证明由(x)g(x)有 g(x)=f(x)h(x). 因为f(xf(x)h(x),且(f(x,f(x》=1,所以根据定理4，有(xh,(x),即 h(x)=f(x)h(x) 代入上式即得 g(x)=f(x)f(x)h(x) 这就是说， f(x)f(xg(x)。 在上面，最大公因式与互素的概念，都是对两个多项式定义的。事实上，对于任意多个多项 式(x),(x,,f,(x(s之2)也同样可以定义最大公因式，dx)称为 f(x),,(x,,∫.(xs≥2)的一个最大公因式，如果d(x)具有下面的性质： 1)dx/(xi=1,2,…s 2)如果xf(x),i=1,2,…,s,那么p(x)d(x)。 我们仍用符号(x),f(x.,f(x)来表示首项系数为1的最大公因式，且存在 4,(x,i=1,2…,s使 4(x)f(x)+42(x)f2(x)+…+4,(x)f(x)=f(x),f2(x,…,f(x) 如果x,2(x,…,(x)=1,那么f(x(x…,(x)就称为互素的。 第五节因式分解定理 选定一个数域P作为系数域，考虑数域P上的多项式环P]中多项式的因式分解。 定义8数域P上次数≥1的多项式(x)称为数域P上的不可约多项式，如果它不能表成数 域P上的两个次数比(x)低的多项式的乘积。 按照定义，一次多项式总是不可约多项式。 如上面指出的，x2+2是实数域上的不可约多项式，但是它在复数域上可以分解成两个一次 多项式的乘积，因而不是不可约多项式。这说明了，一个多项式是否不可约是依赖与系数域 的。 显然，不可约多项式p(x)的因式只有非零常数和它自身的非零常数倍p(xc≠0)这两种证明 由 ( ) ( ) 1 f x g x 有 ( ) ( ) ( ) 1 1 g x = f x h x 。 因为 ( ) ( ) ( ) 2 1 1 f x f x h x ，且 ( f 1 (x), f 2 (x)) =1 ，所以根据定理 4，有 ( ) ( ) 2 1 f x h x ，即 ( ) ( ) ( ) 1 2 2 h x = f x h x 代入上式即得 ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 2 g x = f x f x h x 这就是说， ( ) ( ) ( ) 1 2 f x f x g x 。 在上面，最大公因式与互素的概念，都是对两个多项式定义的。事实上，对于任意多个多项 式 ( ), ( ), , ( )( 2) f 1 x f 2 x  f s x s  也 同 样 可 以 定 义 最 大 公 因 式 ， d (x) 称 为 ( ), ( ), , ( )( 2) f 1 x f 2 x  f s x s  的一个最大公因式，如果 d (x) 具有下面的性质： 1） d x f x i s i ( ) ( ), =1,2,  , 2）如果 (x) f (x),i 1,2, ,s,  i =  那么 (x) d(x)。 我们仍用符号 ( ( ), ( ), , ( )) 1 2 f x f x f x  s 来表示首项系数为 1 的最大公因式，且存在 u x i s i ( ), =1,2,  , 使 u1 (x) f 1 (x) + u2 (x) f 2 (x) ++ us (x) f s (x) = ( ( ), ( ), , ( )) 1 2 f x f x f x  s 如果 ( ( ), ( ), , ( )) 1 2 f x f x f x  s =1，那么 ( ), ( ), , ( ) 1 2 f x f x f x  s 就称为互素的。 第五节 因式分解定理 选定一个数域 P 作为系数域，考虑数域 P 上的多项式环 Px 中多项式的因式分解。 定义 8 数域 P 上次数  1 的多项式 p(x) 称为数域 P 上的不可约多项式，如果它不能表成数 域 P 上的两个次数比 p(x) 低的多项式的乘积。 按照定义，一次多项式总是不可约多项式。 如上面指出的， 2 2 x + 是实数域上的不可约多项式，但是它在复数域上可以分解成两个一次 多项式的乘积，因而不是不可约多项式。这说明了，一个多项式是否不可约是依赖与系数域 的。 显然，不可约多项式 p(x) 的 因式只有非零常数和它自身的非零常数倍 cp(x)(c  0) 这两种