而 9x+2-8-2+9--9 =g-马+[a-(令g 号-r+1-g--a =号-+号+ 于是 auwω得x-ym+(传+号t国 定义7Px中两个多项式f(x),g(x)称为互素的，如果(f(x),g(x》=1。 显然，如果两个多项式互素，那么它们除去零次多项式外没有其他的公因式，反之亦然。 定理3P中两个多项式fx),gx)互素的充分必要条件是有P)中的多项式(x),(x)使 u(x)f(x)+v(x)g(x)=1 证明必要条件是定理2的直接推论。 现在设有(x),r(x)使 u(x)f(x)+v(x)g(x)=1 而o(x)是f(x)与g(x)的一个最大公因式。于是p(xf(x),p(xg(x),从而p(x儿，即f(x), g(x)互素。 定理4如果(f(x),g(x》=l,且fxg(x)hx),那么f(xh)。 证明由((x),g(x》=1可知，有(x),(x)使 4(x)f(x)+v(x)gr)=1, 等式两边乘h(x),得 u(x)f(x)h(x)+v(x)g(x)h(x)=h(x) 因为f(xg(x)hx),所以f（x)整除等式左端，从而 f(x)h(x). 推论如果(xg(x,f(xg(x),且(f(x,(x》=1,那么f(x)f(xg(x) 而 (9x + 27) = g(x) − 9) 5 27 (− x + ) 3 10 9 25 9 5 ( 2 − x − x − = g(x) − 9) 5 27 (− x +  f (x)- ( )  9 1 3 1 （ x − ）g x = ( ) 9 1 3 1 9 5 27 9) ( ) 1 5 27 ( x f x x x g x              −      − + − − = ( ) 5 18 5 9 9) ( ) 5 27 ( 2 x f x x xg x      − + − + 于是 ( f (x), g(x)) = ( ) 5 2 5 1 1 ( ) 5 3 2 x f x x xg x       + − +      − 定义 7 Px 中两个多项式 f (x) ， g(x) 称为互素的，如果 ( f (x), g(x)) =1。 显然，如果两个多项式互素，那么它们除去零次多项式外没有其他的公因式，反之亦然。 定理 3 Px 中两个多项式 f (x) ，g(x) 互素的充分必要条件是有 Px 中的多项式 u(x), v(x) 使 u(x) f (x) + v(x)g(x) = 1 证明 必要条件是定理 2 的直接推论。 现在设有 u(x), v(x) 使 u(x) f (x) + v(x)g(x) = 1 而 (x) 是 f (x) 与 g(x) 的一个最大公因式。于是 (x) f (x),(x) g(x), 从而 (x)1, 即 f (x) ， g(x) 互素。 定理 4 如果 ( f (x), g(x)) =1，且 f (x) g(x)h(x), 那么 f (x) h(x)。 证明 由 ( f (x), g(x)) =1 可知，有 u(x), v(x) 使 u(x) f (x) + v(x)g(x) = 1， 等式两边乘 h(x), 得 u(x) f (x)h(x) + v(x)g(x)h(x) = h(x) 因为 f (x) g(x)h(x), 所以 f (x) 整除等式左端，从而 f (x) h(x). 推论 如果 ( ) ( ), 1 f x g x ( ) ( ) 2 f x g x ，且 ( f 1 (x), f 2 (x)) =1 ，那么 ( ) ( ) ( ) 1 2 f x f x g x