第4期 申情，等：属性权重未知情况下犹豫模糊多属性决策方法 ·731· 2=0.5+0.25i2+0.25j2,当i=0.3,1=-0.5,i2=0.8, bi 2=-0.1时，有4山1=0.6+0.09-0.05=0.64,2=0.5+ 0.2-0.025=0.675。显然，这时有42>41。 情况3，同异反联系分量几何合成结果比 =1+0+0j 较。把三元联系数4=a4+bi+cji(k=1,2,…,) 0 a 映射到“同异反”三维空间见图1，计算三元联系 数的“模”： n=√a候+b候+c2(k=1,2,…,m) 根据“模”r的大小关系确定n个三元联系数 =a+bi4+c的大小关系。其原理是把三元联 图2同异反犹豫模糊决策空间中完全非犹豫点 系数看成是一组三维向量，在“同异反犹豫模糊决 Fig.2 Completely non-hesitant point in identical discrep- 策”空间中求这三组三维向量的合成，见图1。 ancy contrary hesitant fuzzy space bi 情况5，势函数比较。 定义4当犹豫模糊三元联系数μ=a+bi+ cj中的c.不是零时，定义alc为犹豫模糊三元联系 数μ=a+bi+cj的势函数，记为 shi(）=alc (6) LFa+bi+ci 0 利用势函数可以比较两个犹豫模糊三元联系 a 数势的大小。 2.2三元联系数的运算 根据集对分析理论，三元联系数可以作普通 的加减乘除四则运算，但本文仅用到其中的加法 可 运算和乘法运算，定义如下： 图1同异反犹豫模糊空间中的同异反犹豫向量合成示意 定义5设41=a1+b1i+c1j,=a2+b2i+c2j是 Fig.1 Synthesis of identical discrepancy contrary vectors in identical discrepancy contrary hesitant fuzzy 两个三元联系数，则它们的和是一个三元联系数 space μ=a+bi+cj,记作 从图1看出，三元联系数a+bi+cj的“模”是正 μ=41+2=a+bi+cj 向（肯定的）确定性测度α与负向（否定的）确定 式中：a=a1+a2,b=b1+b2,c=c1+c20 性测度c和不确定的犹豫测度bi在i=1时的一种 从定义5看出，三元联系数的加法运算满足 几何合成。 交换律，对于三个和更多个三元联系数相加满足 情况4，与完全非犹豫点的距离比较。 结合律。 定义3由定义1和定义2，可以进一步称犹 定义6设4山1=a1+bi+cj,2=a2+b2i+c2j是 豫模糊元三元联系数为s=1+0i+0j在图1所 两个三元联系数，则他们的乘积是一个三元联系 示同异反犹豫模糊决策空间中的点为完全肯定点 数μ=a+bi+cj,记作 (完全非犹豫点)，记为41o0,见图2。 μ=41×42=a+bi+cj 计算任意一个非完全不犹豫点，=+bi计 式中：a=a1a2+c1c3,b=b1a2+b2a+bb2+cb2,c= cjk=1,2,…,n)与完全非犹豫点1o0的海明距离 a192+b1c2+aG1,示性系数i,j在以上运算过程中 p,即 的规则是i=i,订=j,jj=1。 从定义6看出，三元联系数的乘法运算满足 p(k→1,0,0)=V(a-1)2+(b-0)2+(ck-0)2= 交换律，对于三个和更多个三元联系数相乘满足 Va-102+b2+c2 结合律。 当有m个非完全不犹豫点时，可以根据它们 定义7一个不等于零的实数k(k≠0)与三元 与完全肯定点（完全非犹豫点）41o.o的距离大小 联系数μ=a+bi+cj相乘，其积仍然是一个三元联 作出肯定程度的比较，与41a0距离小的要比与 系数。记作 41.a0,距离大的肯定。 ku=k(a+bi+cj)=ka+kbi+kcjµ2 = 0.5 + 0.25i2 +0.25 j2 i1 = 0.3 j1 = −0.5 i2 = 0.8 j2 = −0.1 µ1 = 0.6+0.09−0.05 = 0.64 µ2 = 0.5+ 0.2−0.025 = 0.675 µ2 > µ1 ，当 ， ， ， 时，有 ， 。显然，这时有 。 µk = ak +bk ik +ck jk (k = 1,2,··· ,n) 情况 3，同异反联系分量几何合成结果比 较。把三元联系数 映射到“同异反”三维空间见图 1，计算三元联系 数的“模”： rk = √ a 2 k +b 2 k +c 2 k (k = 1,2,··· ,n) µk = ak +bk ik +ck jk 根据“模”rk 的大小关系确定 n 个三元联系数 的大小关系。其原理是把三元联 系数看成是一组三维向量，在“同异反犹豫模糊决 策”空间中求这三组三维向量的合成，见图 1。 cj c b a a μ=a+bi+cj bi 1 1 1 0 图 1 同异反犹豫模糊空间中的同异反犹豫向量合成示意 Fig. 1 Synthesis of identical discrepancy contrary vectors in identical discrepancy contrary hesitant fuzzy space a+bi+c j i = 1 从图 1 看出，三元联系数 的“模”是正 向（肯定的）确定性测度 a 与负向（否定的）确定 性测度 c 和不确定的犹豫测度 bi 在 时的一种 几何合成。 情况 4，与完全非犹豫点的距离比较。 µhA(x) = 1+0i+0 j µ(1,0,0) 定义 3 由定义 1 和定义 2，可以进一步称犹 豫模糊元三元联系数为 在图 1 所 示同异反犹豫模糊决策空间中的点为完全肯定点 （完全非犹豫点），记为 ，见图 2。 µk = ak +bk i+ ck j(k = 1,2,··· ,n) µ(1,0,0) 计算任意一个非完全不犹豫点 与完全非犹豫点 的海明距离 ρ，即 ρ(k → 1,0,0) = √ (ak −1) 2 +(bk −0) 2 +(ck −0) 2 = √ (ak −1) 2 +bk 2 +ck 2 µ(1,0,0) µ(1,0,0) µ(1,0,0) 当有 m 个非完全不犹豫点时，可以根据它们 与完全肯定点（完全非犹豫点） 的距离大小 作出肯定程度的比较，与 距离小的要比与 距离大的肯定。 cj a μ=1+0i+0j bi 1 1 1 0 图 2 同异反犹豫模糊决策空间中完全非犹豫点 Fig. 2 Completely non-hesitant point in identical discrep￾ancy contrary hesitant fuzzy space 情况 5，势函数比较。 µ = a+bi+ c j a/ c µ = a+bi+c j 定义 4 当犹豫模糊三元联系数 中的 ck 不是零时，定义 为犹豫模糊三元联系 数 的势函数，记为 shi(µ) = a/ c (6) 利用势函数可以比较两个犹豫模糊三元联系 数势的大小。 2.2 三元联系数的运算 根据集对分析理论，三元联系数可以作普通 的加减乘除四则运算，但本文仅用到其中的加法 运算和乘法运算，定义如下： µ1 = a1 +b1i+c1 j µ2 = a2 +b2i+c2 j µ = a+bi+c j 定义 5 设 ， 是 两个三元联系数，则它们的和是一个三元联系数 ，记作 µ = µ1 + µ2 = a+bi+c j 式中：a = a1 +a2，b = b1 +b2，c = c1 +c2。 从定义 5 看出，三元联系数的加法运算满足 交换律，对于三个和更多个三元联系数相加满足 结合律。 µ1 = a1 +b1i+c1 j µ2 = a2 +b2i+c2 j µ = a+bi+c j 定义 6 设 ， 是 两个三元联系数，则他们的乘积是一个三元联系 数 ，记作 µ = µ1 ×µ2 = a+bi+c j a = a1a2 +c1c2 b = b1a2 +b2a1 +b1b2 +c1b2 c = a1c2 +b1c2 +a2c1 ii = i i j = j j j = 1 式中： ， ， ，示性系数 i，j 在以上运算过程中 的规则是 ， ， 。 从定义 6 看出, 三元联系数的乘法运算满足 交换律，对于三个和更多个三元联系数相乘满足 结合律。 k (k , 0) µ = a+bi+c j 定义 7 一个不等于零的实数 与三元 联系数 相乘，其积仍然是一个三元联 系数。记作 kµ = k (a+bi+c j) = ka+kbi+kc j 第 4 期 申情，等：属性权重未知情况下犹豫模糊多属性决策方法 ·731·