上述各种方法只根据各成员对各方案的总体优劣集结成群体序对某些多人多准则问 题,尤其是实际工程问题,应该根据毎个准则下各方案的优劣次序集结成群体序 一般的多准则社会选择问题可以表述为对有限方案集A={a1,…,an},由委员 会N={1,2….,n}根据准则集(即评价指标体系C={C,C,…cCr}来确定各方案的优先 次序 在求解问题时,首先要根据r种不同的准则中的毎一种准则分别描述各方案a的优劣. 为了集结各成员的意见可以用协商矩阵∏表示委员会对各方案优劣的总体感觉「是m m方阵,其元素π表示将方案a排在第k位的成员人数为了反映各准则的重要性可以 对各准则加权权向量W=w,w2,…,w.,设根据准则c,有x位成员将a 排在第k位,则=∑甲1xk, Bernardo定义一个a1短阵P其每行、每列只有 元素为1余者均为0使∑丌Pk极大即 m∑∑PA S t k=1.2 1,2,…,m Pk∈{0.1 P中的非0元素Pk=1表示方案a应该排在k位 5124社会福利函数 Social Welfare Function) 社会福利 Social Welfare) 1.福利经济学是经济学中的一个学派,主要研究社会的福利与福利的判断问题 2.福利经济学家(例 Bergson, Samulson等)认为 社会福利是一种可以测度的量,人们可据以判断种社会状况是优于,无差异于还是劣 于另一种社会状况。即可以用 Social welfare function来度量社会福利 定义 SWF是社会状态x的实值函数,是社会福利的测度,记作W(x)=Gw1(x)…wn(x) Note:①社会福利是社会中各成员所享受福利的综合,而非总和 ②个人的福利w(x)与该成员对社会的贡献、地位、个人的兴趣、爱好等多种因素 有关 3.若用u;(x)表示社会状态x带给成员i的福利,则W(x=G(u1(x),,un(x) 在相互效用独立时G可表示为加性,即W(x)=∑11(x) 但是,由于存在不确定性,设导致x的自然状态e,的概率为m(e, 故应有:maEw(x)=∑W(x1)m(e)},所以社会福利的判断极其复杂 即使对确定性的x 12-1112- 11 上述各种方法只根据各成员对各方案的总体优劣集结成群体序.对某些多人多准则问 题, 尤其是实际工程问题, 应该根据每个准则下各方案的优劣次序集结成群体序. 一般的多准则社会选择问题可以表述为: 对有限方案集 A={ a 1 , … ,a m }, 由委员 会 N={ 1, 2,… ,n } 根据准则集(即评价指标体系) C={c1, c1, …,cr} 来确定各方案的优先 次序. 在求解问题时, 首先要根据r 种不同的准则中的每一种准则,分别描述各方案 aj 的优劣. 为了集结各成员的意见,可以用协商矩阵∏表示委员会对各方案优劣的总体感觉. ∏是 m× m 方阵, 其元素  jk 表示将方案 aj 排在第 k 位的成员人数. 为了反映各准则的重要性, 可以 对各准则加权. 权向量 W={w1, w2, …, wr}. 设根据准则 cl, 有 x jk l 位成员将 aj 排在第 k 位, 则  jk = wl r 1  . x jk l , Bernardo 定义一个 0-1 矩阵 P, 其每行、每列只有一个 元素为 1,余者均为 0. 使 j,k   jk pjk 极大, 即 max  jk jk j k  p s.t. p jk j m =  1 =1 k=1,2, …,m p jk k m =  1 =1 j=1,2, …,m pjk ∈ {0,1} P 中的非 0 元素 pjk =1 表示方案 aj 应该排在 k 位. §12.4 社会福利函数(Social Welfare Function) 一、社会福利(Social Welfare) 1. 福利经济学是经济学中的一个学派，主要研究社会的福利与福利的判断问题； 2. 福利经济学家(例 Bergson, Samulson 等)认为： 社会福利是一种可以测度的量，人们可据以判断一种社会状况是优于，无差异于还是劣 于另一种社会状况。即可以用 Social welfare function 来度量社会福利。 定义： SWF 是社会状态 x 的实值函数，是社会福利的测度，记作 W(x)=G(w 1 (x),…,w n (x)) Note: ①社会福利是社会中各成员所享受福利的综合，而非总和; ②个人的福利 wi(x)与该成员对社会的贡献、地位、个人的兴趣、爱好等多种因素 有关. 3. 若用 u i (x)表示社会状态 x 带给成员 i 的福利，则 W(x)=G(u 1 (x),…,u n (x)), 在相互效用独立时 G 可表示为加性，即 W(x)=  i n i ui x =1 ( ) 但是，由于存在不确定性, 设导致 x j 的自然状态θ j 的概率为π(θ j ) 故应有：max{ E  [W(x)] = W x j j j  ( )( ) }, 所以社会福利的判断极其复杂. 即使对确定性的 x