此外就没有了。反之，具有这个性质的次数≥1的多项式一定不可约的。由此可知，不可约多 项式p(x)与任一多项式f(x)之间只可能有两种关系，或者p(xf(x)或者(p(x),f(x)=1。事 实上，如果(p(x,fx)=dx,那么dx)或者是1或者是cp(x(c≠0)。当d(x)=cpx)时，就 有pxf(x)。 定理5如果p(x)是不可约多项式，那么对于任意的两个多项式f(x),g(x),由 pxf(x)g(x)一定推出pxf(x)或者p(xg(x). 证明如果pxf(x),那么结论已经成立。 如果p(xfx),那么由以上说明可知 (px,f(x)=1 于是由定理4即得p(x)g(x)。 利用数学归纳法，这个定理可以推广为：如果不可约多项式(x)整除一些多项式 (x),f(x),…,(x)的乘积f(x)(x)…∫(x),那么p(x)一定整除这些多项式之中的一个。 因式分解及唯一性定理数域P上每一个次数≥1的多项式f(x)都可以唯一地分解成数域 P上一些不可约多项式的乘积。所谓唯一性是说，如果有两个分解式 fx)=p(x)p2(x…P,(x)=q(xq(x…g,(x) 那么必有s=1,并且适当排列因式的次序后有 p(x)=c4.(xi=1,2,…,s, 其中C(i=1,2…,)是一些非零常数。 证明先证分解式的存在。对(x)的次数作数学归纳法。 因为一次多项式是不可约的，所以n=1时时结论成立。 设(f(x》=n,并设结论对于次数低于n的多项式己经成立。如果f(x)是不可约多项式，结 论显然的无妨设f(x)不是不可约的，即有 (x)=f(x)5(x) 其中(x,(x)的次数低于n。由归纳法假定f(x),(x)都可以分解成数域P上一些不可约 多项式的乘积。把f(x),f(x)的分解式喝起来就得到f(x)的一个分解式。 此外就没有了。反之，具有这个性质的次数  1 的多项式一定不可约的。由此可知，不可约多 项式 p(x) 与任一多项式 f (x) 之间只可能有两种关系，或者 p(x) f (x) 或者 (p(x), f (x)) =1 。事 实上，如果 (p(x), f (x)) = d(x), 那么 d (x) 或者是 1 或者是 cp(x)(c  0) 。当 d(x) = cp(x) 时，就 有 p(x) f (x)。 定理 5 如果 p(x) 是不可约多项式，那么对于任意的两个多项式 f (x) ， g(x) ，由 p(x) f (x)g(x) 一定推出 p(x) f (x) 或者 p(x) g(x)。 证明 如果 p(x) f (x) ，那么结论已经成立。 如果 p(x) f (x) ，那么由以上说明可知 (p(x), f (x)) =1 于是由定理 4 即得 p(x) g(x)。 利用数学归纳法，这个定理可以推广为：如果不可约多项式 p(x) 整除一些多项式 ( ), ( ), , ( ) 1 2 f x f x f x  s 的乘积 ( ) ( ) ( ) 1 2 f x f x f x  s ，那么 p(x) 一定整除这些多项式之中的一个。 因式分解及唯一性定理 数域 P 上每一个次数  1 的多项式 f (x) 都可以唯一地分解成数域 P 上一些不可约多项式的乘积。所谓唯一性是说，如果有两个分解式 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 1 2 f x p x p x p x q x q x q x =  s =  t 那么必有 s = t ，并且适当排列因式的次序后有 p x c q x i s i i i ( ) = ( ), =1,2,  , ， 其中 c (i 1,2, ,s) i =  是一些非零常数。 证明 先证分解式的存在。对 f (x) 的次数作数学归纳法。 因为一次多项式是不可约的，所以 n =1 时时结论成立。 设 ( f (x)) = n ，并设结论对于次数低于 n 的多项式已经成立。如果 f (x) 是不可约多项式，结 论显然的无妨设 f (x) 不是不可约的，即有 ( ) ( ) ( ) 1 2 f x = f x f x 其中 ( ), ( ) 1 2 f x f x 的次数低于 n 。由归纳法假定 ( ), ( ) 1 2 f x f x 都可以分解成数域 P 上一些不可约 多项式的乘积。把 ( ), ( ) 1 2 f x f x 的分解式喝起来就得到 f (x) 的一个分解式