,那么它的任何一个非空的部分组也线性无关.特别地,由于两个 成比例的向量是线性相关的,所以,线性无关的向量组中一定不能包含两个成比例的向量. 定义 11 包含了由一个向量构成的向量组的情形.按定义,向量组  线性相关就表示有 k  0 (因为 只有一个数,所以不全为零就是它不等于零)使 k = 0 . 由数乘的性质推知  = 0 .因此,向量组  线性相关就表示  = 0 . 不难看出,由 n 维单位向量 1 2 , , n    组成的向量组是线性无关的.事实上,由 1 1 2 2 0 n n k k k    + + + = . 也就是由 1 2 1 2 (1,0, ,0) (0,1, ,0) (0,0, ,1) ( , , , ) (0,0, ,0) n n k k k k k k + + + = = 可以推出 1 2 0 s k k k = = = = ,这就是说 1 2 , , n    线性无关. 具体判断一个向量组是线性相关还是线性无关的问题可以归结为解方程组的问题.我们考察已经 碰到过的例子,判断向量组 1 2 3    = − = − = − − (2, 1,3,1), (4, 2,5,4), (2, 1,4, 1) 是否线性相关. 可取 1 2 3 x x x , , 为未知数,建立下列方程式 1 1 2 2 3 3 x x x    + + = 0 . 看它是否有 1 2 3 x x x , , 的不全为零的解.这是向量等式,按各个分量分别写出方程,就成为下列方程组: 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 2 4 2 0, 2 0, 3 5 4 0, 4 0 x x x x x x x x x x x x  + + =  − − − =  + + =    + − = 前面的含向量的方程有无非零解等价于这个方程组有无非零解.可以用消元法解这个方程组.它有 无限多解,当然有非零解. 故 1 2 3    , , 线性相关. 特别的一组解,可取为 1 2 3 ( , , ) (3, 1, 1) x x x = − − 即 1 2 3 3 0    − − = 或 3 1 2    = − 3 .这是前面已指出过的结果