解: u(x, y)=xy 由C-R条件可得 =y→v(x,y)=y2+b(x) a u=b(x)=-=-x=b(x)=-x+C 电场线族为:(x,y)=-(x2-y2)+C (或者:由d(x,y)=d+=-xx+ydy=d 得 v(x,y)=-(x2-y2)+C) 复势为:w=xy+-(x2-y2)+C +iC 若虚部为电势,则 v(, y)=xy 同理由C-R条件可得 y→l(x,y) A(x) c=A(x)==x→A(x)=x2+C 复势为:w +C)+ixy= 3.讨论复变函数f(=x+0)=√xy|在二=0的可导性?(提示:选择沿ⅹ轴 Y轴和Y=aX直线讨论) 解: 考虑当函数沿y=ax趋近z=0时 f(二)=√ax x+△r lim f(二+△)-f(=) lim △x(ia+1) (ia+1) 可见上式是和a有关的,不是恒定值 所以该函数在z=0处不可导解： ( ) 0 2 ∇ xy = ∴u(x, y) = xy 由 C-R 条件可得 x b x x C y u b x x v y v x y y b x x u y v = − ⇒ = − + ∂ ∂ = ′ = − ∂ ∂ = ⇒ = + ∂ ∂ = ∂ ∂ 2 2 2 1 ( ) ( ) ( ) 2 1 ( , ) v x y = − (x − y ) + C 2 1 ( , ) 电场线族为： 2 2 （或者：由       = − + = − + ∂ ∂ + ∂ ∂ = 2 2 2 1 2 1 ( , ) dy xdx ydy d x y y v dx x v dv x y ，得 v x y = − (x − y ) +C 2 1 ( , ) 2 2 ） z iC i xy x y C i = − +       = + − − + 2 2 2 2 ( ) 2 1 复势为：w 若虚部为电势，则 v(x, y) = xy 同理由 C-R 条件可得 x A x x C y v A x x u y u x y y A x x v y u = ⇒ = + ∂ ∂ = ′ = ∂ ∂ = − ⇒ = − + ∂ ∂ = − ∂ ∂ 2 2 2 1 ( ) ( ) ( ) 2 1 ( , ) u x y = (x − y ) + C 2 1 ( , ) 2 2 = x − y + C + ixy = z + C 2 2 2 2 1 ( ) 2 1 复势为：w 3．讨论复变函数 f (z = x + iy) = | xy | 在 z = 0的可导性？（提示：选择沿 X 轴、 Y 轴和 Y=aX 直线讨论） 解： 考虑当函数沿 y=ax 趋近 z=0 时 2 f (z) = ax ( 1) ( 1) | | | | lim ( ) ( ) lim 0 0 + ± = ∆ + + ∆ − = ∆ + ∆ − ∆ → ∆ → ia a x ia a x x a x z f z z f z z x 可见上式是和 a 有关的，不是恒定值 所以该函数在 z=0 处不可导