《数学物理方法》第一章作业参考解答 1.利用复变函数导数的定义式,推导极坐标系下复变函数 f(-)=(,)+i(P,)的CR条件为 p pao dp p ap 证:由于复变函数f(z)可导,即沿任何路径,任何方式使A→>0时, f(二+△)-f(-) 的极限都存在且相等,因此,我们可以选择两条特殊路径, (1)沿径向,A=△pe→0 imf(+Ap,9)-f.9)=+△.9)+m(p+Ap.9)-(p.9)-m(p.9 △pe Ou(p, ), av(e, (2)沿半径为p的圆周,A=△(e)=p)-pe≈ie"△ if(P.g+△q)-f(p)(g+△q)+iv2q+△q)-以(pg)-iv(pg) (e9-1) l(P,q+△)+iv(p,q+△q)-l(p,q)-i(p,q) av(,)0(p q app 以上两式应相等,因而, dp p a dp p ag 2.已知一平面静电场的等势线族是双曲线族x=C,求电场线族,并求此电场的 复势(约定复势的实部为电势)。如果约定复势的虚部为电势,则复势又是什么?《数学物理方法》第一章作业参考解答 1. 利用复变函数导数的定义式，推导极坐标系下复变函数 f (z) = u(ρ,ϕ) + iv(ρ,ϕ)的 C-R 条件为        ∂ ∂ = − ∂ ∂ ∂ ∂ = ∂ ∂ ρ ρ ϕ ρ ρ ϕ v u u v 1 1 证：由于复变函数 f (z) 可导，即沿任何路径，任何方式使 ∆z → 0 时， z f z z f z ∆ ( + ∆ ) − ( ) 的极限都存在且相等，因此，我们可以选择两条特殊路径， （1）沿径向，∆ = ∆ → 0 ϕ ρ i z e . ϕ ϕ ρ ρ ρ ϕ ρ ρ ϕ ρ ρ ρ ϕ ρ ϕ ρ ρ ϕ ρ ρ ϕ ρ ϕ ρ ϕ i i e v i u e u iv u iv z f f − ∆ →         ∂ ∂ + ∂ ∂ = ∆ + ∆ + + ∆ − − = ∆ + ∆ − ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) lim 0 （2）沿半径为 ρ 的圆周， ( ) ( ) ρ ρ ρ ρ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ∆ = ∆ = − ≈ ∆ i i +∆ i i z e e e i e ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ρ ρ ϕ ϕ ρ ϕ ρ ϕ ρ ϕ ϕ ρ ϕ ϕ ρ ϕ ρ ϕ ρ ρ ϕ ϕ ρ ϕ ρ ϕ ϕ ρ ϕ ϕ ρ ϕ ρ ϕ i i i i e u i v e i u iv u iv e e u iv u iv z f f − → ∆ ∆         ∂ ∂ − ∂ ∂ = ∆ + ∆ + + ∆ − − = − + ∆ + + ∆ − − = ∆ + ∆ − ( , ) ( , ) 1 ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( 1) ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) lim 0 以上两式应相等，因而， ρ ρ ∂ϕ ∂ = ∂ ∂u 1 v ρ ρ ∂ϕ ∂ = − ∂ ∂v 1 u 2. 已知一平面静电场的等势线族是双曲线族 xy = C ,求电场线族，并求此电场的 复势（约定复势的实部为电势）。如果约定复势的虚部为电势，则复势又是什么？