·732· 智能系统学报 第17卷 3 算法步骤 表1犹豫模糊决策系统 Table 1 Hesitant fuzzy decision making system 1)将决策者对各方案在每个属性下的评价值 对象 C2 C3 CA 进行数学表达形式转换。应用式(2~5)把专家给 {0.4,0.6} {0.8 {0.5} {0.4} 出的各属性评价值犹豫模糊元转换成三元联系数 9 {0.5} {0.4,0.9 {0.6} 0.7} 形式。 43 0.3,0.7 0.5.0.7 0.5,0.7 {0.3} 2)利用式(6)，即三元联系数μ=a+bi+cj的势 函数shi(m)计算公式，计算1)中得到的各三元联 小 {0.6} 0.60.8} {0.8} 0.60.8 系数的势函数值。 {0.6} {0.71 {0.55,0.65 {0.6} 3)利用基于离差的属性权重计算公式计算各 表2用三元联系数表示的犹豫模糊决策系统 属性权重： Table 2 Hesitant fuzzy decision making system expressed max shi(uu)-min shi(ue) TCN Wh= (7) ∑a,[maxshi((ae）-minshi】 人员 (c1) 4(c2) u(c3) (c) 4)利用综合加权求和计算公式计算各评价对 410.4+0.2i40.4i0.8+0i+0.2i0.5+0i+0.5i 0.4+0i+0.6j 象的综合三元联系数： 20.5+0i+0.5j0.4+0.5i40.j 0.6+0i+0.4 0.7+0i+0.3i u)=∑uew(c) (8) 4g0.3+0.4i+0.3j0.5+0.2i40.30.5+0.2i40.3 0.3+0i+0.7i =I 40.6+0i+0.4y0.6+0.2i+0.20.8+0i+0.2i0.6+0.2i+0.2 5)犹豫性分析。利用犹豫示性系数，了取不 450.6+0i+0.40.7+0i+0.30.55+0.1i0.35j0.6+0i+0.4 同值时各评价对象的三元联系数值，讨论犹豫性 对初排序的影响。 2)利用三元联系数μ=a+bi+cj的势函数 6)给出决策建议。根据以上5步结果，提出 shi(四计算公式式(6)，计算表2中各三元联系数的 决策建议，说明在何种犹豫模糊条件下的最优方 势函数值，得表3。 案及其他方案的优劣排序。 表3一个犹豫模糊决策系统三元联系数的势函数 Table 3 Potential function of TCN in a hesitant fuzzy de- 4应用实例 cision making system 人员 shie,() shic.(u) shics (u) shie.m） 为便于作对比分析，以下用2个实例来验证 1.0000 4.0000 1.0000 0.6667 本文前述模型的有效性。其中实例1取自文献[6]， 42 1.0000 4.0000 1.5000 2.3333 实例2取自文献[27。 u3 1.0000 1.6667 1.6667 0.4286 实例1某企业为选拔一重要部门优秀管理 人员，需要作多属性决策。企业负责人根据2位 1.5000 3.0000 4.0000 3.0000 专家的建议，从5位备选管理人员山4中根据专 1.5000 2.3333 1.5714 1.5000 业技能c1、理性技能c2、人际交往技能c3和设计 3)利用式(7)，得到各属性权重为 技能c,四个方面选择1位部门经理。各个考核准 w=0.0595 则权重未知。一方面，由于两位专家来自不同部 w%=0.2776 门，对各个备选人员在不同属性上的模糊评判可 w。=0.3569 能不同，即产生犹豫模糊判断值；另一方面，可能 w.=0.3059 有专家对部分备选人员在一些属性上的表现把握 4)利用式(8)，计算得山1、山2、4、山4、山5个评 不准或了解不够，从而出现不能给出模糊值的情 价对象各自的综合三元联系数： 况，如人力资源部门的管理人员对备选人员”1的 μ(41)=0.5467+0.0119i+0.4414j 人际交往技能c3方面了解不够，因此未做出评价， μ()=0.5691+0.1388i+0.2921j μ()=0.4269+0.1507i+0.4224j 仅有本部门2个评估专家给出的模糊判断值0.5。 μ(4)=0.6714+0.1167i+0.2119j 2位专家对备选人员的判断评价信息如表1所 μ(s)=0.6099+0.0357i+0.3544j 示。试给出5个排序对象的优劣次序。 5)犹豫性分析。 1)根据式(2)、(3)、(4)、(5)把表1中的各个 分别考察犹豫示性系数i、j取不同值时的 犹豫模糊元改写出成三元联系数的形式，得 5个评价对象的三元联系数值，并给出优劣排序， 表2。 结果见表4。3 算法步骤 1) 将决策者对各方案在每个属性下的评价值 进行数学表达形式转换。应用式 (2~5) 把专家给 出的各属性评价值犹豫模糊元转换成三元联系数 形式。 µ = a+bi+c j shi(µ) 2) 利用式 (6)，即三元联系数 的势 函数 计算公式，计算 1) 中得到的各三元联 系数的势函数值。 3) 利用基于离差的属性权重计算公式计算各 属性权重： wkt = ∑ maxshi(µkt)−minshi(µkt) n k=1 [ maxshi(µkt)−minshi(µkt) ] (7) 4) 利用综合加权求和计算公式计算各评价对 象的综合三元联系数： µ(uk) = ∑n k=1 µ(ck)w(ck) (8) 5) 犹豫性分析。利用犹豫示性系数 i，j 取不 同值时各评价对象的三元联系数值，讨论犹豫性 对初排序的影响。 6) 给出决策建议。根据以上 5 步结果，提出 决策建议，说明在何种犹豫模糊条件下的最优方 案及其他方案的优劣排序。 4 应用实例 为便于作对比分析，以下用 2 个实例来验证 本文前述模型的有效性。其中实例 1 取自文献 [6]， 实例 2 取自文献 [27]。 实例 1 某企业为选拔一重要部门优秀管理 人员，需要作多属性决策。企业负责人根据 2 位 专家的建议，从 5 位备选管理人员 u1~u5 中根据专 业技能 c1、理性技能 c2、人际交往技能 c3 和设计 技能 c4 四个方面选择 1 位部门经理。各个考核准 则权重未知。一方面，由于两位专家来自不同部 门，对各个备选人员在不同属性上的模糊评判可 能不同，即产生犹豫模糊判断值；另一方面，可能 有专家对部分备选人员在一些属性上的表现把握 不准或了解不够，从而出现不能给出模糊值的情 况，如人力资源部门的管理人员对备选人员 u1 的 人际交往技能 c3 方面了解不够，因此未做出评价， 仅有本部门 2 个评估专家给出的模糊判断值 0.5。 2 位专家对备选人员的判断评价信息如表 1 所 示。试给出 5 个排序对象的优劣次序。 1) 根据式 (2)、(3)、(4)、(5) 把表 1 中的各个 犹豫模糊元改写出成三元联系数的形式，得 表 2。 表 1 犹豫模糊决策系统 Table 1 Hesitant fuzzy decision making system 对象 c1 c2 c3 c4 u1 {0.4,0.6} {0.8} {0.5} {0.4} u2 {0.5} {0.4,0.9} {0.6} {0.7} u3 {0.3,0.7} {0.5,0.7} {0.5,0.7} {0.3} u4 {0.6} {0.6,0.8} {0.8} {0.6,0.8} u5 {0.6} {0.7} {0.55,0.65} {0.6} 表 2 用三元联系数表示的犹豫模糊决策系统 Table 2 Hesitant fuzzy decision making system expressed TCN 人员 μ(c1 ) μ(c2 ) μ(c3 ) μ(c4 ) u1 0.4+0.2i+0.4j 0.8+0i+0.2j 0.5+0i+0.5j 0.4+0i+0.6j u2 0.5+0i+0.5j 0.4+0.5i+0.1j 0.6+0i+0.4j 0.7+0i+0.3j u3 0.3+0.4i+0.3j 0.5+0.2i+0.3j 0.5+0.2i+0.3j 0.3+0i+0.7j u4 0.6+0i+0.4j 0.6+0.2i+0.2j 0.8+0i+0.2j 0.6+0.2i+0.2j u5 0.6+0i+0.4j 0.7+0i+0.3j 0.55+0.1i+0.35j 0.6+0i+0.4j µ = a+bi+c j shi(µ) 2 ) 利用三元联系数 的势函数 计算公式式 (6)，计算表 2 中各三元联系数的 势函数值，得表 3。 表 3 一个犹豫模糊决策系统三元联系数的势函数 Table 3 Potential function of TCN in a hesitant fuzzy de￾cision making system 人员 shic1 (µ) shic2 (µ) shic3 (µ) shic4 (µ) u1 1.0000 4.0000 1.0000 0.6667 u2 1.0000 4.0000 1.5000 2.3333 u3 1.0000 1.6667 1.6667 0.4286 u4 1.5000 3.0000 4.0000 3.0000 u5 1.5000 2.3333 1.5714 1.5000 3) 利用式 (7)，得到各属性权重为 wc1 = 0.059 5 wc2 = 0.277 6 wc3 = 0.356 9 wc4 = 0.305 9 4) 利用式 (8)，计算得 u1、u2、u3、u4、u5 5 个评 价对象各自的综合三元联系数： µ(u1) = 0.546 7+0.011 9i+0.441 4 j µ(u2) = 0.569 1+0.138 8i+0.292 1 j µ(u3) = 0.426 9+0.150 7i+0.422 4 j µ(u4) = 0.671 4+0.116 7i+0.211 9 j µ(u5) = 0.609 9+0.035 7i+0.354 4 j 5) 犹豫性分析。 分别考察犹豫示性系数 i、j 取不同值时的 5 个评价对象的三元联系数值，并给出优劣排序， 结果见表 4。 ·732· 智 能 系 统 学 报 第 17 卷