《数学分析》下册 第十八章隐函数定值及其应用海南大学数学系 x+y+z=0, (3) 由(1)得2x2-y2)=40y-x),202-2)=42-y), 当x≠y≠：时得 2(x+y)=-4, 20y+)=-4 故得x=,代入(2)(3)式得 2x2+y2=1, (2x+y=0. 由时修性得后君岩话君启世是e定点 四、用Lagrange?乘数法解应用问题举例： 例1求容积为V的长方体形开口水箱的最小表面积.抛物面x2+y2=:被 平面x+y+:=1截成一个椭圆。求该椭圆到坐标原点的最长和最短距离· 例2求函数fx,y）=在条件+1+-x>0,y>0,:>0r>0. x'y':r 下的极小值，并证明不等式仁++月≤ac，其中a,b,c为任意 a b c 正常数 例3将长度为！的铁丝分成三段，用此三段分别作成圆、正方形和等边三角 形.问如何分法，才能使这三个图形的面积之和最小， 解设x,y,:分别为圆之半径、正方形边长、等边三角形边长。于是总面积 满足约束2+4y+3z=1,x≥0，y≥0，z≥0 A 《数学分析》下册 第十八章 隐函数定值及其应用 海南大学数学系 4 x + y + z = 0 , （3） 由（1）得 2 ( ) ( ) 2 2  x − y =  y − x ，2 ( ) ( ) 2 2  y − z =  z − y , 当 x  y  z 时得 2(x + y) = − ， 2( y + z) = − 故得 x = z ，代入（2）（3）式得 2 1 2 2 x + y = , 2x + y = 0 . 解得稳定点 ) 6 1 , 6 2 , 6 1 ( 1 − P ， ) 6 1 , 6 2 , 6 1 ( 2 − − P . 由对称性得 ) 6 1 , 6 1 , 6 2 ( 3,4    P ， ) 6 2 , 6 1 , 6 1 ( 5,6    P 也是稳定点. 四、 用 Lagrange 乘数法解应用问题举例 : 例 1 求容积为 V 的长方体形开口水箱的最小表面积. 抛物面 x + y = z 2 2 被 平面 x + y + z = 1 截成一个椭圆. 求该椭圆到坐标原点的最长和最短距离 . 例 2 求函数 f (x, y,z) = xyz 在条件 ( 0, 0, 0, 0) 1 1 1 1 + + = x  y  z  r  x y z r . 下的极小值 . 并证明不等式 3 1 1 1 1 3 abc a b c        + + − , 其中 a , b , c 为任意 正常数 . 例 3 将长度为 l 的铁丝分成三段，用此三段分别作成圆、正方形和等边三角 形.问如何分法，才能使这三个图形的面积之和最小. 解 设 x, y,z 分别为圆之半径、正方形边长、等边三角形边长。于是总面积 2 2 2 4 3 s = x + y + z 满足约束 2x + 4y + 3z = l ， x  0, y  0,z  0