《数学分析》下册 第十八章隐雨数定值及其应用海南大学数学系■ 例2求函数∫=xz在条件x2+y2+2=1,x+y+2=0下的极值. 解令L=xz+(x2+y2+2-1)+4(x+y+） L,=z+2x+4=0, L,=xz+2y+4=0, L.=xy+2z+4=0, 得2x2+1=2y2+y=222+E, (1) 又 x2+y2+z2=1, (2) x+y+==0, (3) 由(1)得22x2-y2)=4y-x)，20y2-2)=-), 当x≠y≠：时得2(x+)=-4, 220y+)=-4,故得x=2,代入(2) 8)式得2+少=1解得稳定点P店后启B(后后启 由对帝性特只号若岩B号若君 v6'6'6 山扎，召)也是稳定点。 二、限制极值的必要条件 设在约束条件(x,y)=0之下求函数：=f(x,)的极值，当满足约束条件 的点(x)是函数∫(x,y)的条件极值点，且在该点函数(x,y)满足隐函数存 在条件时，由方程(x,)=0决定隐函数y=g(x),于是点x,就是一元函数 =f(,8)的极限点，有左-人.+g)=0.代入gx)=-, dx P,(x0%) 就有 G）-o)2=0. 0(x6) (以下f、∫，、9，、9，均表示相应偏导数在点(x,)的值·） 2 《数学分析》下册 第十八章 隐函数定值及其应用 海南大学数学系 2 例 2 求函数 f = xyz 在条件 1, 0 2 2 2 x + y + z = x + y + z = 下的极值. 解 令 ( 1) ( ) 2 2 2 L = xyz +  x + y + z − +  x + y + z Lx = yz + 2x +  = 0, Ly = xz + 2y +  = 0 , L z = xy+ 2z +  = 0 , 得 x + x = y + y = z + z 2 2 2 2 2 2 , （1） 又 1 2 2 2 x + y + z = , （2） x + y + z = 0 , （3） 由（1）得 2 ( ) ( ) 2 2  x − y =  y − x ，2 ( ) ( ) 2 2  y − z =  z − y , 当 x  y  z 时得 2(x + y) = − ， 2( y + z) = − ,故得 x = z ，代入（2） （3）式得 2 1 2 2 x + y = 解得稳定点 ) 6 1 , 6 2 , 6 1 ( 1 − P ， ) 6 1 , 6 2 , 6 1 ( 2 − − P . 由对称性得 ) 6 1 , 6 1 , 6 2 ( 3,4    P ， ) 6 2 , 6 1 , 6 1 ( 5,6    P 也是稳定点。 二、限制极值的必要条件 设在约束条件 (x, y) = 0 之下求函数 z = f (x, y) 的极值 . 当满足约束条件 的点 ( , ) 0 0 x y 是函数 f (x, y) 的条件极值点 , 且在该点函数 (x, y) 满足隐函数存 在条件时, 由方程 (x, y) = 0 决定隐函数 y = g(x) , 于是点 0 x 就是一元函数 z = f (x , g(x)) 的极限点 , 有 = f + f g (x) = 0 dx dz x y .代入 ( , ) ( , ) ( ) 0 0 0 0 0 x y x y g x y x    = − , 就有 0 ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) 0 0 0 0 0 0 − 0 0 = x y x y f x y f x y y x x y   , ( 以下 x f 、 y f 、 x 、 y 均表示相应偏导数在点 ( , ) 0 0 x y 的值 . )