·730· 智能系统学报 第17卷 要求在未知，w2,…,wm)具体数值，但∑m=1 证明根据定义2和式(5)可知，当三元联系 条件下，决断出S中的最优对象，并作出S中m 数中的示性系数i,j取适当的数值时，可以得到 个对象的优劣排序。 由式(1)定义的犹豫模糊元中任意一个隶属度， 当评价函数P为犹豫模糊元时，属性权重未 例如前面提到的犹豫模糊元h4(x)=(0.65,0.75,0.8), 知的犹豫模糊多属性决策问题可以进一步描述 由此按定义2得到犹豫模糊元三元联系数 如下： μ=0.65+(0.8-0.65)i+(1-0.8)j= 0.65+0.15i+0.2i 设有m个备用方案(S1,S2,…,Sm),每个方案各 显然有 有n个相同的属性(Q1,Q2,…,Q),但对每个属性的 μ=0.65+0.15i+0.20=0.65 评价函数Pa(k=1,2,…,m:t=1,2,…,n)不同，且用犹 豫模糊元hn(xu)=(xu1,x2,…,m)表示，属性权重 μ=0.65+0.15i+0.267=0.75 μ=0.65+0.15i+0.2=0.8 w=mg…w,we0.∑m=1,但w,,… 性质2系统性。 W具体数值未知，为方便，约是各属性都是越大越 证明首先，式(5)所示三元联系数具有整体 好的效益型属性，要求在m个备用方案中决策出 性，这是因为相对于犹豫模糊元h()=(c1,x2,…,x), 最优方案，并对这些方案在犹豫模糊环境下的优 多了h)的补集ha(x,也就是，有ha(x)=cj,ha(x)= 劣排序作犹豫模糊性分析。 a+bio 不难看出：属性权重未知的犹豫模糊多属性 根据系统是由两个或两个以上要素组成的有 决策问题比属性权重已知的犹豫模糊多属性决策 机整体的定义，可知式(5)所示三元联系数是一 问题更为复杂。 个系统，所以具有系统性。 其次，三元联系数的系统性还体现在3个联 2三元联系数 系分量a,bi,g的层次性，这种层次性由3个联系 2.1基于犹豫模糊元的三元联系数定义 分量的示性系数1，i,j得到充分体现，因为 三元联系数是集对分析理论中的一种结构函 ie[0,1],j∈[-1,0]。 数，也称同异反联系数，其一般形式为μ=a+ 再次，在μ=a+bi+cj冲a、bi、g存在相互作用， bi+cj,但对应于不同的“反”有不同的类型，如“正 例如当i、j有具体数值时，会对a起增减作用。 负型‘反’(j=-1,i∈[-1,1)”“有无型反’(j=0,i∈ 第四，不确定性。不仅ie[0,1],je[-1,0]在各 [0,1])”等；为了把三元联系数用于未知属性权重 自的定义区间取哪一个具体数值具有不确定性， 的犹豫模糊多属性决策研究，重作定义： 而且当i在[0,1]取定某个具体的数值时，是加大 定义2设hA(w=(x1,x,…,xn)是一个犹豫模 a还是减小c也具有不确定性；同理，当j在 糊元，0<x<3<…<xn<1,x1x2,…,xn∈[0,1]，并 「-1,0]取定某个具体的数值时，是减小a还是减 称x1是h(x)的下界，xn是h(x)的上界，令 小b也具有不确定性。 a=x (2) 显然，上述不确定性说明了式(5)所示三元 b=Xn-X1 (3) 联系数不仅是一个不确定性系统，也同时说明应 c=1-xn (4) 用三元联系数解决不确定性多属性决策问题时与 称μ=a+bi+cj,i=[0,1],je[-1,0]为基于犹豫 实际不确定性环境的对应性与灵活性。 模糊元的三元联系数，或称犹豫模糊元联系数， 性质3可比较性。 也简称三元联系数。 证明情况1，示性系数效应结果比较。根 一般式为 据定义2，易知 Jμ=a+bi+ci (5) a+b+c=1, (a+bi+c0)>(a+bi+c提，） 式中：ae[0,1],b∈[0,1]，ce[0,1],ie[0,1],je[-1,0], (a+bi+c>(a+bi+c) 1称为犹豫模糊元联系数中偏于肯定的犹豫模糊 成立。 强度系数，j称为犹豫模糊元联系数中偏于否定 情况2，示性系数有确定值时的结果比较。 的犹豫模糊强度系数。统称i、j为犹豫模糊强度 由情况1进一步推知，当两个三元联系数41=a+ 示性系数，简称示性系数。 bi+c1j与2=2+b2i+c2j中的i1,j1与2，j2各有 以上定义的三元联系数具有以下性质。 确定的值时，41与4能比较大小。 性质1与犹豫模糊元具有等价性。 例如对于三元联系数41=0.6+0.3i1+0.1j1与(w1,w2,··· ,wn) ∑n k=1 要求在未知 具体数值，但 wk = 1 条件下，决断出 S 中的最优对象，并作出 S 中 m 个对象的优劣排序。 当评价函数 P 为犹豫模糊元时，属性权重未 知的犹豫模糊多属性决策问题可以进一步描述 如下： (S 1,S 2,··· ,S m) (Q1,Q2,··· ,Qn) Pkt (k = 1,2,··· ,m;t = 1,2,··· ,n) hp (xkt) = (xkt1, xkt2,··· , xktn) w = [w1 w2 ··· wn] T wt ∈ [0,1], ∑n t=1 wt = 1 w1,w2,··· , wn 设有 m 个备用方案 ，每个方案各 有 n 个相同的属性 ，但对每个属性的 评价函数 不同，且用犹 豫模糊元 表示，属性权重 ， ， 但 具体数值未知，为方便，约定各属性都是越大越 好的效益型属性，要求在 m 个备用方案中决策出 最优方案，并对这些方案在犹豫模糊环境下的优 劣排序作犹豫模糊性分析。 不难看出：属性权重未知的犹豫模糊多属性 决策问题比属性权重已知的犹豫模糊多属性决策 问题更为复杂。 2 三元联系数 2.1 基于犹豫模糊元的三元联系数定义 µ = a+ bi+c j j = −1,i ∈ [−1,1] j = 0,i ∈ [0,1] 三元联系数是集对分析理论中的一种结构函 数，也称同异反联系数，其一般形式为 ，但对应于不同的“反”有不同的类型，如“正 负型‘反’（ ）”“有无型‘反’（ ）”等；为了把三元联系数用于未知属性权重 的犹豫模糊多属性决策研究，重作定义： hA (x) = (x1, x2,··· , xn) 0 < x1 < x2 < ··· < xn < 1 x1, x2,··· , xn ∈ [0,1] 定义 2 设 是一个犹豫模 糊元， ， ，并 称 x1 是 hA(x) 的下界，xn 是 hA(x) 的上界，令 a = x1 (2) b = xn − x1 (3) c = 1− xn (4) 称 µ = a+bi+c j，i = [0,1], j ∈ [−1,0] 为基于犹豫 模糊元的三元联系数，或称犹豫模糊元联系数， 也简称三元联系数。 一般式为 { µ = a+bi+c j, a+b+c = 1, (5) 式中： a ∈ [0,1],b ∈ [0,1], c ∈ [0,1],i ∈ [0,1], j ∈ [−1,0]， i 称为犹豫模糊元联系数中偏于肯定的犹豫模糊 强度系数，j 称为犹豫模糊元联系数中偏于否定 的犹豫模糊强度系数。统称 i、j 为犹豫模糊强度 示性系数，简称示性系数。 以上定义的三元联系数具有以下性质。 性质 1 与犹豫模糊元具有等价性。 hA (x) = (0.65,0.75,0.8) 证明 根据定义 2 和式（5）可知，当三元联系 数中的示性系数 i，j 取适当的数值时，可以得到 由式（1）定义的犹豫模糊元中任意一个隶属度， 例如前面提到的犹豫模糊元 ， 由此按定义 2 得到犹豫模糊元三元联系数 µ = 0.65+(0.8−0.65)i+(1−0.8) j = 0.65+0.15i+0.2 j 显然有 µ = 0.65 + 0.15i+0.2 j| i=0 j=0 = 0.65 µ = 0.65+0.15i+0.2 j| i=0.667 j=0 = 0.75 µ = 0.65+0.15i+0.2 j| i=1 j=0 = 0.8 性质 2 系统性。 hA (x) = (x1, x2,··· , xn) hA (x) hA (x) = c j hA (x) = a+bi 证明 首先，式（5）所示三元联系数具有整体 性，这是因为相对于犹豫模糊元 ， 多了 hA(x) 的补集 ，也就是，有 ， 。 根据系统是由两个或两个以上要素组成的有 机整体的定义，可知式（5）所示三元联系数是一 个系统，所以具有系统性。 i ∈ [0,1] j ∈ [−1,0] 其次，三元联系数的系统性还体现在 3 个联 系分量 a，bi，cj 的层次性，这种层次性由 3 个联系 分量的示性系 数 1 ， i ， j 得到充分体现，因为 ， 。 再次，在 µ = a+bi+c j 中 a、bi、cj 存在相互作用， 例如当 i、j 有具体数值时，会对 a 起增减作用。 第四，不确定性。不仅 i ∈ [0,1]， j ∈ [−1,0] 在各 自的定义区间取哪一个具体数值具有不确定性， 而且当 i 在 [0,1] 取定某个具体的数值时，是加大 a 还是减 小 c 也具有不确定性；同理， 当 j 在 [−1,0] 取定某个具体的数值时，是减小 a 还是减 小 b 也具有不确定性。 显然，上述不确定性说明了式（5）所示三元 联系数不仅是一个不确定性系统，也同时说明应 用三元联系数解决不确定性多属性决策问题时与 实际不确定性环境的对应性与灵活性。 性质 3 可比较性。 证明 情况 1，示性系数效应结果比较。根 据定义 2，易知 ( a+bi+c j| i=1 j=0 ) > ( a+bi+c j| i=1 j=−1 ) ( a+bi+c j| i=0 j=0 ) > ( a+bi+c j| i=0 j=−1 ) 成立。 µ1 = a1+ b1i1 +c1 j1 µ2 = a2+b2i+c2 j µ1 µ2 情况 2，示性系数有确定值时的结果比较。 由情况 1 进一步推知，当两个三元联系数 与 中的 i1，j1 与 i2，j2 各有 确定的值时， 与 能比较大小。 例如对于三元联系数 µ1 = 0.6 + 0.3i1 +0.1 j1与 ·730· 智 能 系 统 学 报 第 17 卷