4判断函数f(=)=z+2-1=z+√+1=-1)的支点,选定一个单值分支 f(-),计算f(x)?计算f(-1)的值? 解: 可能的支点为z=0,-1,①。 l/z=0点邻域,z=pe,p<<1, f(=)=pe°+ √+以m-)-p"+ +e2,不是支点 2/z=-1点邻域,z=-1+pe,p<<1 f()=-1+pe+√1+p"+1x- 1+De甲 ,一阶支点; 3/z=1点邻域,z=1+ce,p<<1, f()=1+pe+√+pe+1)+pe-1) 一阶支点; ≈1+pe+√2pe2 3/z=∞点邻域,z f()=pe+√a"+1ax"-1)spe"+p",不是支点: 因此,z=-1,二=1是f()的两个支点。 从-1→1作割线,f(=)有两个单值分支。我们选定f(=)的一个单值分支f0(=) 如下 规定在割线的上岸I:O=arg(z+1)=0,g=arg(z-1)=丌,则在割线的 上岸有,=+1=|+l=(x+1k0,-1=2-le=(-xl",因此, f()=x+(x+1(-xl=x+√1-x2e2=x+il-x2(上岸I) 当I上的点z=x绕过左端点(z=-1)回到下岸I上具有相同坐标x点时, 6=arg(z+1)=2r,p=arg(-1)=丌,即在割线的下岸Ⅱ上,有 2+1=+le2x=(x+1k2,-1=k-l"=(1-x)e",因此, f(2)=x+√x+1)2(-x2=x+1-x2e7=x-1-x2(下岸Ⅱ)4.判断函数 ( ) 1 ( )( ) 1 1 2 f z = z + z − = z + z + z − 的支点，选定一个单值分支 ( ) 0f z ，计算 ( ) 0f x ？计算 ( ) 0f −i 的值？ 解： 可能的支点为 z = 0,−1,1,∞ 。 1/ z = 0点邻域， ϕ ρ i z = e ， ρ << 1， ( )( ) 2 ( ) 1 1 π ϕ ϕ ϕ ϕ ρ ρ ρ ρ i i i i i f z = e + e + e − ≈ e + e ，不是支点； 2/ z = −1点邻域， ϕ ρ i z = −1+ e ， ρ <<1， ( )( ) / 2 / 2 1 2 ( ) 1 1 1 1 1 ϕ ϕ π ϕ ϕ ϕ ρ ρ ρ ρ ρ i i i i i i e e f z e e e + ≈ − + + = − + + − + + − + − ，一阶支点； 3/ 1 z = 点邻域， ϕ ρ i z = 1+ e ， ρ << 1， ( )( ) / 2 1 2 ( ) 1 1 1 1 1 ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ρ ρ ρ ρ ρ i i i i i e e f z e e e ≈ + + = + + + + + − ，一阶支点； 3/ z = ∞ 点邻域， ϕ ρ i z = e ， ρ >> 1， ( )( ) ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ρ ρ ρ ρ ρ i i i i i f (z) = e + e +1 e −1 ≈ e + e ，不是支点； 因此， z = −1,z = 1是 f (z)的两个支点。 从−1→1作割线，f (z)有两个单值分支。我们选定 f (z)的一个单值分支 ( ) 0f z 如下： 规定在割线的上岸 I：θ = arg(z +1) = 0 ，ϕ = arg(z −1) = π ，则在割线的 上岸有， ( ) 0 0 1 1 1 i i z + = z + e = x + e ， iπ iπ z −1 = z −1e = (1− x)e ，因此， ( )( ) 0 2 2 2 f0 (z) x x 1 e 1 x e x 1 x e x i 1 x i i i = + + − = + − = + − π π （上岸 I） 当 I 上的点 z = x绕过左端点（ z = −1）回到下岸 II 上具有相同坐标 x 点时， θ = arg( ) z +1 = 2π ，ϕ = arg(z −1) = π ，即在割线的下岸 II 上，有 ( ) 2π 2π 1 1 1 i i z + = z + e = x + e ， iπ iπ z −1 = z −1e = (1− x)e ，因此， ( )( ) 2 2 3 2 2 f0 (z) x x 1 e 1 x e x 1 x e x i 1 x i i i = + + − = + − = − − π π π （下岸 II）