由归纳法原理，结论普遍成立。 再证唯一性。设fx)可以分解成不可约多项式的乘积 f（x)=P,(xp(x)…p,(x) 如果f(x)还有另一个分解式 fx)=q(x)4(x)4,(x) 其中q,(x=1,2…,)都是不可约多项式，于是 f(x)=p,(x)p2(x)…p,(x)=g,(x)q2(x…q,(x) (1) 对s作归纳法，当s=1,f(x)是不可约多项式，由定义必有 S=1=1 且 f(x)=p(x)=q(x) 再社不可约因式的个数为s-1时唯一性已证。 又(1)，p,(xq,(x)q(x)q,(x),因此，P,(x)必能除尽其中的一个，无妨设 p(x)g(x) 因为4(x)也是不可约多项式，所以有 p,(x)=c9,(x) (2) 在(1)式两边消去q4,(x),就有 p2(x)…p,(x)=C1q2(x)q,(x) 由归纳法假定，有 S-1=1-1,即s=1, (3) 并且适当排列次序之后有 P2(x)=c2Gq2(x,即p2(x)=c292(x) p(x)-c9.(xi=1,2,…,S) (4) (2),(3),(4),合起来即为所要证的。这就证明了分解的唯一性。 在多项式fx)的分解式中，可以把每一个不可约因式的首项系数提出来，使它们成为首项 系数为1的多项式，在把相同的不可约因式合并，于是∫(x)的分解式成为 f(x)=p(x)p(x)…p,(x)由归纳法原理，结论普遍成立。 再证唯一性。设 f (x) 可以分解成不可约多项式的乘积 ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 f x p x p x p x =  s 如果 f (x) 还有另一个分解式 ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 f x q x q x q x =  t 其中 q (x)(i 1,2, ,t) i =  都是不可约多项式，于是 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 1 2 f x p x p x p x q x q x q x =  s =  t （1） 对 s 作归纳法，当 s = 1, f (x) 是不可约多项式，由定义必有 s = t =1 且 ( ) ( ) ( ) 1 1 f x = p x = q x 再社不可约因式的个数为 s −1 时唯一性已证。 又（1）， ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 2 p x q x q x q x  t ，因此， ( ) 1 p x 必能除尽其中的一个，无妨设 ( ) ( ) 1 1 p x q x 因为 ( ) 1 q x 也是不可约多项式，所以有 ( ) ( ) 1 1 1 p x = c q x （2） 在（1）式两边消去 ( ) 1 q x ，就有 ( ) ( ) ( ) ( ) 2 1 2 1 p x p x c q x q x  s  t − = 由归纳法假定，有 s −1= t −1,即s = t, （3） 并且适当排列次序之后有 ( ) ( ), ( ) ( ). 2 2 2 2 1 2 2 1 p x = c c q x p x = c q x − 即 p (x) c q (x)(i 1,2, ,s). i = i i =  （4） （2），（3），（4），合起来即为所要证的。这就证明了分解的唯一性。 在多项式 f (x) 的分解式中，可以把每一个不可约因式的首项系数提出来，使它们成为首项 系数为 1 的多项式，在把相同的不可约因式合并，于是 f (x) 的分解式成为 ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 1 2 f x cp x p x p x s r s r r = 