求解的思想方法是一样的,几何解释也很有意义。 积分与路径无关 例5求/=Jxkx2+y2-1)x+yx2+y2-1)小,其中L是被积函数的定义域内从20 到(0,2)的逐段光滑曲线 解被积函数的定义域D:x2+y2>1 记P=xh(x2+y2-1),Q=yh(x2+y2-1),则PQ在定义域D内有连续的偏导数,且 ao aP axax2+y2_,取C:x2+y2≤4,逆时针方向,则 In( x+ =hn 3 xdx+ ydy=In 3 Oddy=0 于是D内任意一条封闭曲线l,若l包围了单位圆,则 Pdx +Ody= h Pdx +Ody=0 若l不包围单位圆,则由格林公式 Pdx+Ody= ar ay ardy=o 故积分与路径无关。取平行于坐标轴的折线段如图,得 ∫xh(x2+y2-1)+y(x2+y2-1) y4+y2-1)+xh(x2+4-1)=0 场论初步 例6计算曲面积分∫moFn△S,其中F={x-:x2-y2-3xy3),.S为球面:=√4-x2-y 万是S上侧的单位向量。 解法1用 Stokes公式。取 L:x2+y2=4或x=cosO,y=sn0,0≤0≤2 「noF,ns= rotF.dS7 求解的思想方法是一样的，几何解释也很有意义。 积分与路径无关 例 5 求  = + − + + − L I x ln( x y 1)dx y ln( x y 1)dy 2 2 2 2 ,其中 L 是被积函数的定义域内从(2,0) 到(0,2)的逐段光滑曲线。 解 被积函数的定义域 : 1 2 2 D x + y  记 ln( 1) 2 2 P = x x + y − ， ln( 1) 2 2 Q = y x + y − ，则 P,Q 在定义域 D 内有连续的偏导数，且 1 2 2 2 + − =   =   x y xy y P x Q 。取 : 4 2 2 C x + y  ，逆时针方向，则  = + − + + − C x ln( x y 1`)dx y ln( x y 1)dy 2 2 2 2  = ln 3 + = ln 3 0 = 0   C D xdx ydy dxdy 于是 D 内任意一条封闭曲线 l ，若 l 包围了单位圆，则  + l Pdx Qdy = + = 0  C Pdx Qdy 若 l 不包围单位圆，则由格林公式  + l Pdx Qdy [ ] = 0   −   =  dxdy y P x Q D 2 故积分与路径无关。取平行于坐标轴的折线段如图，得  = + − + + − L I x ln( x y 1)dx y ln( x y 1)dy 2 2 2 2 2   = + − + + − = 0 2 2 2 0 2 y ln( 4 y 1)dy xln( x 4 1)dx 0 场论初步 例 6 计算曲面积分   S rotF ndS   ，其中 { , , 3 } 3 2 F = x − z x − yz − xy  ，S 为球面： 2 2 z = 4 − x − y ， n  是 S 上侧的单位向量。 解法 1 用 Stokes 公式。取 L ： 4 2 2 x + y = 或 x = cos, y = sin ,0    2   S rotF ndS    =  S rotF dS  