《数学分析》下册 第十八章隐函数定值及其应用 海南大学数学系 即fP,一f9,=0，亦即（f,f,）(9,-9,)=0· 可见向量（∫，∫，）与向量(9，-p,)正交.注意到向量(P,”,)也 与向量(9，-9，)正交，即得向量(f,，了，)与向量(9，9，)线性相关， 即存在实数1，使 (f2,∫）+(p,，9,)=0. [f+0,=0, 亦即 f,+0,=0. 三、Lagrange乘数法： 由上述讨论可见，函数：=f(x,y)在约束条件(x,y)=0之下的条件极值 f(x,y)+p(x,y)=0, 点应是方程组 ,(c)+0,(x,)=0,的解。 p(x,y)=0. 引进所谓Lagrange函数 L(x,y,)=f(x,)+元p(x,y),（称其中的实数1为Lagrange乘数) 则上述方程组即为方程组 L(xy,)=0, L.(x.y,)=0. L(x,y)=0. 下面以三元函数，两个约束条件为例介绍Lagrange乘数法的一般情况. 例1求函数f=xz在条件x2+y2+z2=1,x+y+:=0下的极值。 解令L=xg+x2+y2+z2-)+4(x+y+) L,=z+2x+4=0, L,=xz+2y+H=0, L.=xy+22+4=0, 得 2x2+4r=2y2+49y=2E2+4E, (1) 又x2+y2+22=1, (2)《数学分析》下册 第十八章 隐函数定值及其应用 海南大学数学系 3 即 x f  y — y f  x = 0 , 亦即 ( x f , y f ) (  y , − x ) = 0 . 可见向量( x f , y f )与向量 (  y , − x )正交. 注意到向量 (  x ,  y )也 与向量 (  y , − x )正交, 即得向量( x f , y f )与向量 (  x ,  y )线性相关, 即存在实数  , 使 ( x f , y f ) +  (  x ,  y ) = 0. 亦即    + = + = 0. 0 , y y x x f f   三、 Lagrange 乘数法 : 由上述讨论可见 , 函数 z = f (x, y) 在约束条件 (x, y) = 0 之下的条件极值 点应是方程组      = + = + = ( , ) 0 . ( , ) ( , ) 0 , ( , ) ( , ) 0 , x y f x y x y f x y x y y y x x    的解. 引进所谓 Lagrange 函数 L(x, y,) = f (x, y) + (x, y) , ( 称其中的实数  为 Lagrange 乘数 ) 则上述方程组即为方程组      = = = ( , , ) 0 . ( , , ) 0 , ( , , ) 0 ,     L x y L x y L x y y x 下面以三元函数 , 两个约束条件为例介绍 Lagrange 乘数法的一般情况 . 例 1 求函数 f = xyz 在条件 1, 0 2 2 2 x + y + z = x + y + z = 下的极值。 解 令 ( 1) ( ) 2 2 2 L = xyz +  x + y + z − +  x + y + z Lx = yz + 2x +  = 0, Ly = xz + 2y +  = 0 , L z = xy+ 2z +  = 0 , 得 x + x = y + y = z + z 2 2 2 2 2 2 , （1） 又 1 2 2 2 x + y + z = , （2）