第4期 申情，等：属性权重未知情况下犹豫模糊多属性决策方法 ·729· 度上发展了Zadeh模糊集理论，吸引了不少学者 画给定元素对于给定集合的隶属程度。例如， 基于HFS理论研究犹豫模糊环境下的多属性决 3位科技专家在评估某科技项目创新程度时分别 策问题。Xia等)最早给出犹豫模糊集的数学表 给出0.65、0.75、0.8三个隶属度，这3个隶属度用 达式。在中国，张超等研究了犹豫模糊图及其 <0.65,0.75,0.8>表示，称之为犹豫模糊元。犹豫模 在多属性决策中的应用，武文颖等给出了基于 糊元是犹豫模糊集理论的核心，一般用a(x)表示 概率犹豫信息集成方法的群决策模型，王宝丽等 一个犹豫模糊元，定义如下。 提出基于粒计算给出未知属性权重时的犹豫模糊 定义1设X是一个非空集合，从集合X到[0,1] 多准则决策方法10等。集对分析理论能同时表 区间上的一个函数称为犹豫模糊元(hesitant fuzzy 示系统的确定性测度与不确定性测度以及两者之 element,.HFE)。Xia等给出的犹豫模糊集的数学 间的关系，把人们对事物的确定性与不确定性关 表达式为 系的辩证认识转换成一个具体的数学工具一 M={(x,hw(x)》lx∈X (1) 联系数。集对分析自赵克勤于1989年提出以 式中：x代表某一属性；hw(x)表示方案M对属性x 来，已在人工智能和不确定性决策中得到应用27。 的隶属程度，也称综合犹豫模糊元，它是方案 文献[18]针对准则权系数信息不完全确定的多准 M在n个属性上的n个犹豫模糊元ha(x)(A=1, 则直觉模糊决策，将直觉模糊数转化为二元联系 2,…,的综合值。 数，建立了基于二元联系数的多准则直觉模糊决 Tora给出犹豫模糊元的计算公式四： 策综合加权模型。文献[19-20]研究了区间数和 =U1-y1 联系数之间的关系，分别提出了准则值和准则权 yeh 重为区间数的多准则决策方法。文献[21-22]中 hi0h2= min (yi,y2 针对二元联系数信息的集成问题，定义了几种二 Yneh为eh: h Uh2= 元联系数信息集成的几何算子，提出了基于二元 max{yi,y2】 力∈h,次h: 联系数的信息不完全的群决策方法。文献23]通 其中：h、h、h,是3个犹豫模糊元。 过将三角模糊数转化为二元联系数，提出了一种 熟悉模糊数学的人知道，对于两个和两个以 基于三角模糊数的二元联系数双重多属性决策方 上模糊隶属度作“取大取小”运算会丢失信息和导 法。文献[24]将不确定语言变量转换为二元联系 致误判。同理，对于两个和两个以上犹豫模糊元作 数，利用二元联系数的距离公式，建立了多目标 “取大取小”运算也会丢失信息和导致误判。因 规划模型。文献[25-26]利用二元联系数方法解 此，如何科学地提取一个犹豫模糊元的犹豫模糊 决了区间直觉模糊多属性决策和犹豫模糊多属性 信息，又为后续的数学建模运算与决策提供方便， 决策问题。 显然是犹豫模糊多属性决策研究的关键问题。 本文利用犹豫模糊元边界的确定性与边界内 1.2 权重未知的犹豫模糊多属性决策问题 隶属度取值的不确定性，把同样具有确定性与不 在犹豫模糊多属性决策问题中，属性权重对 确定性双重特性的集对分析理论中的三元联系数 决策起着举足轻重的作用。通常，在给定的一个模 引人到属性权重未知的犹豫模糊多属性决策研 糊多属性多方案决策问题中，属性权重由专家根 究，建立了属性权重未知情况下的基于三元联系 据自身的知识和经验给定，但专家定权会有一定的 数的犹豫模糊多属性决策新模型，该新模型不仅 主观性，简称主观定权；与主观定权法相反的有 包含了其他模型的结果，还提供了其他可能的方 “客观定权法”，这是根据原始数据之间的关系来 案排序结果，由此形成的有条件决策，是犹豫模 确定权重。在同一个多属性决策问题中，如何客 糊多属性决策不确定性本质属性的映照，与犹豫 观地给多个属性确定权重，是一个复杂的问题；为 模糊多属性决策实际应用情况吻合，且算法简 了界定本文要研究和解决的问题，下面对权重未 明；此外，在第5节还介绍了经典势函数shi(W)的 知的犹豫模糊多属性决策问题先作一般性描述： 扩展公式，使得本文给出的新模型有更好的潜力 设有四元组D=(S,Q,W,P)表示一个犹豫模糊多准 应对更为复杂的犹豫模糊多属性决策问题。 则决策系统，其中S为评价对象集S=(S1,S,…, Sm),m≥2：Q为评价属性集Q=(Q1,Q2,…,2,n≥2； 1权重未知的犹豫模糊多属性决策 且Q1,Q2,…,Qn都是越大越好的效益型属性；W为 11犹豫模糊集 属性权重集w=0m,w2,…,w)m=1,n≥2；P为 犹豫模糊集的基本特征在于用多个隶属度刻 评价函数P=f(S×Q)∈[0,1]。度上发展了 Zadeh 模糊集理论，吸引了不少学者 基于 HFS 理论研究犹豫模糊环境下的多属性决 策问题。Xia 等 [3] 最早给出犹豫模糊集的数学表 达式。在中国，张超等[4] 研究了犹豫模糊图及其 在多属性决策中的应用，武文颖等[5] 给出了基于 概率犹豫信息集成方法的群决策模型，王宝丽等[6] 提出基于粒计算给出未知属性权重时的犹豫模糊 多准则决策方法[7-10] 等。集对分析理论能同时表 示系统的确定性测度与不确定性测度以及两者之 间的关系，把人们对事物的确定性与不确定性关 系的辩证认识转换成一个具体的数学工具− 联系数。集对分析自赵克勤[11] 于 1989 年提出以 来，已在人工智能和不确定性决策中得到应用[12-17]。 文献 [18] 针对准则权系数信息不完全确定的多准 则直觉模糊决策，将直觉模糊数转化为二元联系 数，建立了基于二元联系数的多准则直觉模糊决 策综合加权模型。文献 [19-20] 研究了区间数和 联系数之间的关系，分别提出了准则值和准则权 重为区间数的多准则决策方法。文献 [21-22] 中 针对二元联系数信息的集成问题，定义了几种二 元联系数信息集成的几何算子，提出了基于二元 联系数的信息不完全的群决策方法。文献 [23] 通 过将三角模糊数转化为二元联系数，提出了一种 基于三角模糊数的二元联系数双重多属性决策方 法。文献 [24] 将不确定语言变量转换为二元联系 数，利用二元联系数的距离公式，建立了多目标 规划模型。文献 [25-26] 利用二元联系数方法解 决了区间直觉模糊多属性决策和犹豫模糊多属性 决策问题。 本文利用犹豫模糊元边界的确定性与边界内 隶属度取值的不确定性，把同样具有确定性与不 确定性双重特性的集对分析理论中的三元联系数 引入到属性权重未知的犹豫模糊多属性决策研 究，建立了属性权重未知情况下的基于三元联系 数的犹豫模糊多属性决策新模型，该新模型不仅 包含了其他模型的结果，还提供了其他可能的方 案排序结果，由此形成的有条件决策，是犹豫模 糊多属性决策不确定性本质属性的映照，与犹豫 模糊多属性决策实际应用情况吻合，且算法简 明；此外，在第 5 节还介绍了经典势函数 shi(μ) 的 扩展公式，使得本文给出的新模型有更好的潜力 应对更为复杂的犹豫模糊多属性决策问题。 1 权重未知的犹豫模糊多属性决策 1.1 犹豫模糊集 犹豫模糊集的基本特征在于用多个隶属度刻 hA (x) 画给定元素对于给定集合的隶属程度。例如， 3 位科技专家在评估某科技项目创新程度时分别 给出 0.65、0.75、0.8 三个隶属度，这 3 个隶属度用 <0.65,0.75,0.8>表示，称之为犹豫模糊元。犹豫模 糊元是犹豫模糊集理论的核心，一般用 表示 一个犹豫模糊元，定义如下。 定义 1 设 X 是一个非空集合，从集合 X 到 [0,1] 区间上的一个函数称为犹豫模糊元（hesitant fuzzy element，HFE）。Xia 等给出的犹豫模糊集的数学 表达式为 M = {⟨x,hM (x)⟩|x ∈ X} (1) hM (x) hA (x)(A = 1, 2,··· ,n) 式中：x 代表某一属性； 表示方案 M 对属性 x 的隶属程度 ,也称综合犹豫模糊元，它是方 案 M 在 n 个属性上的 n 个犹豫模糊元 的综合值。 Torra 给出犹豫模糊元的计算公式[2] ：    h c = ∪ γ∈h {1−γ} h1 ∩h2 = ∪ γ1∈h1 ,γ2∈h2 min{γ1, γ2} h1 ∪h2 = ∪ γ1∈h1 ,γ2∈h2 max{γ1, γ2} 其中：h、h1、h2 是 3 个犹豫模糊元。 熟悉模糊数学的人知道，对于两个和两个以 上模糊隶属度作“取大取小”运算会丢失信息和导 致误判。同理，对于两个和两个以上犹豫模糊元作 “取大取小”运算也会丢失信息和导致误判。因 此，如何科学地提取一个犹豫模糊元的犹豫模糊 信息，又为后续的数学建模运算与决策提供方便， 显然是犹豫模糊多属性决策研究的关键问题。 1.2 权重未知的犹豫模糊多属性决策问题 S = (S 1,S 2,··· , S m) m ⩾ 2 Q = (Q1,Q2,··· ,Qn) n ⩾ 2 Q1,Q2,··· ,Qn W = (w1 ,w2 ,··· ,wn), ∑n k=1 wk = 1,n ⩾ 2 P = f (S × Q) ∈ [0,1] 在犹豫模糊多属性决策问题中，属性权重对 决策起着举足轻重的作用。通常，在给定的一个模 糊多属性多方案决策问题中，属性权重由专家根 据自身的知识和经验给定，但专家定权会有一定的 主观性，简称主观定权；与主观定权法相反的有 “客观定权法”，这是根据原始数据之间的关系来 确定权重。在同一个多属性决策问题中，如何客 观地给多个属性确定权重，是一个复杂的问题；为 了界定本文要研究和解决的问题，下面对权重未 知的犹豫模糊多属性决策问题先作一般性描述： 设有四元组 D=(S,Q,W,P) 表示一个犹豫模糊多准 则决策系统，其中 S 为评价对象集 ， ；Q 为评价属性集 ， ； 且 都是越大越好的效益型属性；W 为 属性权重集 ；P 为 评价函数 。 第 4 期 申情，等：属性权重未知情况下犹豫模糊多属性决策方法 ·729·