《数学分析》下册 第十八章隐函数定值及其应用 海南大学数学系 §4条件极值 教学目的了解拉格朗日乘数法，学会用拉格朗日乘数法求条件极值. 教学要求 (①)了解拉格朗日乘数法的证明，掌握用拉格朗日乘数法求条件极值的方法。 (②)用条件极值的方法证明或构造不等式. 教学建议 ()本节的重点是用拉格朗日乘数法求条件极值.要求学生熟练掌握 (②)多个条件的的条件极值问题，计算量较大，可布置少量习题. (3)在解决很多问题中，用条件极值的方法证明或构造不等式，是个好方 法.可推荐给较好学生. 教学程序 一、何谓条件极值 在讨论极值问题时，往往会遇到这样一种情形，就是函数的自变量要受到某 些条件的限制。决定一给定点（化6）到一曲面G(x八)=0的最短距离问题， 就是这种情形。我们知道点(x,y)到点(x,)的距离为 F(,y,)=Vx-x)》2+0y-o)2+(e-)2·现在的问题是要求出曲面 G(x,y)=0上的点(x,y,)使F为最小.即问题归化为求函数F(x,)在条件 G(x,y,)=0下的最小值问题. 又如，在总和为C的几个正数x,x2,x的数组中，求一数组，使函数值 f=x2+x2++xn2为最小，这是在条件x+x+.+x。=C(化，>0)的限制 下，求函数∫的极小值问题。这类问题叫做限制极值问题（条件极值问题）· 例1要设计一个容积为V的长方体形开口水箱·确定长、宽和高，使水 箱的表面积最小· 分别以x、y和：表示水箱的长、宽和高，该例可表述为：在约束条件 xz=V之下求函数S(x,y,)=2(x2+)+xy的最小值.《数学分析》下册 第十八章 隐函数定值及其应用 海南大学数学系 1 §4 条件极值 教学目的 了解拉格朗日乘数法，学会用拉格朗日乘数法求条件极值． 教学要求 (1)了解拉格朗日乘数法的证明，掌握用拉格朗日乘数法求条件极值的方法． (2)用条件极值的方法证明或构造不等式． 教学建议 (1) 本节的重点是用拉格朗日乘数法求条件极值．要求学生熟练掌握． (2) 多个条件的的条件极值问题，计算量较大，可布置少量习题． (3) 在解决很多问题中，用条件极值的方法证明或构造不等式，是个好方 法．可推荐给较好学生． 教学程序 一、何谓条件极值 在讨论极值问题时，往往会遇到这样一种情形，就是函数的自变量要受到某 些条件的限制。决定一给定点 ( , , ) 0 0 0 x y z 到一曲面 G(x, y,z) = 0 的最短距离问题， 就 是 这 种 情 形 。 我 们 知 道 点 (x, y,z) 到 点 ( , , ) 0 0 0 x y z 的距离为 2 0 2 0 2 0 F(x, y,z) = (x − x ) + (y − y ) + (z − z ) . 现在的问题是要求出曲面 G(x, y,z) = 0 上的点 (x, y,z) 使 F 为最小.即问题归化为求函数 F(x, y,z) 在条件 G(x, y,z) = 0 下的最小值问题. 又如，在总和为 C 的几个正数 n x , x , x 1 2 的数组中，求一数组，使函数值 2 2 2 2 1 n f = x + x ++ x 为最小，这是在条件 x1 + x2 ++ xn = C (  0) i x 的限制 下，求函数 f 的极小值问题。这类问题叫做限制极值问题（条件极值问题）. 例 1 要设计一个容积为 V 的长方体形开口水箱 . 确定长、宽和高 , 使水 箱的表面积最小 . 分别以 x、 y 和 z 表示水箱的长、宽和高 , 该例可表述为 : 在约束条件 xyz = V 之下求函数 S(x, y,z) = 2(xz + yz) + xy 的最小值